【优化方案】2021高考数学(人教版)一轮复习学案6-函数的奇偶性与周期性

学案6函数的奇偶性与周期性导学目标：1.了解函数奇偶性、周期性的含义.2.会推断奇偶性，会求函数的周期.3.会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题．自主梳理1．函数奇偶性的定义假如对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有______________，则称f(x)为奇函数；假如对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有____________，则称f(x)为偶函数．2．奇偶函数的性质(1)f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝____；f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(－x)＝f(|x|)⇔f(x)－f(－x)＝____.(2)f(x)是偶函数⇔f(x)的图象关于____轴对称；f(x)是奇函数⇔f(x)的图象关于________对称．(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有________的单调性．3．函数的周期性(1)定义：假如存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x＋T)＝________，则称f(x)为________函数，其中T称作f(x)的周期．若T存在一个最小的正数，则称它为f(x)的________________．(2)性质：①f(x＋T)＝f(x)经常写作f(x＋eq\f(T,2))＝f(x－eq\f(T,2))．②假如T是函数y＝f(x)的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是y＝f(x)的周期，即f(x＋kT)＝f(x)．③若对于函数f(x)的定义域内任一个自变量的值x都有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝eq\f(1,fx)或f(x＋a)＝－eq\f(1,fx)(a是常数且a≠0)，则f(x)是以______为一个周期的周期函数．自我检测1．已知函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是A．1 B．2 C．3 D．2．(2011·茂名月考)假如奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是()A．增函数且最小值是－5B．增函数且最大值是－5C．减函数且最大值是－5D．减函数且最小值是－53．函数y＝x－eq\f(1,x)的图象()A．关于原点对称B．关于直线y＝－x对称C．关于y轴对称D．关于直线y＝x对称4．(2009·江西改编)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2012)＋f(2011)的值为()A．－2 B．－1 C．1 D．5．(2011·开封模拟)设函数f(x)＝eq\f(x＋1x＋a,x)为奇函数，则a＝________.探究点一函数奇偶性的判定例1推断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝(x＋1)eq\r(\f(1－x,1＋x))；(2)f(x)＝x(eq\f(1,2x－1)＋eq\f(1,2))；(3)f(x)＝log2(x＋eq\r(x2＋1))；(4)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x<0，,－x2＋x，x>0.))变式迁移1推断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝x2－x3；(2)f(x)＝eq\r(x2－1)＋eq\r(1－x2)；(3)f(x)＝eq\f(\r(4－x2),|x＋3|－3).探究点二函数单调性与奇偶性的综合应用例2函数y＝f(x)(x≠0)是奇函数，且当x∈(0，＋∞)时是增函数，若f(1)＝0，求不等式f[x(x－eq\f(1,2))]<0的解集．变式迁移2(2011·承德模拟)已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围为________．探究点三函数性质的综合应用例3(2009·山东)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)，在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.变式迁移3定义在R上的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x)．若f(x)在区间[1,2]上是减函数，则f(x)()A．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数B．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数C．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数D．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数转化与化归思想的应用例(12分)函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)推断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)假如f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．【答题模板】解(1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.[2分(2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝eq\f(1,2)f(1)＝0.[4分]令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．[6分](3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3，[7分]∵f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，即f((3x＋1)(2x－6))≤f(64)[8分]∵f(x)为偶函数，∴f(|(3x＋1)(2x－6|)≤f(64)．[10分]又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(x)的定义域为D.∴0<|(3x＋1)(2x－6)|≤64.[11分]解上式，得3<x≤5或－eq\f(7,3)≤x<－eq\f(1,3)或－eq\f(1,3)<x<3.∴x的取值范围为{x|－eq\f(7,3)≤x<－eq\f(1,3)或－eq\f(1,3)<x<3或3<x≤5}．[12分]【突破思维障碍】在(3)中，通过变换已知条件，能变形出f(g(x))≤f(a)的形式，但思维障碍在于f(x)在(0，＋∞)上是增函数，g(x)是否大于0不行而知，这样就无法脱掉“f”，若能结合(2)中f(x)是偶函数的结论，则有f(g(x))＝f(|g(x)|)，又若能留意到f(x)的定义域为{x|x≠0}，这才能有|g(x)|>0，从而得出0<|g(x)|≤a，解之得x的范围．【易错点剖析】在(3)中，由f(|(3x＋1)·(2x－6)|)≤f(64)脱掉“f”的过程中，假如思维不缜密，不能准时回顾已知条件中函数的定义域中{x|x≠0}，易毁灭0≤|(3x＋1)(2x－6)|≤64，导致结果错误．1．正确理解奇函数和偶函数的定义，必需把握好两个问题：①定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；②f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．2．奇偶函数的定义是推断函数奇偶性的主要依据．为了便于推断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)±f(x)＝0⇔eq\f(f－x,fx)＝±1(f(x)≠0)．3．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也真．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它推断函数的奇偶性．4．关于函数周期性常用的结论：对于函数f(x)，若有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝eq\f(1,fx)或f(x＋a)＝－eq\f(1,fx)(a为常数且a≠0)，则f(x)的一个周期为2a(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2011·吉林模拟)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值为A．－eq\f(1,3) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)2．(2010·银川一中高三班级第四次月考)已知定义域为{x|x≠0}的函数f(x)为偶函数，且f(x)在区间(－∞，0)上是增函数，若f(－3)＝0，则eq\f(fx,x)<0的解集为()A．(－3,0)∪(0,3)B．(－∞，－3)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－3,0)∪(3，＋∞)3．(2011·鞍山月考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并满足f(x＋2)＝－eq\f(1,fx)，当1≤x≤2时，f(x)＝x－2，则f(6.5)等于()A．4.5B．－4.5C．0.5 D．－0.54．(2010·山东)设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)等于()A．3 B．1 C．－1 D．－5．设函数f(x)满足：①y＝f(x＋1)是偶函数；②在[1，＋∞)上为增函数，则f(－1)与f(2)大小关系是()A．f(－1)>f(2) B．f(－1)<f(2)C．f(－1)＝f(2) D．无法确定题号12345答案二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2010·辽宁部分重点中学5月联考)若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1，x>0，,a，x＝0，,x＋b，x<0))是奇函数，则a＋b＝________.7．(2011·咸阳月考)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，且f(1)>1，f(2)＝eq\f(2m－3,m＋1)，则m的取值范围是________．8．已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若f(2)＝2，则f(2010)的值为________．三、解答题(共38分)9．(12分)(2011·汕头模拟)已知f(x)是定义在[－6,6]上的奇函数，且f(x)在[0,3]上是x的一次式，在[3,6]上是x的二次式，且当3≤x≤6时，f(x)≤f(5)＝3，f(6)＝2，求f(x)的表达式．10．(12分)设函数f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)(1)证明f(x)是偶函数；(2)画出这个函数的图象；(3)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；(4)求函数的值域．11．(14分)(2011·舟山调研)已知函数f(x)＝x2＋eq\f(a,x)(x≠0，常数a∈R)．(1)争辩函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f(x)在[2，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围．答案自主梳理1．f(－x)＝－f(x)f(－x)＝f(x)2．(1)00(2)y原点(3)相反3．(1)f(x)周期最小正周期(2)③2a自我检测1．B[由于f(x)为偶函数，所以奇次项系数为0，即m－2＝0，m＝2.]2．A[奇函数的图象关于原点对称，对称区间上有相同的单调性．]3．A[由f(－x)＝－f(x)，故函数为奇函数，图象关于原点对称．]4．C[f(－2012)＋f(2011)＝f(2012)＋f(2011)＝f(0)＋f(1)＝log21＋log2(1＋1)＝1.]5．－1解析∵f(－1)＝0，∴f(1)＝2(a＋1)＝0，∴a＝－1.代入检验f(x)＝是奇函数，故a＝－1.课堂活动区例1解题导引推断函数奇偶性的方法．(1)定义法：用函数奇偶性的定义推断．(先看定义域是否关于原点对称)．(2)图象法：f(x)的图象关于原点对称，则f(x)为奇函数；f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)为偶函数．(3)基本函数法：把f(x)变形为g(x)与h(x)的和、差、积、商的形式，通过g(x)与h(x)的奇偶性判定出f(x)的奇偶性．解(1)定义域要求≥0且x≠－1，∴－1<x≤1，∴f(x)定义域不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．(2)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．∵f(－x)＝－x＝－x＝＝＝f(x)．∴f(x)是偶函数．(3)函数定义域为R.∵f(－x)＝log2(－x＋eq\r(x2＋1))＝log2eq\f(1,x＋\r(x2＋1))＝－log2(x＋eq\r(x2＋1))＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(4)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)；当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)．∴对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝－f(x)．故f(x)为奇函数．变式迁移1解(1)由于f(－1)＝2，f(1)＝0，f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，从而函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－x2≥0,|x＋3|≠3))得，f(x)定义域为[－2,0)∪(0,2]．∴定义域关于原点对称，又f(x)＝eq\f(\r(4－x2),x)，f(－x)＝－eq\f(\r(4－x2),x)∴f(－x)＝－f(x)∴f(x)为奇函数．例2解题导引本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式．解题的关键是利用函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具体的代数不等式”．在关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反．解∵y＝f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)上为增函数，∴y＝f(x)在(－∞，0)上单调递增，且由f(1)＝0得f(－1)＝0.若f[x(x－eq\f(1,2))]<0＝f(1)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xx－\f(1,2)>0,xx－\f(1,2)<1))即0<x(x－eq\f(1,2))<1，解得eq\f(1,2)<x<eq\f(1＋\r(17),4)或eq\f(1－\r(17),4)<x<0.若f[x(x－eq\f(1,2))]<0＝f(－1)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xx－\f(1,2)<0,xx－\f(1,2)<－1))由x(x－eq\f(1,2))<－1，解得x∈∅.∴原不等式的解集是{x|eq\f(1,2)<x<eq\f(1＋\r(17),4)或eq\f(1－\r(17),4)<x<0}．变式迁移2(－2，eq\f(2,3))解析易知f(x)在R上为单调递增函数，且f(x)为奇函数，故f(mx－2)＋f(x)<0，等价于f(mx－2)<－f(x)＝f(－x)，此时应用mx－2<－x，即mx＋x－2<0对全部m∈[－2,2]恒成立，令h(m)＝mx＋x－2，此时，只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(h－2<0,h2<0))即可，解得x∈(－2，eq\f(2,3))．例3解题导引解决此类抽象函数问题，依据函数的奇偶性、周期性、单调性等性质，画出函数的一部分简图，使抽象问题变得直观、形象，有利于问题的解决．－8解析由于定义在R上的奇函数，满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(4－x)＝f(x)．因此，函数图象关于直线x＝2对称且f(0)＝0，由f(x－4)＝－f(x)知f(x－8)＝f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数．又由于f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1<x2<x3<x4.由对称性知x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8.变式迁移3B[∵f(x)＝f(2－x)，∴f(x＋1)＝f(1－x)．∴x＝1为函数f(x)的一条对称轴．又f(x＋2)＝f[2－(x＋2)]＝f(－x)＝f(x)，∴2是函数f(x)的一个周期．依据已知条件画出函数简图的一部分，如右图：由图象可以看出，在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数．]课后练习区1．B[依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1＝－2a,b＝0))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,3),b＝0))，∴a＋b＝eq\f(1,3).]2．D[由已知条件，可得函数f(x)的图象大致为右图，故eq\f(fx,x)<0的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)．]3．D[由f(x＋2)＝－eq\f(1,fx)，得f(x＋4)＝－eq\f(1,fx＋2)＝f(x)，那么f(x)的周期是4，得f(6.5)＝f(2.5)．由于f(x)是偶函数，则f(2.5)＝f(－2.5)＝f(1.5)．而1≤x≤2时，f(x)＝x－2，∴f(1.5)＝－0.5.由上知：f(6.5)＝－0.5.]4．D[由于奇函数f(x)在x＝0有定义，所以f(0)＝20＋2×0＋b＝b＋1＝0，b＝－1.∴f(x)＝2x＋2x－1，f(1)＝3，从而f(－1)＝－f(1)＝－3.]5．A[由y＝f(x＋1)是偶函数，得到y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(－1)＝f(3)．又f(x)在[1，＋∞)上为单调增函数，∴f(3)>f(2)，即f(－1)>f(2)．]6．1解析∵f(x)是奇函数，且x∈R，∴f(0)＝0，即a＝0.又f(－1)＝－f(1)，∴b－1＝－(1－1)＝0，即b＝1，因此a＋b＝1.7．－1<m<eq\f(2,3)解析∵f(x＋3)＝f(x)，∴f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)．∵f(x)为奇函数，且f(1)>1，∴f(－1)＝－f(1)<－1，∴eq\f(2m－3,m＋1)<－1.解得：－1<m<eq\f(2,3).8．2解析由g(x)＝f(x－1)，得g(－x)＝f(－x－1)，又g(x)为R上的奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，∴f(－x－1)＝－f(x－1)，即f(x－1)＝－f(－x－1)，用x＋1替换x，得f(x)＝－f(－x－2)．又f(x)是R上的偶函数，∴f(x)＝－f(x＋2)．∴f(x)＝f(x＋4)，即f(x)的周期为4.∴f(2010)＝f(4×502＋2)＝f(2)＝2.9．解由题意，当3≤x≤6时，设f(x)＝a(x－5)2＋3，∵f(6)＝2，∴2＝a(6－5)2＋3.∴a＝－1.∴f(x)＝－(x－5)2＋3(3≤x≤6)．…………(3分)∴f(3)＝－(3－5)2＋3＝－1.又∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0.∴一次函数图象过(0,0)，(3，－1)两点．∴f(x)＝－eq\f(1,3)x(0≤x≤3)．…………………(6分)当－3≤x≤0时，－x∈[0,3]，∴f(－x)＝－eq\f(1,3)(－x)＝eq\f(1,3)x.又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－eq\f(1,3)x.∴f(x)＝－eq\f(1,3)x(－3≤x≤3)．………………(9分)当－6≤x≤－3时，3≤－x≤6，∴f(－x)＝－(－x－5)2＋3＝－(x＋5)2＋3.又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝(x＋5)2－3.∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋52－3，－6≤x≤－3，,－\f(1,3)x－3<x<3，…………12分,－x－52＋3，3≤x≤6.))10．解(1)f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f(x)，即f(－x)＝f(x)．∴f(x)是偶函数．………(2分)(2)当x≥0时，f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，当x<0时，f(x)＝x2＋2x－1