【全程复习方略】2020年人教A版数学理(福建用)课时作业：第八章-第十节圆锥曲线的综合问题

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(五十九)一、选择题1.过抛物线y=2x2的焦点的直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1x2=()(A)-2 (B) (C)-4 (D)2.(2021·郑州模拟)设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()(A)［，］ (B)［－2，2］(C)［－1，1］ (D)［－4，4］3.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴的最小值为()(A)1 (B) (C)2 (D)4.(2021·邢台模拟)若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为()(A)2 (B)3 (C)6 (D)85.(2021·武汉模拟)已知抛物线方程为y2=4x,直线l的方程为x-y+4=0,在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1,P到直线l的距离为d2,则d1+d2的最小值为()(A) (B)+1 (C)-2 (D)-16.(力气挑战题)若已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1,F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2，则e1·e2的取值范围是()(A)(0,+∞) (B)(,+∞) (C)(,+∞) (D)(,+∞)二、填空题7.(2021·重庆模拟)过椭圆C：(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若,则椭圆离心率的取值范围为___________.8.(2021·长春模拟)设连接双曲线与(a>0,b>0)的4个顶点的四边形面积为S1，连接其4个焦点的四边形面积为S2，则的最大值为________.9.过抛物线y2=2px(p>0)上确定点P(x0,y0)(y0>0)作两直线分别交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)，当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，则的值为_____________.三、解答题10.如图，已知椭圆C：(a＞1)的上顶点为A，离心率为，若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且.(1)求椭圆C的方程.(2)求证：直线l过定点，并求出该定点N的坐标.11.(2021·漳州模拟)已知椭圆C:(a＞b＞0)的短轴长为2,且与抛物线有共同的焦点，椭圆C的左顶点为A，右顶点为B，点P是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AP，BP与直线y=3分别交于G，H两点.(1)求椭圆C的方程.(2)求线段GH的长度的最小值.(3)在线段GH的长度取得最小值时，椭圆C上是否存在一点T，使得△TPA的面积为1,若存在,求出点T的坐标，若不存在，说明理由.12.(力气挑战题)给定椭圆C：(a>b>0),称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为F(，0),其短轴上的一个端点到F的距离为.(1)求椭圆C的方程和其“准圆”的方程.(2)点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过动点P作直线l1，l2使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，且l1，l2分别交其“准圆”于点M，N.①当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求l1，l2的方程；②求证：|MN|为定值.答案解析1.【解析】选D.由y=2x2得,其焦点坐标为F(0,)，取直线y=,则其与y=2x2交于A(-，)，B(,),∴x1x2=(-)·()＝-.【方法技巧】与动直线相关值的求解技巧解决动直线与圆锥曲线相交的有关值的选择题、填空题，一般取其特殊位置探究其值即可.2.【解析】选C.设直线方程为y=k(x+2)，与抛物线联立方程组，整理得ky2-8y+16k=0.当k=0时，直线与抛物线有一个交点．当k≠0时，由Δ=64-64k2≥0，解得-1≤k≤1且k≠0.综上-1≤k≤1.3.【解析】选D.设椭圆长半轴长为a,短半轴长为b,a2-b2=c2,由题意，·2c·b＝1，∴bc=1,b2+c2=a2≥2bc=2.∴a≥.∴长轴的最小值为2.4.【解析】选C，设P(x0,y0)，则即，又∵F(-1,0),∴又x0∈［-2,2］，∴∈［2,6］，所以max=6.5.【思路点拨】画出图象，通过图象可知点P到y轴的距离等于点P到焦点F的距离减1，过焦点F作直线l的垂线，此时d1+d2最小，依据抛物线方程求得F的坐标，进而利用点到直线的距离公式求得d1+d2的最小值.【解析】选D.如图所示，由抛物线的定义知，|PF|＝d1+1,∴d1＝|PF|-1,d1+d2=d2+|PF|-1,明显当直线PF垂直于直线x-y+4=0时，d1+d2最小,此时d2+|PF|为F到直线x-y+4=0的距离.由题意知F点的坐标为(1，0)，所以.∴(d1+d2)min=-1.6.【解析】选B.由题意知|PF1|=r1=10，|PF2|=r2=2c，且r1＞r2．；．∵三角形两边之和大于第三边，∴2c+2c＞10，即c＞，∴，因此选B.7.【解析】由题意知：B(c,),∴.又,∴,解得.答案：(，)8.【思路点拨】将用a,b表示，利用基本不等式求最值.【解析】S1＝·2a·2b=2ab,S2=·2·2=2(a2+b2),(a>0,b>0),∴(当且仅当a=b时取等号).答案：9.【解析】设直线PA的斜率为kPA,PB的斜率为kPB,由y12=2px1,y02=2px0,得,同理,由于PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，因此,即y1+y2=-2y0(y0>0),那么.答案：-210.【解析】(1)依题意有故椭圆C的方程为：.(2)由，知AP⊥AQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，由A(0,1)可设直线AP的方程为y=kx+1,直线AQ的方程为y=-x+1(k≠0).将y=kx+1代入椭圆C的方程并整理得：(1+3k2)x2+6kx=0,解得x=0或,因此P的坐标为(,+1),即(,),将上式中的k换成-,得Q(,).直线l的方程为,化简得直线l的方程为,因此直线l过定点N(0，-).11.【解析】(1)由已知得,抛物线的焦点为(,0)，则c=.又b=1,由a2-b2=c2，可得a2=4.故椭圆C的方程为(2)直线AP的斜率k明显存在,且k＞0，故可设直线AP的方程为y=k(x+2),从而G(,3).由得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0.设P(x1,y1),则(-2)x1=所以从而.即.又B(2,0),则直线PB的斜率为.由得所以H(-12k+2,3).故|GH|=|-2+12k-2|=|+12k-4|.又k＞0，+12k≥=12.当且仅当=12k,即k=时等号成立.所以当k=时,线段GH的长度取最小值8.(3)由(2)可知，当GH的长度取最小值时，k=.则直线AP的方程为x-2y+2=0,此时P(0,1),|AP|=.若椭圆C上存在点T，使得△TPA的面积等于1,则点T到直线AP的距离等于所以T在平行于AP且与AP距离等于的直线l上.设直线l:y=x+t.则由得x2+2tx+2t2-2=0.Δ=4t2-8(t2-1)≥0.即t2≤2,由平行线间的距离公式，得解得t=0或t=2(舍去).可求得T()或T(-).12.【解析】(1)∵c=,a=,∴b=1.∴椭圆方程为,准圆方程为x2+y2=4.(2)①由于准圆x2+y2=4与y轴正半轴的交点为P(0，2)，设过点P(0，2)且与椭圆有一个公共点的直线为y=kx+2,所以由,消去y,得(1+3k2)x2+12kx+9=0.由于椭圆与y=kx+2只有一个公共点，所以Δ=144k2-4×9(1+3k2)=0,解得k=±1.所以l1,l2的方程分别为y=x+2,y=-x+2.②(ⅰ)当l1,l2中有一条无斜率时，不妨设l1无斜率，由于l1与椭圆只有一个公共点，则其方程为x=±.当l1方程为x=时，此时l1与准圆交于点(，1)，(，-1)，此时经过点(，1)(或(,-1))且与椭圆只有一个公共点的直线是y=1(或y=-1),即l2为y=1(或y=-1),明显直线l1,l2垂直；同理可证l1方程为时，直线l1,l2垂直.(ⅱ)当l1,l2都有斜率时，设点P(x0,y0),其中x02+y02＝4.设经过点P(x0,y0)与椭圆只有一个公共点的直线为y=t(x-x0)+y0,则消去y,得(1+3t2)x2+6t(y0-tx0)x+3(y0-tx0)2-3=0.由Δ＝0化简整理得：(3-x02)t2+2x0y0t+1-y02=0.由于x02+y02＝4，所以有(3-x02)t2+2x0y0t+(x02-3)=0.