【名师一号】2020-2021学年高中数学人教B版必修2双基限时练25(第二章)

双基限时练(二十五)基础强化1．已知0<r<eq\r(2)＋1，则两圆x2＋y2＝r2与(x－1)2＋(y＋1)2＝2的位置关系是()A．外切 B．相交C．外离 D．内含解析设圆(x－1)2＋(y＋1)2＝2的圆心为O′，则O′(1，－1)．两圆的圆心距离d(O，O′)＝eq\r(12＋－12)＝eq\r(2).明显有|r－eq\r(2)|<eq\r(2)<eq\r(2)＋r.∴两圆相交．答案B2．圆x2＋y2－2x－8＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的公共弦所在直线方程是()A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－3＝0C．x－y＋1＝0 D．x－y－3＝0解析令两个圆的方程相减可得x－y＋1＝0，故两圆公共弦所在直线方程为x－y＋1＝0.答案C3．已知圆O1：x2＋y2－4x－6y＝0与圆O2：x2＋y2－6x＝0交于A、B两点，则AB的垂直平分线方程为()A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0C．3x＋y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0解析两圆公共弦的垂直平分线即为两圆圆心的连心线，∵O1(2,3)，O2(3,0)，∴直线O1O2：eq\f(y－0,3－0)＝eq\f(x－3,2－3)，即3x＋y－9＝0.答案C4．两圆x2＋y2＝r2与圆(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则正实数r的值是()A.eq\r(10) B.eq\f(\r(10),2)C.eq\r(5) D.5解析2r＝eq\r(32＋－12)＝eq\r(10)，∴r＝eq\f(\r(10),2).答案B5．若圆x2＋y2＝4和圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则l的方程为()A．x＋y＝0 B．x＋y－2＝0C．x－y－2＝0 D．x－y＋2＝0解析两圆的圆心分别为(0,0)和(－2,2)，它们的中点为(－1,1)，直线l的斜率为k＝－eq\f(0－－2,0－2)＝1，∴直线l的方程为x－y＋2＝0.答案D6．和x轴相切，并和圆x2＋y2＝1外切的动圆的圆心轨迹方程是()A．x2＝2y＋1 B．x2＝－2y＋1C．x2＝2|y|＋1 D．x2＝2y－1解析设动圆圆心的坐标为(x，y)，由题意可知，eq\r(x2＋y2)＝1＋|y|，即x2＝2|y|＋1.答案C7．若圆x2＋y2＝4与x2＋y2－2ax＋a2－1＝0相内切，则a＝__________.解析圆x2＋y2＝4与(x－a)2＋y2＝1相内切，故(a－0)2＋(0－0)2＝(2－1)2，即a2＝1，∴a＝±1.答案±18．已知两圆相交于(1,3)和(m,1)，两圆圆心都在直线x－y＋eq\f(c,2)＝0上，则m＋c的值为________．解析两圆连心线过公共弦的中点，∴eq\f(1＋m,2)－eq\f(3＋1,2)＋eq\f(c,2)＝0，∴m＋c＝3.答案39．圆(x－3)2＋(y－1)2＝4与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1的公切线的条数为________．解析两圆圆心分别为(3,1)和(1,2)，圆心距为eq\r(5)，r1＋r2＝3，r1－r2＝1，∵1＜eq\r(5)＜3，∴两圆相交，∴它们只有2条公切线．答案2条能力提升10．已知集合M＝{(x，y)|x2＋y2＝16}，集合N＝{(x，y)|x2＋(y－2)2＝a－1}，若M∩N＝∅，求a的取值范围．解由于M∩N＝∅由题意可分为三种状况争辩：(1)当a－1＜0，即a＜1时，N＝∅，满足M∩N＝∅；(2)当a－1＝0，即a＝1时，N＝{(0,2)}，即集合N仅表示一个点，由02＋22＜16知这个点不在圆x2＋y2＝16上，所以M∩N＝∅；(3)当a－1＞0，即a＞1时，M∩N＝∅，圆x2＋y2＝16与圆x2＋(y－2)2＝a－1外离或内含．外离时，圆心距大于两圆半径之和，即2＞4＋eq\r(a－1)，此式明显无解．内含时应有|eq\r(a－1)－4|＞2，解得a＞37，或1＜a＜5.综上，当a＜5，或a＞37时，M∩N＝∅.11．求与已知圆x2＋y2－7y＋10＝0相交，所得公共弦平行于已知直线2x－3y－1＝0，且过点(－2,3)，(1,4)的圆的方程．解公共弦所在直线的斜率为eq\f(2,3)，已知圆的圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7,2)))，故两圆圆心所在直线的方程为y－eq\f(7,2)＝－eq\f(3,2)x，即3x＋2y－7＝0.设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－22＋32－2D＋3E＋F＝0，,12＋42＋D＋4E＋F＝0，,3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)))＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(E,2)))－7＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝2，,E＝－10，,F＝21.))所以所求圆的方程为x2＋y2＋2x－10y＋21＝0.12．已知点P(t，t)，t∈R，点M是圆O1：x2＋(y－1)2＝eq\f(1,4)上一动点，点N是圆O2：(x－2)2＋y2＝eq\f(1,4)上一动点，求|PN|－|PM|的最大值．解∵M是⊙O1上的点，N是⊙O2上的点，半径都为eq\f(1,2)，又P(t，t)，t∈R在直线y＝x上，则求|PN|－|PM|的最大值就是求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|PO2|＋\f(1,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|PO1|－\f(1,2)))的最大值，即求|PO2|－|PO1|＋1的最大值，而|PO2|－|PO1|的最大值是点O1关于直线y＝x的对称点(1,0)到O2(2,0)的距离，∴|PO2|－|PO1|＋1的最大值是2.品味高考13．两圆C1：x2＋y2＝a与C2：x2＋y2＋6x－8y－11＝0内切，则a的值为_____