【名师一号】2020-2021学年人教A版高中数学必修3：第三章-概率-单元同步测试

第三章测试(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1．先后抛掷2枚一分、二分的硬币，观看落地后硬币的正、反面状况，则下列大事包含3个基本大事的是()A．至少一枚硬币正面对上B．只有一枚硬币正面对上C．两枚硬币都是正面对上D．两枚硬币一枚正面对上，另一枚正面对下解析先后抛掷2枚一分、二分的硬币，其结果有4种情形：“1正2正”、“1正2反”、“1反2正”、“1反2反”，可得“至少一枚硬币正面对上”包含3个基本大事．答案A2．下列命题：①对立大事肯定是互斥大事；②若A，B为两个随机大事，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若大事A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若大事A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A与B是对立大事．其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析①正确；②不正确，当A与B是互斥大事时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个大事A，B满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)；③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不肯定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设大事A＝{摸到红球或黄球}，大事B＝{摸到黄球或黑球}，明显大事A与B不互斥，但P(A)＋P(B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝1.答案A3．掷一枚均匀的硬币，假如连续抛掷1000次，那么第999次消灭正面对上的概率是()A.eq\f(1,999) B.eq\f(1,1000)C.eq\f(999,1000) D.eq\f(1,2)解析投掷一枚均匀的硬币正面对上的概率为eq\f(1,2)，它不因抛掷的次数而变化，因此抛掷一次正面对上的概率为eq\f(1,2)，抛掷第999次正面对上的概率还是eq\f(1,2).答案D4．某导演先从2个金鸡奖和3个百花奖的5位演员名单中选择2名演主角，后又从剩下的演员中选择1名演配角．这位导演选择出2个金鸡奖演员和1个百花奖演员的概率为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,10)C.eq\f(2,5) D.eq\f(3,10)解析设2个金鸡奖演员编号为1,2,3个百花奖演员编号为3,4,5.从编号为1,2,3,4,5的演员中任选3名有10种选择方法：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中选择出2名金鸡奖和1名百花奖的有3种：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，故所求的概率为P＝eq\f(3,10).答案D5．设某厂产品的次品率为3%，估量该厂8000件产品中次品的件数为()A．3 B．160C．240 D．7480解析次品数为8000×3%＝240.答案C6．有四个玩耍盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的玩耍盘是()解析由几何概型概率公式知，图中中奖的概率依次是P(A)＝eq\f(3,8)，P(B)＝eq\f(2,8)，P(C)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(D)＝eq\f(1,3)，因此，要想增加中奖机会，应选择A盘．答案A7．在线段AB上任取三个点x1，x2，x3，则x2位于x1与x3之间的概率为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D．1解析由于x1，x2，x3是任意的，它们的排列次序有：x1x2x3，x2x1x3，x2x3x1，x3x2x1，x1x3x2，x3x1x2，共6种状况．其中x2在x1与x3之间有两种状况，故所求概率为eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).答案B8．小明同学的QQ密码是由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中的6个数字组成的六位数，由于长时间未登录QQ，小明遗忘了密码的最终一个数字，假如小明登录QQ时密码的最终一个数字任凭选取，则恰好能登录的概率是()A.eq\f(1,105) B.eq\f(1,104)C.eq\f(1,102) D.eq\f(1,10)解析只考虑最终一位数字即可，从0至9这10个数字中任取一个，作为密码的最终一位数字有10种可能，其中只有一种可能登录成功，故其概率为eq\f(1,10).答案D9．某人从甲地去乙地共走了500m，途中要过一条宽为xm的河流，他不当心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能找到的概率为eq\f(4,5)，则河宽为()A．100m B．80mC.50m D．40m解析设河宽xm，则1－eq\f(x,500)＝eq\f(4,5)，∴x＝100(m)．答案A10．如图的矩形长为5、宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估量出阴影部分的面积为()A.eq\f(23,5) B.eq\f(23,50)C.10 D．不能估量解析利用几何概型的概率计算公式，得阴影部分的面积约为eq\f(138,300)×(5×2)＝eq\f(23,5).答案A11．在全部的两位数(10～99)中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是()A.eq\f(5,6) B.eq\f(4,5)C.eq\f(2,3) D.eq\f(1,2)解析在10～99中有99－10＋1＝90个整数，其中能被2整除的有45个，能被3整除的有30个，能被6整除的有15个，因此，所求的概率为P＝eq\f(45＋30－15,90)＝eq\f(2,3).答案C12．小丽和小明一起用A，B两枚均匀的小正方体(立方体的每个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)玩玩耍，以小丽掷出的A立方体朝上的数字为x，小明掷出的B立方体朝上的数字为y，来确定点P(x，y)，那么他们各掷一次所确定的点P(x，y)落在抛物线y＝－x2＋4x上的概率为()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,9)C.eq\f(1,12) D.eq\f(1,18)解析依据题意，两人各掷小正方体一次，每人都有6种可能性，则点P(x，y)的状况有6×6＝36种可能，而y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，即(x－2)2＋y＝4，易得在抛物线上的点有(2,4)，(1,3)，(3,3)共3种．因此满足条件的概率为eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).答案C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上)13．一种投掷骰子的玩耍规章是：交2元钱可掷一次骰子，若骰子朝上的点数是1，则中奖2元；若点数是2或3，则中奖1元，若点数是4,5或6，则无奖，某人投掷一次，那么中奖的概率是______．解析由题意知，投掷一次骰子若点数为1,2,3则获奖，若消灭点数4,5,6无奖，所以中奖的概率为eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)14．设集合A＝{0,1,2}，B＝{0,1,2}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上一个点P(a，b)，设“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为大事Cn(0≤n≤4，n∈N)，若大事Cn的概率最大，则n的可能值为________．解析基本大事为点(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，总数为9.当n＝0时，落在直线x＋y＝0上的点有1个(0,0)；当n＝1时，落在直线x＋y＝1上的点有2个，(0,1)和(1,0)；当n＝2时，落在直线x＋y＝2上的点有(1,1)，(2,0)，(0,2)，共3个；当n＝3时，落在直线x＋y＝3上的点有(1,2)，(2,1)共2个；当n＝4时，落在直线x＋y＝4上的点只有(2,2)1个．因此，当Cn的概率最大时，n＝2.答案215．已知区域E＝{(x，y)|0≤x≤3，0≤y≤2}，F＝{(x，y)|0≤x≤3，0≤y≤2，x≥y}，若向区域E内随机投掷一点，则该点落入区域F内的概率为________．解析依题意可知，本问题属于几何概型，区域E和区域F的对应图形如图所示．其中区域E的面积为3×2＝6，区域F的面积为eq\f(1,2)×(1＋3)×2＝4，所以向区域E内随机投掷一点，该点落入区域F内的概率为P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).答案eq\f(2,3)16．从4名男生和2名女生中任选3人参与演讲竞赛，所选3人中至少有1名女生的概率为eq\f(4,5)，那么所选3人中都是男生的概率为________．解析设A＝{3人中至少有1名女生}，B＝{3人中都是男生}，则A，B为对立大事，∴P(B)＝1－P(A)＝eq\f(1,5).答案eq\f(1,5)三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)某学校篮球队，羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参与了一支球队，具体状况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：(1)该队员只属于一支球队的概率；(2)该队员最多属于两支球队的概率．解由图知，三支球队共有队员10＋4＋3＋3＝20人，其中只参与一支球队的队员有5＋4＋3＝12人，参与两支球队的队员有1＋2＋3＝6人．(1)设“该队员只属于一支球队”为大事A，则P(A)＝eq\f(12,20)＝eq\f(3,5).(2)设“该队员最多属于两支球队”为大事B，则P(B)＝eq\f(12,20)＋eq\f(6,20)＝eq\f(18,20)＝eq\f(9,10).(或P(B)＝1－eq\f(2,20)＝eq\f(9,10))18．(12分)高一军训时，某同学射击一次，命中10环，9环，8环的概率分别为0.13,0.28,0.31.(1)求射击一次，命中10环或9环的概率；(2)求射击一次，至少命中8环的概率；(3)求射击一次，命中环数小于9环的概率．解设大事“射击一次，命中i环”为大事Ai(0≤i≤10，且i∈N)，且Ai两两互斥．由题意知P(A10)＝0.13，P(A9)＝0.28，P(A8)＝0.31.(1)记“射击一次，命中10环或9环”的大事为A，那么P(A)＝P(A10)＋P(A9)＝0.13＋0.28＝0.41.(2)记“射击一次，至少命中8环”的大事为B，那么P(B)＝P(A10)＋P(A9)＋P(A8)＝0.13＋0.28＋0.31＝0.72.(3)记“射击一次，命中环数小于9环”的大事为C，则C与A是对立大事，∴P(C)＝1－P(A)＝1－0.41＝0.59.19．(12分)水池的容积是20m3，向水池注水的水龙头A和水龙头B的流速都是1m解设水龙头A开x小时，水龙头B开y小时，若水池不溢出水，则x＋y≤20，记“水池不溢出水”为大事M，则M所占区域面积为eq\f(1,2)×20×20＝200，整个区域的面积为24×24＝576，由几何概型的概率公式，得P(M)＝eq\f(200,576)≈0.35，即水池不溢出水的概率为0.35.20．(12分)A、B两个箱子分别装有标号为0,1,2的三种卡片，每种卡片的张数如表所示.(1)从A、B箱中各取1张卡片，用x表示取出的2张卡片的数字之积，求x＝2的概率；(2)从A、B箱中各取1张卡片，用y表示取出的2张卡片的数字之和，求x＝0，y＝2的概率．解依题意知，从A、B箱中各取1张卡片，其基本大事有6×5＝30个．(1)记大事C为“从A、B箱中各取1张卡片，2张卡片的数字之积等于2”，则C包含5个基本大事，由古典概型的概率公式得P(C)＝eq\f(5,30)＝eq\f(1,6).(2)记大事D为“从A、B箱中各取1张卡片，其数字之和为2且积为0”，则包含10个基本大事，则P(D)＝eq\f(10,30)＝eq\f(1,3).21．(12分)某中同学物爱好小组在学校生物园地种植了一批贵重树苗，为了解树苗生长状况，从这批树苗中随机地测量了其中50棵树苗的高度(单位：厘米)．把这些高度列成了如下的频数分布表：组别[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数231415124(1)在这批树苗中任取一棵，其高度在85厘米以上的概率大约是多少？(2)这批树苗的平均高度大约是多少？(计算时可以用组中值代替各组数据的平均值)(3)为了进一步获得争辩资料，若从[40,50)组中移出一棵树苗，从[90,100]组中移出两棵树苗进行试验争辩，则[40,50)组中的树苗A和[90,100]组中的树苗C同时被移出的概率是多少？解(1)由已知，高度在85厘米以上的树苗大约有6＋4＝10棵，则所求的概率大约为eq\f(10,50)＝eq\f(1,5)＝0.2.(2)树苗的平均高度x≈eq\f(45×2＋55×3＋65×14＋75×15＋85×12＋95×4,50)＝eq\f(3690,50)＝73.8厘米．(3)依题意，记[40,50)组中的树苗分别为A、B，[90,100]组中的树苗分别为C、D、E、F，则全部的基本大事为ACD、ACE、ACF、ADE、ADF、AEF、BCD、BCE、BCF、BDE、BDF、BEF，共12个．满足A、C同时被移出