2022届《创新设计》数学一轮课时作业(理科)人教A版-第四章-三角函数、解三角形-4-5

第5讲函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．函数f(x)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,4)))，x∈R的最小正周期为 ()A.eq\f(π,2) B．π C．2π D．4π解析最小正周期为T＝eq\f(2π,\f(1,2))＝4π.答案D2．(2021·济南模拟)将函数y＝cos2x＋1的图象向右平移eq\f(π,4)个单位，再向下平移1个单位后得到的函数图象对应的表达式为 ()A．y＝sin2x B．y＝sin2x＋2C．y＝cos2x D．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))解析将函数y＝cos2x＋1的图象向右平移eq\f(π,4)个单位得到y＝cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＋1＝sin2x＋1，再向下平移1个单位得到y＝sin2x，故选A.答案A3．(2022·浙江卷)为了得到函数y＝sin3x＋cos3x的图象，可以将函数y＝eq\r(2)cos3x的图象 ()A．向右平移eq\f(π,12)个单位 B．向右平移eq\f(π,4)个单位C．向左平移eq\f(π,12)个单位 D．向左平移eq\f(π,4)个单位解析∵y＝sin3x＋cos3x＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,4)))＝eq\r(2)coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))))，将y＝eq\r(2)cos3x的图象向右平移eq\f(π,12)个单位即可得到y＝eq\r(2)coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))))的图象，故选A.答案A4．(2022·成都诊断)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－eq\f(π,2)<φ<eq\f(π,2))的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是()A．2，－eq\f(π,3)B．2，－eq\f(π,6)C．4，－eq\f(π,6)D．4，eq\f(π,3)解析由图象知f(x)的周期T＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,12)－\f(5π,12)))＝π，又T＝eq\f(2π,ω)，ω>0，∴ω＝2.由于f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－eq\f(π,2)<φ<eq\f(π,2))的一个最高点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，2))，故有2×eq\f(5π,12)＋φ＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即φ＝2kπ－eq\f(π,3)，又－eq\f(π,2)<φ<eq\f(π,2)，∴φ＝－eq\f(π,3)，选A.答案A5．(2022·福建卷)将函数y＝sinx的图象向左平移eq\f(π,2)个单位，得到函数y＝f(x)的图象，则下列说法正确的是 ()A．y＝f(x)是奇函数B．y＝f(x)的周期为πC．y＝f(x)的图象关于直线x＝eq\f(π,2)对称D．y＝f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))对称解析将函数y＝sinx的图象向左平移eq\f(π,2)个单位，得到函数y＝f(x)的图象，则y＝f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝cosx．此函数为偶函数，周期为2π.由于feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝coseq\f(π,2)＝0，所以y＝f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))对称，故选D.答案D二、填空题6．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω＞0，－\f(π,2)≤φ＜\f(π,2)))图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移eq\f(π,6)个单位长度得到y＝sinx的图象，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝______．即f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)＋\f(π,6)))＝sineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2).答案eq\f(\r(2),2)7．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω＞0，－\f(π,2)≤φ≤\f(π,2)))的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2eq\r(2)，且过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))，则函数解析式f(x)＝________．解析据已知两个相邻最高和最低点距离为2eq\r(2)，可得eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T,2)))\s\up12(2)＋（1＋1）2)＝2eq\r(2)，解得T＝4，故ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(π,2)，即f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πx,2)＋φ))，又函数图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))，故f(2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)×2＋φ))＝－sinφ＝－eq\f(1,2)，又－eq\f(π,2)≤φ≤eq\f(π,2)，解得φ＝eq\f(π,6)，故f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πx,2)＋\f(π,6))).答案sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πx,2)＋\f(π,6)))8．(2022·北京卷)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))上具有单调性，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))，则f(x)的最小正周期为________．解析∵f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))上具有单调性，所以eq\f(T,2)≥eq\f(π,2)－eq\f(π,6)，即T≥eq\f(2π,3)，又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))，所以x＝eq\f(π,2)和x＝eq\f(2π,3)均不是f(x)的对称轴，其对称轴应为x＝eq\f(\f(π,2)＋\f(2π,3),2)＝eq\f(7π,12)，又由于feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))，且f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))上具有单调性，所以f(x)的一个对称中心的横坐标为eq\f(\f(π,2)＋\f(π,6),2)＝eq\f(π,3)，故函数f(x)的最小正周期T＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)－\f(π,3)))＝π.答案π三、解答题9．(2021·景德镇测试)已知函数f(x)＝4cosx·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋a的最大值为2.(1)求a的值及f(x)的最小正周期；(2)在坐标系上作出f(x)在[0，π]上的图象．解(1)f(x)＝4cosxsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋a＝4cosx·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinx＋\f(1,2)cosx))＋a＝eq\r(3)sin2x＋2cos2x＋a＝eq\r(3)sin2x＋cos2x＋1＋a＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋1＋a的最大值为2，∴a＝－1，最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)列表：x0eq\f(π,6)eq\f(5π,12)eq\f(2π,3)eq\f(11π,12)π2x＋eq\f(π,6)eq\f(π,6)eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πeq\f(13π,6)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))120－201画图如下：10．(2022·湖北卷)某试验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－eq\r(3)coseq\f(π,12)t－sineq\f(π,12)t，t∈[0，24)．(1)求试验室这一天的最大温差；(2)若要求试验室温度不高于11℃，则在哪段时间试验室需解(1)由于f(t)＝10－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cos\f(π,12)t＋\f(1,2)sin\f(π,12)t))＝10－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))，又0≤t<24，所以eq\f(π,3)≤eq\f(π,12)t＋eq\f(π,3)<eq\f(7π,3)，－1≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))≤1.当t＝2时，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))＝1；当t＝14时，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))＝－1.于是f(x)在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.故试验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.(2)依题意，当f(t)>11时试验室需要降温．由(1)得f(t)＝10－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))，故有10－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))>11，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))<－eq\f(1,2).又0≤t<24，因此eq\f(7π,6)<eq\f(π,12)t＋eq\f(π,3)<eq\f(11π,6)，即10<t<18.所以在10时至18时试验室需要降温．力气提升题组(建议用时：25分钟)11．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φφ|＜eq\f(π,2))的图象在y轴上的截距为1，在相邻两最值点(x0，2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(3,2)，－2))(x0＞0)上f(x)分别取得最大值和最小值．若函数g(x)＝af(x)＋b的最大值和最小值分别为6和2，则|a|＋b的值为 ()A．5 B．6 C．7 D．8解析由题意知A＝2，eq\f(T,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(3,2)))－x0＝eq\f(3,2)，∴T＝3，即eq\f(2π,|ω|)＝3，又ω＞0，∴ω＝eq\f(2π,3).∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)x＋φ))，又函数f(x)过点(0，1)，代入得2sinφ＝1，而|φ|＜eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,6)，∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)x＋\f(π,6)))，g(x)＝af(x)＋b＝2asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)x＋\f(π,6)))＋b.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2|a|＋b＝6，,－2|a|＋b＝2，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|a|＝1，,b＝4，))∴|a|＋b＝5.答案A12．(2022·东北三省三校联考)函数f(x)＝sin(2x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|＜\f(π,2)))向左平移eq\f(π,6)个单位后是奇函数，则函数f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最小值为 ()A．－eq\f(\r(3),2) B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)解析函数f(x)＝sin(2x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|＜\f(π,2)))向左平移eq\f(π,6)个单位后得到函数为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋φ))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)＋φ))，由于此时函数为奇函数，所以eq\f(π,3)＋φ＝kπ(k∈Z)，所以φ＝－eq\f(π,3)＋kπ(k∈Z)．由于|φ|＜eq\f(π,2)，所以当k＝0时，φ＝－eq\f(π,3)，所以f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))).当0≤x≤eq\f(π,2)时，－eq\f(π,3)≤2x－eq\f(π,3)≤eq\f(2π,3)，即当2x－eq\f(π,3)＝－eq\f(π,3)时，函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))有最小值为sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝－eq\f(\r(3),2).答案A13．已知f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))(ω>0)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))，且f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))上有最小值，无最大值，则ω＝________．解析依题意，x＝eq\f(\f(π,6)＋\f(π,3),2)＝eq\f(π,4)时，y有最小值，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)·ω＋\f(π,3)))＝－1，∴eq\f(π,4)ω＋eq\f(π,3)＝2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)．∴ω＝8k＋eq\f(14,3)(k∈Z)，由于f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))上有最小值，无最大值，所以eq\f(π,3)－eq\f(π,4)≤eq\f(π,ω)，即ω≤12，令k＝0，得ω＝eq\f(14,3).答案eq\f(14,3)14．已知函数f(x)＝2eq\r(3)sinxcosx＋2sin2x－1，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)，再把所得到的图象向左平移eq\f(π,6)个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)在