《高考导航》2022届新课标数学(理)一轮复习讲义-第二章-第10讲-函数模型及其应用

第10讲函数模型及其应用1．几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)2.三种函数模型性质比较y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的单调性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x值增大，图象与y轴接近平行随x值增大，图象与x轴接近平行随n值变化而不同[做一做]1．下列函数中，随x的增大，y的增长速度最快的是()A．y＝eq\f(1,100)ex B．y＝100lnxC．y＝x100 D．y＝100·2x答案：A2．生产确定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝eq\f(1,2)x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为猎取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为()A．36万件 B．18万件C．22万件 D．9万件解析：选B.利润L(x)＝20x－C(x)＝－eq\f(1,2)(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．1．辨明两个易误点(1)易忽视实际问题的自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域．(2)留意问题反馈．在解决函数模型后，必需验证这个数学结果对实际问题的合理性．2．理解解决实际应用问题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学学问，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：扫一扫进入91导学网()几种函数模型的应用[做一做]3．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是()A．[15，20] B．[12，25]C．[10，30] D．[20，30]解析：选C.设矩形的另一边长为ym，则由三角形相像知，eq\f(x,40)＝eq\f(40－y,40)，∴y＝40－x.∵xy≥300，∴x(40－x)≥300，∴x2－40x＋300≤0，∴10≤x≤30.,[同学用书P38～P40])eq\a\vs4\al(考点一)__一次函数与二次函数模型(高频考点)____高考对函数应用的考查，常与二次函数、基本不等式及导数等学问交汇，以解答题为主要形式毁灭．高考对一次函数、二次函数模型的考查主要有以下两个命题角度：(1)单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题；(2)以分段函数的形式考查一次函数和二次函数．(1)某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费s(元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差()A．10元 B．20元C．30元 D.eq\f(40,3)元(2)(2022·高考北京卷)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次试验的数据．依据上述函数模型和试验数据，可以得到最佳加工时间为()A．3.50分钟 B．3.75分钟C．4.00分钟 D．4.25分钟(3)经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N)．前30天价格为g(t)＝eq\f(1,2)t＋30(1≤t≤30，t∈N)，后20天价格为g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N)．①写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系；②求日销售额S的最大值．[解析](1)依题意可设sA(t)＝20＋kt，sB(t)＝mt，又sA(100)＝sB(100)，∴100k＋20＝100m，得k－m＝－0.2，于是sA(150)－sB(150)＝20＋150k－150m＝20＋150×(－0.2)＝－10，即两种方式电话费相差10元．(2)依据图表，把(t，p)的三组数据(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0.7＝9a＋3b＋c，,0.8＝16a＋4b＋c，,0.5＝25a＋5b＋c，))消去c化简得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(7a＋b＝0.1，,9a＋b＝－0.3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－0.2，,b＝1.5，,c＝－2.0.))所以p＝－0.2t2＋1.5t－2.0＝－eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t2－\f(15,2)t＋\f(225,16)))＋eq\f(45,16)－2＝－eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(15,4)))eq\s\up12(2)＋eq\f(13,16)，所以当t＝eq\f(15,4)＝3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟．[答案](1)A(2)B(3)解：①依据题意，得S＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（－2t＋200）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)t＋30))，1≤t≤30，t∈N,45（－2t＋200），31≤t≤50，t∈N))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－t2＋40t＋6000，1≤t≤30，t∈N，,－90t＋9000，31≤t≤50，t∈N.))②a.当1≤t≤30，t∈N时，S＝－(t－20)2＋6400，∴当t＝20时，S的最大值为6400；b．当31≤t≤50，t∈N时，S＝－90t＋9000为减函数，∴当t＝31时，S的最大值为6210.∵6210＜6400，∴当t＝20时，日销售额S有最大值6400.[规律方法]把实际问题数学化、建立数学模型确定要过好的三关(1)事理关：通过阅读、理解，明确问题讲的是什么，生疏实际背景，为解题找出突破口；(2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达数学关系；(3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学学问进行检索，从而认定或构建相应的数学模型．1.(2021·湖南岳阳模拟)一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y(万元)与x(件)的函数关系式为____________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资)解析：当x≤20时，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；当x>20时，y＝260－100－x＝160－x.故y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋32x－100，0<x≤20，,160－x，x>20.))(x∈N*)．当0<x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，当x＝16时，ymax＝156.而当x>20时，160－x<140，故x＝16时取得最大年利润．答案：y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋32x－100，0<x≤20.,160－x，x>20.))(x∈N*)16eq\a\vs4\al(考点二)__函数y＝x＋eq\f(a,x)(a>0)模型__________某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．(1)求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少；(2)若供应饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时，其价格可享受八五折优待(即为原价的85%)．问：该厂是否应考虑利用此优待条件？请说明理由．[解](1)设该厂x(x∈N*)天购买一次饲料平均每天支付的总费用最少，平均每天支付的总费用为y1.∵饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，∴x天饲料的保管费与其他费用共是6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝(3x2－3x)(元)．从而有y1＝eq\f(1,x)(3x2－3x＋300)＋200×1.8＝eq\f(300,x)＋3x＋357≥417，当且仅当eq\f(300,x)＝3x，即x＝10时，y1有最小值．故该厂10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．(2)设该厂利用此优待条件，每隔x天(x≥25)购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y2，则y2＝eq\f(1,x)(3x2－3x＋300)＋200×1.8×0.85＝eq\f(300,x)＋3x＋303(x≥25)．令f(x)＝eq\f(300,x)＋3x(x≥25)，∵f′(x)＝－eq\f(300,x2)＋3，∴当x≥25时，f′(x)>0，即函数f(x)与y2在x≥25时是增函数．∴当x＝25时，y2取得最小值，最小值为390.∵390<417，∴该厂应考虑利用此优待条件．[规律方法](1)解决此类问题，关键是利用已知条件，建立函数模型，然后化简整理函数解析式，必要时通过配凑得到“y＝x＋eq\f(a,x)”型函数模型．(2)对于y＝x＋eq\f(a,x)(a>0，x>0)类型的函数最值问题，要特殊留意定义域和基本不等式中等号成立的条件，假如在定义域内满足等号成立，可考虑用基本不等式求最值，否则要考虑函数的单调性．2.为了在夏季降温存冬季供暖时削减能源损耗，房屋的房顶和外墙需要建筑隔热层．某幢建筑物要建筑可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建筑成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建筑费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．解：(1)由已知条件得C(0)＝8，则k＝40，因此f(x)＝6x＋20C(x)＝6x＋eq\f(800,3x＋5)(0≤x≤10)．(2)f(x)＝6x＋10＋eq\f(800,3x＋5)－10≥2eq\r(（6x＋10）\f(800,3x＋5))－10＝70(万元)，当且仅当6x＋10＝eq\f(800,3x＋5)，即x＝5时等号成立．所以当隔热层厚度为5cm时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70万元．eq\a\vs4\al(考点三)__指数函数模型________________________一片森林原来面积为a，方案每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为疼惜生态环境，森林面积至少要保留原面积的eq\f(1,4)，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的eq\f(\r(2),2).(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？[解](1)设每年降低的百分比为x(0＜x＜1)，则a(1－x)10＝eq\f(1,2)a，即(1－x)10＝eq\f(1,2)，解得x＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(1,10)).(2)设经过m年剩余面积为原来的eq\f(\r(2),2)，则a(1－x)m＝eq\f(\r(2),2)a，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(m,10))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(1,2))，即eq\f(m,10)＝eq\f(1,2)，解得m＝5.故到今年为止，该森林已砍伐了5年．本例的条件不变，试计算：今后最多还能砍伐多少年？解：设从今年开头，以后砍了n年，则n年后剩余面积为eq\f(\r(2),2)a(1－x)n.令eq\f(\r(2),2)a(1－x)n≥eq\f(1,4)a，即(1－x)n≥eq\f(\r(2),4)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(n,10))≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(3,2))，即eq\f(n,10)≤eq\f(3,2)，解得n≤15.故今后最多还能砍伐15年．[规律方法](1)指数函数模型常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示．(2)应用指数函数模型时，关键是对模型的推断，先设定模型将有关已知数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．(3)y＝a(1＋x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解．1．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，其次个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是()A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100解析：选C.依据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型．2．某购物网站在2022年11月开展“全场6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件，为使花钱总数量少，他最少需要下的订单张数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选C.为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”，即每张订单金额不少于500元．因此每张订单至少11件，所以最少需要下的订单张数为3，所以选C.3．(2021·陕西五校模拟)台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危急区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危急区内的时间为()A．0.5小时 B．1小时C．1.5小时 D．2小时解析：选B.以点B为圆心，30为半径画圆，设截东北方向所在直线所得弦长为x，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(402,2)＝302，解得x＝20，故B城市处于危急区内的时间为eq\f(20,20)＝1(小时)．4．将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent．若5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，又过了m分钟后甲桶中的水只有eq\f(a,8)升，则m的值为()A．7 B．8C．9 D．10解析：选D.令eq\f(1,8)a＝aent，即eq\f(1,8)＝ent，由已知得eq\f(1,2)＝e5n，故eq\f(1,8)＝e15n，比较知t＝15，m＝15－5＝10.5．已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开头沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是()解析：选D.依题意知当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4<x≤8时，f(x)＝8；当8<x≤12时，f(x)＝24－2x，观看四个选项知答案为D.6．如图，书的一页的面积为600cm2，设计要求书面上方空出2cm的边，下、左、右方都空出1cm的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为________．解析：设长为acm，宽为bcm，则ab＝600cm，则中间文字部分的面积S＝(a－2－1)(b－2)＝606－(2a＋3b)≤606－2eq\r(6×600)＝486，当且仅当2a＝3b，即a＝30，b＝20时，S最大＝486cm2.答案：30cm、20cm7．铁道机车运行1h所需的成本由两部分组成：固定部分m元，变动部分(元)与运行速度x(km/h)的平方成正比，比例系数为k(k>0)．假如机车从甲站匀速开往乙站，甲、乙两站间的距离为500km，则机车从甲站运行到乙站的总成本y(元)与机车运行速度x之间的函数关系为____________．解析：∵1h的成本为(m＋kx2)元，从甲站到乙站需运行eq\f(500,x)h，∴y＝eq\f(500,x)(m＋kx2)＝500eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,x)＋kx)).答案：y＝500eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,x)＋kx))8．某人依据阅历绘制了2021年春节前后，从12月21日至1月7日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．解析：前10天满足一次函数关系式，设为y＝kx＋b，将点(1，10)和点(10，30)代入函数解析式得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10＝k＋b,30＝10k＋b))，解得k＝eq\f(20,9)，b＝eq\f(70,9)，所以y＝eq\f(20,9)x＋eq\f(70,9)，则当x＝6时，y＝eq\f(190,9).答案：eq\f(190,9)9．(2021·湖北鄂州调研)如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM面积的最大值．解：(1)作PQ⊥AF于点Q(