【名师一号】2020-2021学年北师大版高中数学必修5双基限时练7

双基限时练(七)一、选择题1．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1，若am＝a1a2a3A．10 B．9C．12 D．11解析∵{an}为等比数列，a1＝1，∴a1·a2·a3·a4·a5＝q·q2·q3·q4＝q10＝am，又am＝qm－1，∴m－1＝10，∴m＝11.答案D2．在等比数列{an}中，a2010＝8a2007，则公比qA．2 B．3C．4 D．8解析eq\f(a2010,a2007)＝q3＝8，∴q＝2.答案A3．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2aeq\o\al(2,5)，a2＝1，则a1＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2) D．2解析设公比为q，由题意得a1q2·a1q8＝2(a1q4)2，得q2＝2，∵q>0，∴q＝eq\r(2)，∴a1＝eq\f(a2,q)＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).答案B4．设a1＝2，数列{1＋an}是以3为公比的等比数列，则a4的值为()A．80 B．81C．54 D．53解析由题意得1＋a4＝(1＋a1)·q3＝3×33＝34＝81，∴a4＝81－1＝80.答案A5．已知a，b，c成等比数列，则函数y＝ax2＋2bx＋c的图像与x轴的交点个数是()A．0 B．1C．2 D．不确定解析由a，b，c成等比数列，知b2＝ac，∴Δ＝4b2－4ac＝0，∴答案B6．假如a，b，c成等比数列，m为a，b的等差中项，n是b，c的等差中项，则eq\f(a,m)＋eq\f(c,n)等于()A．4 B．3C．2 D．1解析∵m为a，b的等差中项，∴a＋b＝2m，又n为b，c的等差中项，∴b＋c＝2n，∴eq\f(a,m)＋eq\f(c,n)＝eq\f(2a,a＋b)＋eq\f(2c,b＋c)＝eq\f(2a,a1＋q)＋eq\f(2aq2,aq＋q2)＝eq\f(2,1＋q)＋eq\f(2q,1＋q)＝2.答案C二、填空题7．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则a的取值范围是________．答案a≠0，且a≠18．若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a＝________.解析由a、b、c成等差数列，得2b＝a＋c，由c，a，b成等比数列得a2＝bc，∴a2＝eq\f(a＋c,2)·c，得2a2－ac－c2＝0，(2a＋c)(a－c)＝0，又a、b、c∴c＝－2a，∴2b＝－a∴a＋3b＋c＝a－eq\f(3,2)a－2a＝10，得a＝－4.答案－49．已知{an}为等比数列，且公比为2，则eq\f(2a1＋a2,2a3＋a4)＝____________.解析eq\f(2a1＋a2,2a3＋a4)＝eq\f(2a1＋a2,2a1q2＋a2q2)＝eq\f(1,q2)＝eq\f(1,4).答案eq\f(1,4)三、解答题10．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，求证数列{an＋1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式．证明∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，∴eq\f(an＋1＋1,an＋1)＝2，∴数列{an＋1}为等比数列，∴an＋1＝(a1＋1)·2n－1＝2·2n－1＝2n.∴an＝2n－1.11．已知数列{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝eq\f(20,3)，求数列{an}的通项公式．解∵{an}为等比数列，∴a2＋a4＝eq\f(a3,q)＋a3q＝eq\f(2,q)＋2q＝eq\f(20,3)，∴3q2－10q＋3＝0，得q＝eq\f(1,3)或q＝3.当q＝eq\f(1,3)时，an＝a2·qn－2＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n－2；当q＝3时，an＝a2·qn－2＝2·3n－2.12．设数列{an}的前n项和为Sn＝n2，{bn}为等比数列，且a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1，求{an}，{bn}的通项公式．解当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，又当n＝1时，2n－1＝1，∴an＝2n－1.由题意知，{bn}为等比数列，b1＝a1＝1，b2(a2－a1)＝b1，∴eq\f(b2,b1)＝eq\f(1,a2－a1)＝eq\f(1,2).∴bn＝b1·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1.思维探究13．等比数列{an}中，a1＝2，a4＝16.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.解(1)设{an}的公比为q，由已知得16＝2q3，得q＝2，∴an＝a1qn－1＝2n.(2)由(1)知a3＝8，a5＝32，得b3＝8，b5＝32.设{bn}的公差为d，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1＋2d＝8，,b1＋4d＝