【2021届备考】2020全国名校数学试题分类解析汇编(12月第一期)：G4空间中的平行关系

G4空间中的平行关系【数学理卷·2021届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考（202211）】18、（本题满分12分）如图，三角形和梯形所在的平面相互垂直，，，是线段上一点，.（Ⅰ）当时，求证：平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）是否存在点满足平面？并说明理由.【学问点】线面平行的判定；线面垂直的条件；二面角求法.G4G5G【答案】【解析】（Ⅰ）证明：见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）不存在点满足平面，理由：见解析.解析：（Ⅰ）取中点，连接，…1分DD又，所以.由于，所以,四边形是平行四边形，…………2分所以由于平面，平面所以平面.…………4分（Ⅱ）由于平面平面，平面平面=，且，所以平面，所以，…………5分由于，所以平面.如图，以为原点，建立空间直角坐标系.则，………6分是平面的一个法向量.设平面的法向量，则，即令，则，所以,所以，……………8分故二面角的正弦值为。……………9分.（Ⅲ）由于，所以与不垂直,………11分所以不存在点满足平面.…………12分【思路点拨】（Ⅰ）取中点，证明四边形是平行四边形即可；（Ⅱ）以为原点，直线AB为x轴，直线AF为z轴，建立空间直角坐标系.通过求平面ABF的法向量与平面BEF的法向量夹角余弦值，求二面角的正弦值；（Ⅲ）若存在点满足平面，则AE,由推断不存在点满足平面.【数学理卷·2021届河北省衡水中学高三上学期期中考试（202211）】18、（本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面为菱形，是的中点（1）若，求证：平面平面；（2）若平面平面，且，在线段上是否存在点，使二面角的大小为，若存在，试确定点M的位置，若不存在，请说明理由。【学问点】空间角与空间中的位置关系.G4,G5,G11【答案】【解析】(1)略(2)略解析：（1）证明：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，

又∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，

又PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，

又∵AD⊂平面PAD，

∴平面PQB⊥平面PAD．

（2）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，

∴PQ⊥平面ABCD，

以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，

建立空间直角坐标系，如图

则Q（0，0，0），），B（0，设0＜λ＜1，则平面CBQ的一个法向量=（0，0，1），设平面MBQ的法向量为=（x，y，z），

由，∵二面角M-BQ-C的大小为60°，

解得λ=，

∴存在点M为线段PC靠近P的三等分点满足题意【思路点拨】1）由已知得PQ⊥AD，BQ⊥AD，由此能证明平面PQB⊥平面PAD．

（2）以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出存在点M为线段PC靠近P的三等分点满足题意．【数学理卷·2021届河北省衡水中学高三上学期期中考试（202211）】3、已知为不同的直线，为不同的平面，则下列说法正确的是（）A．B．C．D．【学问点】空间中的平行与垂直关系.G4,G5【答案】【解析】D解析：错误的缘由为n也可能属于，所以A不正确，错误的缘由为n也可能与m都在平面内，错误的缘由为可能是相交平面，所以C不正确，只有D是正确选项.【思路点拨】由平行与垂直的判定定理与性质定理可得到正确结果.【数学理卷·2021届江西省赣州市十二县（市）高三上学期期中联考（202211）】19．（本小题满分12分）如图,在直三棱柱中，平面，其垂足落在直线上．（1）求证：⊥（2）若，，为的中点，求二面角的余弦值.【学问点】用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系．G4G5G【答案】【解析】(1)见解析；(2)解析：(1)证明：三棱柱为直三棱柱，平面，又平面，-平面，且平面，.又平面,平面,，平面，又平面，⊥…………5分(2)由（1）知,如图,以B为原点建立空间直角坐标系平面，其垂足落在直线上,. 在中，，AB=2，,在直三棱柱中，.在中，,则(0,0,0),,C（2，0，0）,P（1，1，0）,（0，2，2）,（0，2，2）设平面的一个法向量则即可得设平面的一个法向量则即可得平面与平面的夹角的余弦值是………12分（或在中，，AB=2,则BD=1可得D(平面与平面的夹角的余弦值是………12分）【思路点拨】(1)由已知得平面，，．由此能证明．(2)由（1）知,如图,以B为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的平面角的余弦值．【数学文卷·2021届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考（202211）】19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，,,平面,为的中点，.(I)求证：∥平面;(II)求四周体的体积.【学问点】直线与平面平行；几何体的体积.G4,G8【答案】【解析】(I)略(II)解析：1)法一：取AD得中点M，连接EM,CM.则EM//PA由于所以，（2分）在中，所以，而,所以,MC//AB.（3分）由于所以，（4分）又由于所以，由于（6分）法二：延长DC,AB,交于N点，连接PN.由于所以，C为ND的中点.（3分）由于E为PD的中点，所以，EC//PN由于（6分）2)法一：由已知条件有;AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD=（7分）由于，，所以，（8分）又由于，所以，（10分）由于E是PD的中点，所以点E平面PAC的距离，所以，四周体PACE的体积（12分）【思路点拨】由题意可直接证明直线与平面平行，再依据几何体的体积公式求出四周体的体积.【数学文卷·2021届河南省试验中学高三上学期期中考试（202211）】3．若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列为真命题的是（）A．若，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则【学问点】空间中的平行关系垂直关系G4G5【答案解析】C对于A，则m与的关系有三种m平行，或相交A错，对于B,，，则还有相交的状况，B错误，对于D，，还有可能平行，故选C.【思路点拨】依据线面关系面面关系排解法求结果。【数学文卷·2021届江西省师大附中高三上学期期中考试（202211）】19.（本小题12分）如图1，在直角梯形中，，，且．现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，为的中点，如图2．（1）求证：∥平面;（2）求证：;（3）求点到平面的距离.【学问点】线面平行线面垂直点到平面的距离G4G5G【答案】【解析】（1）略；（2）略；（3）解析：（1）证明：取中点，连结．在△中，分别为的中点，所以∥，且．由已知∥，，所以∥，且．所以四边形为平行四边形．所以∥．又由于平面，且平面，所以∥平面．（2）在正方形中，．又由于平面平面，且平面平面，所以平面．所以．在直角梯形中，，，可得．在△中，，所以．所以．所以平面．（3）：平面,所以，所以又，设点到平面的距离为则，所以，所以点到平面的距离等于.【思路点拨】证明线面平行及线面垂直主要利用其判定定理进行证明，求点到平面的距离，若直接求距离不便利时，可利用三棱锥的等体积法求距离.【数学文卷·2021届江西省师大附中高三上学期期中考试（202211）】6．已知两条不重合的直线和两个不重合的平面有下列命题：①若，则； ②若则③若是两条异面直线，则④若则.其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【学问点】空间平行与垂直关系G4G5【答案】【解析】C解析：若，则直线n与平面α平行或在平面α内，所以①错误；若