【创新设计】2022届-数学一轮(理科)-北师大版-课时作业-第八章-立体几何-4-

第4讲垂直关系基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不肯定成立的是 ()A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥β D．AC⊥β解析如图所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β，只有D不肯定成立，故选D.答案D2．设a是空间中的一条直线，α是空间中的一个平面，则下列说法正确的是()A．过a肯定存在平面β，使得β∥αB．过a肯定存在平面β，使得β⊥αC．在平面α内肯定不存在直线b，使得a⊥bD．在平面α内肯定不存在直线b，使得a∥b解析当a与α相交时，不存在过a的平面β，使得β∥α，故A错误；直线a与其在平面α内的投影所确定的平面β满足β⊥α，故选B；平面α内的直线b只要垂直于直线a在平面α内的投影，则就必定垂直于直线a，故C错误；当a与α平行时，在平面α内存在直线b，使得a∥b，故D错误．答案B3.如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么 ()A．PA＝PB＞PCB．PA＝PB＜PCC．PA＝PB＝PCD．PA≠PB≠PC解析∵M为AB的中点，△ACB为直角三角形，∴BM＝AM＝CM，又PM⊥平面ABC，∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC，故PA＝PB＝PC.答案C4．(2021·青岛质量检测)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是 ()A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥βC．aα，b⊥β，α∥β D．aα，b∥β，α⊥β解析A中，两直线可以平行、相交或异面，故不正确；B中，两直线平行，故不正确；C中，由α∥β，aα可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故正确；D中，两直线可以平行，相交或异面，故不正确．答案C5.(2021·深圳调研)如图，在四周体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是 ()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE解析由于AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.由于AC平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE，所以选C.答案C二、填空题6.如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．解析由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AC⊥BC，且PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF.故①②③正确．答案①②③7．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可)．解析∵PC在底面ABCD上的射影为AC，且AC⊥BD，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案DM⊥PC(或BM⊥PC)8．设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用代号表示)．解析假如①③④为条件，即m⊥n，n⊥β，m⊥α成立，过m上一点P作PB∥n，则PB⊥m，PB⊥β，设垂足为B.又设m⊥α，垂足为A，过PA，PB的平面与α，β的交线l交于点C.由于l⊥PA，l⊥PB，所以l⊥平面PAB，所以l⊥AC，l⊥BC.所以∠ACB是二面角α－l－β的平面角．由m⊥n，明显PA⊥PB，所以∠ACB＝90°，所以α⊥β.由①③④⇒②成立．反过来，假如②③④成立，与上面证法类似可得①成立．答案①③④⇒②(②③④⇒①)三、解答题9.(2022·西安测试)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝2AC＝2BC，D是棱AA1的中点，CD⊥B1(1)证明：CD⊥B1C1(2)平面CDB1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．(1)证明由题设知，三棱柱的侧面为矩形，由于D为AA1的中点，故DC＝DC1，又AA1＝2A1C1，可得DCeq\o\al(2,1)＋DC2＝CCeq\o\al(2,1)，所以CD⊥DC1，而CD⊥B1D，B1D∩C1D＝D，所以CD⊥平面B1C1D，由于B1C1平面B1C1D，所以CD⊥B1C1.(2)解由(1)知B1C1⊥CD，且B1C1⊥CC1C∩CD＝C，则B1C1⊥平面ACC1设V1是平面CDB1上方部分的体积，V2是平面CDB1下方部分的体积，则V1＝VB1－CDA1C1＝eq\f(1,3)×S梯形CDA1C1×B1C1＝eq\f(1,3)×eq\f(3,2)B1Ceq\o\al(3,1)＝eq\f(1,2)B1Ceq\o\al(3,1).V总＝VABC－A1B1C1＝eq\f(1,2)AC×BC×CC1＝B1Ceq\o\al(3,1)，V2＝V总－V1＝eq\f(1,2)B1Ceq\o\al(3,1)＝V1，故eq\f(V1,V2)＝1∶1.10.如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明(1)由于平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)由于AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以四边形ABED为平行四边形．所以BE∥AD.又由于BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)由于AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD.所以PA⊥CD，又PA∩AD＝A.所以CD⊥平面PAD.从而CD⊥PD.又E，F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF.故CD⊥EF，由EF，BE平面BEF，且EF∩BE＝E.所以CD⊥平面BEF.又CD平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.力量提升题组(建议用时：25分钟)11.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在 A．直线AB上 B．直线BC上C．直线AC上 D．△ABC内部解析由BC1⊥AC，又BA⊥AC，则AC⊥平面ABC1，因此平面ABC⊥平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上．答案A12．(2022·衡水中学模拟)如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H.则以下命题中，错误的命题是 ()A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直于平面CB1D1C．AH延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°解析对于A，由于AA1＝AB＝AD，所以点A在平面A1BD上的射影必到点A1，B，D的距离相等，即点H是△A1BD的外心，而A1B＝A1D＝BD，故点H是△A1BD的垂心，命题A是真命题；对于B，由于B1D1∥BD，CD1∥A1B，故平面A1BD∥平面CB1D1，而AH⊥平面A1BD，从而AH⊥平面CB1D1，命题B是真命题；对于C，由于AH⊥平面CB1D1，因此AH的延长线经过点C1，命题C是真命题；对于D，由C知直线AH即是直线AC1，又直线AA1∥BB1，因此直线AC1和BB1所成的角就等于直线AA1与AC1所成的角，即∠A1AC1而tan∠A1AC1＝eq\f(\r(2),1)＝eq\r(2)，因此命题D是假命题．答案D13．(2022·河南师大附中二模)如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.其中正确的有________(把全部正确的序号都填上)．解析由PA⊥平面ABC，AE平面ABC，得PA⊥AE，又由正六边形的性质得AE⊥AB，PA∩AB＝A，得AE⊥平面PAB，又PB平面PAB，∴AE⊥PB，①正确；又平面PAD⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面PBC不成立，②错；由正六边形的性质得BC∥AD，又AD平面PAD，∴BC∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立，③错；在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，∴④正确．答案①④14．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝2eq\r(2)，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.(1)证明：PC⊥平面BED；(2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．(1)证明由于底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC.又PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD，由于AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC.如图，设AC∩BD＝F，连接EF.由于AC＝2eq\r(2)，PA＝2，PE＝2EC，故PC＝2eq\r(3)，EC＝eq\f(2\r(3),3)，FC＝eq\r(2)，从而eq\f(PC,FC)＝eq\r(6)，eq\f(AC,EC)＝eq\r(6).所以eq\f(PC,FC)＝eq\f(AC,EC)，又∠FCE＝∠PCA，所以△FCE∽△PCA，∠FEC＝∠PAC＝90°.由此知PC⊥EF.又BD∩EF＝F，所以PC⊥平面BED.(2)解在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足．由于二面角A－PB－C为90°，所以平面PAB⊥平面PBC.又平面PAB∩平面PBC＝PB，故AG⊥平面PBC，AG⊥BC.由于BC与平面P