【2021高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：10-6

第十章10.6第6课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．如图为一半径为2的扇形(其中扇形中心角为90°)，在其内部随机地撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为()A.eq\f(2,π)B.eq\f(1,π)C.eq\f(1,2)D．1－eq\f(2,π)答案D解析S扇形＝eq\f(1,4)πR2＝π，S△＝eq\f(1,2)×2×2＝2，S阴影＝S扇形－S△＝π－2.由几何概型概率公式得黄豆落在阴影部分的概率P＝eq\f(π－2,π)＝1－eq\f(2,π).2．在集合{(x，y)|0≤x≤5,0≤y≤4}内任取一个元素，能使不等式eq\f(x,5)＋eq\f(y,2)－1≤0成立的概率为()A.eq\f(1,4)B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(2,3)答案A解析集合{(x，y)|0≤x≤5,0≤y≤4}在直角坐标系中表示的区域是一个由直线x＝0，x＝5，y＝0，y＝4所围成的长为5、宽为4的矩形，而不等式eq\f(x,5)＋eq\f(y,2)－1≤0和集合{(x，y)|0≤x≤5,0≤y≤4}表示区域的公共部分是以5为底、2为高的一个直角三角形，由几何概型公式可以求得概率为eq\f(\f(1,2)×5×2,5×4)＝eq\f(1,4).3.如右图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sinx(0≤x≤π)与x轴围成的如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能)，则所投的点落在阴影部分的概率是()A.eq\f(1,π)B.eq\f(2,π)C.eq\f(3,π)D.eq\f(π,4)答案A解析S矩形OABC＝2π，S阴影＝eq\i\in(0,π,)sinxdx＝2，由几何概型概率公式得P＝eq\f(2,2π)＝eq\f(1,π).4．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c，其中0≤b≤4,0≤c≤4，记函数f(x)满足条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f(2)≤12,f(－2)≤4))为大事A，则大事A发生的概率为()A.eq\f(1,4)B.eq\f(5,8)C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,8)答案C解析由题意知，大事A所对应的线性约束条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤b≤4,0≤c≤4,4＋2b＋c≤12,4－2b＋c≤14))，其对应的可行域如图中阴影部分所示，所以大事A的概率P(A)＝eq\f(S△OAD,S正方形OABC)＝eq\f(1,2)，选C.5．已知实数a满足－3<a<4，函数f(x)＝lg(x2＋ax＋1)的值域为R的概率为P1，定义域为R的概率为P2，则()A．P1>P2B．P1＝P2C．P1<P2D．P1与P2的大小不确定答案C解析若f(x)的值域为R，则Δ1＝a2－4≥0，得a≤－2或a≥2.故P1＝eq\f(－2－(－3),4－(－3))＋eq\f(4－2,4－(－3))＝eq\f(3,7).若f(x)的定义域为R，则Δ2＝a2－4<0，得－2<a<2故P2＝eq\f(4,7).∴P1<P2.二、填空题6．函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，那么任取一点x0使f(x0)≤0的概率为________．答案0.3解析如图，在[－5,5]上函数的图象与x轴交于两点(－1,0)，(2,0)，而x0∈[－1,2]，那么f(x0)≤0.所以P＝eq\f(区间[－1，2]的长度,区间[－5，5]的长度)＝eq\f(3,10)＝0.3.7．在区间(0,2)内任取两数m，n(m≠n)，则椭圆eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1的离心率大于eq\f(\r(3),2)的概率为________．答案eq\f(1,2)解析如图，m，n的取值在边长为2的正方形中．当m>n时，椭圆离心率e＝eq\f(\r(m2－n2),m)＝eq\r(1－(\f(n,m))2)，由e>eq\f(\r(3),2)，得m>2n.同理，当m<n时，n>2m.故满足条件的m，n为图中阴影部分．所求概率P＝eq\f(2×\f(1,2)×2×1,22)＝eq\f(1,2).8．已知关于x的一元二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.其中实数a、b满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b－8≤0,a>0，,b>0，))则函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率是________．答案eq\f(1,3)分析这个概率就是函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数时点(a，b)在已知区域中所占有的面积和已知区域的面积之比．解析函数f(x)＝ax2－4bx＋1在[1，＋∞)单调递增的充要条件是eq\f(2b,a)≤1，即b≤eq\f(a,2).作出平面区域如图所示，问题等价于向区域OAB中任意掷点，点落在区域OAC(其中点C的坐标是(eq\f(16,3)，eq\f(8,3)))中的概率，这个概率值是eq\f(\f(1,2)×\f(8,3)×8,\f(1,2)×8×8)＝eq\f(1,3).9．已知菱形ABCD的边长为2，∠A＝30°，则该菱形内的点到菱形的顶点A，B的距离均不小于1的概率是________．解析如图所示，只有当点位于图中的空白区域时，其到A，B的距离才均不小于1，菱形的面积为2×2×sin30°＝2，两个阴影部分的扇形面积之和恰好是一个半径为1的半圆，其面积为eq\f(π,2)，故空白区域的面积为2－eq\f(π,2)，所求的概率是eq\f(2－\f(π,2),2)＝eq\f(4－π,4)＝1－eq\f(π,4).10．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小于等于a的概率为________解析满足条件的点在半径为a的eq\f(1,8)球内，所以所求概率为p＝eq\f(\f(1,8)×\f(4,3)πa3,a3)＝eq\f(π,6).11．利用计算机在区间(0,1)上产生两个随机数a和b，则方程x＝－2a－eq\f(ab,x)有实根的概率为________．答案eq\f(1,4)解析方程x＝－2a－eq\f(ab,x)即x2＋2ax＋ab＝0若方程有实根，则有Δ＝4a2－4ab≥0，即b≤a，其所求概率可转化为几何概率，如图，其概率等于阴影面积与正方形面积之比．∴P＝eq\f(1,2).12．周长为定值的扇形OAB，当其面积最大时，向其内任意掷一点，则点落在△OAB内的概率是__________．答案eq\f(1,2)sin2解析设扇形周长为m，半径为r，则弧长l＝m－2r，扇形的面积是eq\f(1,2)rl＝eq\f(1,2)r(m－2r)≤eq\f(1,4)·(eq\f(2r＋m－2r,2))2＝eq\f(m2,16)，当且仅当r＝eq\f(m,4)时等号成立，此时扇形的弧长为eq\f(m,2)，故此时扇形的圆心角为eq\f(l,r)＝2弧度，点落在△OAB内的概率是eq\f(\f(1,2)r2sin2,\f(1,2)×2×r2)＝eq\f(1,2)sin2.三、解答题13．甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停靠两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．(1)假如甲船和乙船的停靠的时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；(2)假如甲船的停靠时间为4小时，乙船的停靠时间为2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．解析(1)设甲、乙两船到达时间分别为x、y，则0≤x<24,0≤y<24且y－x>4或y－x<－4.作出区域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x<24，,0≤y<24,y－x<4或y－x<－4))设“两船无需等待码头空出”为大事A，则P(A)＝eq\f(2×\f(1,2)×20×20,24×24)＝eq\f(25,36).(2)当甲船的停靠时间为4小时，两船不需等待码头空出，则满足x－y>2或y－x>4，设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为大事B，画出区域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x<24，,0≤y<24，,y－x>4或x－y>2)).P(B)＝eq\f(\f(1,2)×20×20＋\f(1,2)×22×22,24×24)＝eq\f(442,576)＝eq\f(221,288).14．已知关于x的一元二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.(1)设集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；(2)设点(a，b)是区域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－8≤0，,x>0，,y>0))内随机点，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．解析(1)∵函数f(x)＝ax2－4bx＋1的图象的对称轴为x＝eq\f(2b,a)要使f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a>0且eq\f(2b,a)≤1，即2b≤a.若a＝1，则b＝－1，若a＝2，则b＝－1,1，若a＝3，则b＝－1,1∴大事包含基本大事的个数是1＋2＋2＝5.∴所求大事的概率为eq\f(5,15)＝eq\f(1,3).(2)由(1)知当且仅当2b≤a且a>0时，函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，依条件事知试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b－8≤0,a>0,b>0))}构成所求大事的区域为三角形部分．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b－8＝0，,b＝\f(a,2)，))得交点坐标为(eq\f(16,3)，eq\f(8,3))．∴所求大事的概率为P＝eq\f(\f(1,2)×8×\f(8,3),\f(1,2)×8×8)＝eq\f(1,3).15．已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)在复平面上对应的点为M.(1)设集合P＝{－4，－3，－2,0}，Q＝{0,1,2}，从集合P中随机抽取一个数作为x，从集合Q中随机抽取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率；(2)设x∈[0,3]，y∈[0,4]，求点M落在不等式组：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－3≤0，,x≥0，,y≥0))所表示的平面区域内的概率．解析(1)记“复数z为纯虚数”为大事A.∵组成复数z的全部状况共有12个：－4，－4＋i，－4＋2i，－3，－3＋i，－3＋2i，－2，－2＋i，.－2＋2i,0，i,2i，且每种状况毁灭的可能性相等，属于古典概型，其中大事A包含的基本大事共2个：i,2i，∴所求大事的概率为P(A)＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6).(2)依条件可知，点M均匀地分布在平面区域{(x，y)|eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤3,0≤y≤4))}内，属于几何概型．该平面区域的图形为右图中矩形OABC围成的区域，面积为S＝3×4＝12.而所求大事构成的平面区域为{(x，y)|eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－3≤0，,x≥0，,y≥0))}，其图形如图中的三角形OAD(阴影部分)．又直线x＋2y－3＝0与x轴、y轴的交点分别为A(3,0)、D(0，eq\f(3,2))，∴三角形OAD的面积为S1＝eq\f(1,2)×3×eq\f(3,2)＝eq\f(9,4).∴所求大事的概率为P＝eq\f(S1,S)＝eq\f(\f(9,4),12)＝eq\f(3,16).老师备选题1．平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3cm，把一枚半径为1cm的硬币任意平掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)答案B解析如图所示，这是长度型几何概型问题，当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰，故所求概率为P＝eq\f(1,3).2．将长为l的棒随机折成3段，求3段构成的三角形的概率．解析设A＝“3段构成三角形”x，y分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为l－x－y.则