【名师一号】2020-2021学年高中数学新课标人教A版选修1-1双基限时练19(第三章)

双基限时练(十九)1．函数y＝2x3－x2的极大值为()A．0 B．－9C．0，eq\f(27,16) D.eq\f(27,16)解析y′＝6x2－2x，令y′>0，解得x<0，x>eq\f(1,3)，令y′<0，解得0<x<eq\f(1,3)，∴当x＝0时，取得极大值0，故选A.答案A2．函数y＝1＋3x－x3有()A．微小值－1，极大值1 B．微小值－2，极大值3C．微小值－2，极大值2 D．微小值－1，极大值3解析y′＝3－3x2，令y′＝0，得x＝±1，易推断当x＝1时，有极大值y＝3，当x＝－1时，有微小值y＝－1.故选D.答案D3．三次函数当x＝1时，有极大值，当x＝3时，有微小值，且函数过原点，则该三次函数为()A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9xC．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x解析当y′＝0时，x＝1，x＝3，导函数可能为y′＝3(x2－4x＋3)，∴原函数可能为y＝x3－6x2＋9x.答案B4．已知函数y＝2x3－ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是()A．(2,3) B．(3，＋∞)C．(2，＋∞) D．(－∞，3)解析y′＝6x2－2ax＋36，∵x＝2为极值点，∴当x＝2时，y′＝6×4－2a×解得a＝15，∴y′＝6x2－30x＋36，令y′＝0，得x＝2，或x＝3，∴当y′>0时，x<2或x>3，当y′<0时，2<x<3，∴递增区间是(－∞，2)，(3，＋∞)，故选B.答案B5．设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则()A．a>－eq\f(1,e) B．a>－1C．a<－eq\f(1,e) D．a<－1解析y′＝ex＋a＝0有解，a＝－ex.设大于零的极值点为x0，则ex0>1，∴－ex0<－1，即a<－1.答案D6．函数y＝2x3－15x2＋36x－24的微小值为________．解析y′＝6x2－30x＋36＝6(x2－5x＋6)＝6(x－2)(x－3)．当x<2时，y′>0；当2<x<3时，y′<0；当x>3时，y′>0.∴当x＝3时有微小值．∴微小值为f(3)＝2×33－15×32＋36×3－24＝3.答案37．若函数y＝eq\f(1,3)x3＋x2＋ax在R上没有极值点，则实数a的取值范围是________．解析f′(x)＝x2＋2x＋a，∵f(x)在R上没有极值点，∴Δ＝4－4a≤0，∴a≥答案a≥18．若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则常数c的值为________．解析f(x)＝x3－2cx2＋c2xf′(x)＝3x2－4cx＋c2，∴f′(2)＝c2－8c＋12＝0，c＝2或c当c＝2，f′(x)＝3x2－8x＋4＝(3x－2)(x－2)，当eq\f(2,3)<x<2，f′(x)<0，当x>2，f′(x)>0，∴当x＝2时有微小值．当c＝6时，f′(x)＝3x2－24x＋36＝3(x－2)(x－6)，当2<x<6时，f′(x)<0，当x<2时，f′(x)>0，∴当x＝2时有极大值．∴c＝6符合题意．答案69．设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x(1)求a，b的值；(2)若对于任意的x∈，都有f(x)<c2成立，求c的取值范围．解(1)f′(x)＝6x2＋6ax＋3b.∵函数f(x)在x＝1及x＝2时取得极值，则有f′(1)＝0，f′(2)＝0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6＋6a＋3b＝0,24＋12a＋3b＝0))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3,b＝4)).(2)由(1)可知，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c∴f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)，当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1,2)时，f′(x)<0；当x∈(2,3)时，f′(x)>0.∴当x＝1时，f(x)取得极大值，f(1)＝5＋8c又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8则当x∈时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c∴对于任意的x∈，有f(x)<c2恒成立，∴9＋8c<c2，解得c<－1或c因此，c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．10．已知函数f(x)＝x2＋alnx.(1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若g(x)＝f(x)＋eq\f(2,x)在[1，＋∞)上是单调增函数，求实数a的取值范围．解(1)由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．当a＝－2时，f′(x)＝2x－eq\f(2,x)＝eq\f(2x＋1x－1,x).当x变化时，f′(x)和f(x)的值的变化状况如下表：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)单调递减微小值单调递增由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)，微小值是f(1)＝1.(2)由g(x)＝x2＋alnx＋eq\f(2,x)，得g′(x)＝2x＋eq\f(a,x)－eq\f(2,x2).若函数g(x)为[1，＋∞)上的单调增函数，则g′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立．即不等式2x－eq\f(2,x2)＋eq\f(a,x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，也即a≥eq\f(2,x)－2x2在[1，＋∞)上恒成立．令φ(x)＝eq\f(2,x)－2x2，则φ′(x)＝－eq\f(2,x2)－4x.当x∈[1，＋∞)时，φ′(x)＝－eq\f(2,x2)－4x<0，∴φ(x)＝eq\f(2,x)－2x2在[1，＋∞)上为减函数，∴φ(x)max＝φ(1)＝0，∴a≥0.故实数a的取值范围为[0，＋∞)．11．设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.(1)若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1·x2＝1，求实数a的值；(2)是否存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明