2025高考数学一轮复习§2.9指、对、幂的大小比较【课件】

第二章§2.9指、对、幂的大小比较指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现在压轴题的位置.重点解读例1

设

，则a，b，c的大小关系是A.a>c>b B.a>b>cC.c>b>a

D.b>c>a题型一直接法比较大小命题点1利用函数的性质√所以

，即a<b，又因为函数y＝

为增函数，所以

，即b<c，故c>b>a.例2

(2023·无锡模拟)已知a＝log72，b＝

，c＝0.60.4，则a，b，c的大小关系是A.a<c<b B.a<b<cC.b<c<a D.c<a<b命题点2找中间值√例3已知a>b>1,0<c<，则下列结论正确的是A.ac<bc

B.abc<bacC.alogbc<blogac

D.logac<logbc命题点3特殊值法√则

，∴ac>bc，故A错误；∴abc>bac，故B错误；alogbc＝－8，blogac＝－2，∴alogbc<blogac，logac>logbc，故C正确，D错误.利用特殊值作“中间量”在指数、对数中通常可优先选择“－1,0，

，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知1＝log22<log23<log24＝2，进而可估计log23是一个1～2之间的小数，从而便于比较.跟踪训练1

(1)(2023·龙岩模拟)已知a＝0.30.2，b＝0.30.1，c＝log0.33，则a，b，c的大小关系为A.a<b<c

B.c<b<aC.c<a<b

D.b<c<a√由y＝0.3x为减函数，得0<a＝0.30.2<0.30.1＝b<0.30＝1，由y＝log0.3x为减函数，得c＝log0.33<log0.31＝0，∴c<a<b.A.a>b>c

B.a>c>bC.b>a>c

D.b>c>a√命题点1作差法例4

(1)设a＝log62，b＝log123，c＝log405，则A.a<b<c

B.b<a<cC.c<a<b

D.a<c<b题型二利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小√又b>0，c>0，∴b>c；∴a<c.∴a<c<b.(2)(2024·枣阳模拟)已知a＝log34，b＝log45，c＝log56，则a，b，c的大小关系是A.a>b>c

B.a>c>bC.b>c>a

D.c>a>b√∴a>b，∴b>c，故a>b>c.命题点2作商法例5已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则A.a>c>b

B.a>b>cC.c>a>b

D.b>c>a√∵y＝0.3x是减函数，∴0.30.3>0.30.4，即b>c>0，命题点3乘方法例6

已知a＝log35，b＝log57，c＝

，则A.a>b>c

B.b>a>cC.c>b>a

D.a>c>b√因为53＝125>＝81，所以5>，因为73＝343<＝625，所以7<，命题点4对数法a<b可知f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，又当x→＋∞时，f′(x)→0，所以f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(2024)>f(2023)，即a<b.求同存异法比较大小如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的形式.跟踪训练2

(1)已知a＝2100，b＝365，c＝930，则a，b，c的大小关系是(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)A.a>b>c

B.b>a>cC.b>c>a

D.c>b>a√因为a＝2100，所以lga＝lg2100＝100lg2≈30.1，因为b＝365，所以lgb＝lg365＝65lg3≈31.0115，因为c＝930＝360，所以lgc＝lg360＝60lg3≈28.626，所以lgb>lga>lgc，所以b>a>c.(2)已知x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则A.3y<2x<5z

B.2x<3y<5zC.3y<5z<2x

D.5z<2x<3y√令2x＝3y＝5z＝k(k>1)，则x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，则2x>3y，所以3y<2x<5z.课时精练一、单项选择题1.设

，则a，b，c的大小关系为A.a>b>cB.c>a>bC.b>c>aD.b>a>c12345678910√因为函数y＝

为减函数，则

，因此b>a>c.123456789102.(2021·新高考全国Ⅱ)已知a＝log52，b＝log83，c＝

，则下列判断正确的是A.c<b<a

B.b<a<cC.a<c<b

D.a<b<c√123456789103.若a＝log0.30.2，b＝log32，c＝log3020，则A.c<b<a

B.b<c<aC.a<b<c

D.a<c<b√12345678910因为a＝log0.30.2>log0.30.3＝1，b＝log32<log33＝1，c＝log3020<log3030＝1，所以b<c<a.4.(2023·宣城模拟)若3x＝4y＝10，z＝logxy，则A.x>y>z

B.y>x>zC.z>x>y

D.x>z>y√12345678910因为3x＝4y＝10，则x＝log310>log39＝2,1＝log44<y＝log410<log416＝2，即1<y<2，所以x>y>1，从而z＝logxy<logxx＝1，所以x>y>z.5.已知a＝log32，b＝log43，c＝

，则a，b，c的大小关系为A.a＞b＞c

B.a＞c＞bC.b＞c＞a

D.b＞a＞c12345678910√12345678910故a<b，综上，b>a>c.123456789106.已知0.9p＝0.8，则正数m，n，p的大小关系为A.p>m>n

B.m>n>pC.m>p>n

D.p>n>m√12345678910因此2>m>n；由0.9p＝0.8，得p＝log0.90.8>log0.90.81＝2，于是p>m>n，所以正数m，n，p的大小关系为p>m>n.7.已知a＝810，b＝99，c＝108，则a，b，c的大小关系为A.b>c>a

B.b>a>cC.a>c>b

D.a>b>c12345678910√令f(x)＝(18－x)lnx，x≥8，12345678910故f(x)＝(18－x)lnx在[8，＋∞)上单调递减，所以f(8)>f(9)>f(10)，即10ln8>9ln9>8ln10，即ln810>ln99>ln108，所以810>99>108，即a>b>c.12345678910二、多项选择题8.(2023·十堰模拟)设a＝160.3，b＝90.6，c＝

，则A.a>c

B.b>cC.a>bD.b>a12345678910√√√因为a＝160.3＝(24)0.3＝21.2，b＝90.6＝(32)0.6＝31.2，所以31.2>21.2>21＝2，即b>a>2.因为c＝

＝log23<log24＝2，所以b>a>c.9.若a＝log45，b＝

，c＝eln2，则下列a，b，c的大小关系表达正确的为A.a<b

B.b<aC.c<b