【全程复习方略】2020-2021学年高中数学(人教A版选修2-2)课时作业-2.1.1-合情推理

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(十四)合情推理一、选择题(每小题3分，共18分)1.某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是()A.白色B.黑色C.白色可能性大D.黑色可能性大【解析】选A.由题干图知，图形是三白二黑的圆周而复始相继排列，是一个周期为5的三白二黑的圆列，由于36÷5=7余1，所以第36个圆应与第1个圆颜色相同，即白色.2.已知数列{an}满足a0=1，an=a0+a1+a2+…+an-1(n≥1)，则当n≥1时，an等于()A.2n B.12C.2n-1 D.2n-1【解析】选C.a0=1，a1=a0=1，a2=a0+a1=2a1=2，a3=a0+a1+a2=2a2=4，a4=a0+a1+a2+a3=2a3=8，…，猜想n≥1时，an=2n-1.3.给出下列三个类比结论：①类比ax·ay=ax+y，则有ax÷ay=ax-y；②类比loga(xy)=logax+logay，则有sin(α+β)=sinαsinβ；③类比(a+b)2=a2+2ab+b2，则有(a+b)2=a2+2a·b+b2其中结论正确的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选C.依据指数的运算法则知ax÷ay=ax-y，故①正确；依据三角函数的运算法则知：sin(α+β)≠sinαsinβ，②不正确；依据向量的运算法则知：(a+b)2=a2+2a·b+b2，③4.设n棱柱有f(n)个对角面，则(n+1)棱柱的对角面的个数f(n+1)等于()A.f(n)+n+1 B.f(n)+nC.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2【解题指南】由于过不相邻两条侧棱的截面为对角面，过每一条侧棱与它不相邻的一条侧棱都能作对角面，可作(n-3)个对角面，n条侧棱可作n(n-3)个对角面，由于这些对角面是相互之间重复计算了，所以共有n(n-3)÷2个对角面，从而得出f(n+1)与f(n)的关系.【解析】选C.由于过不相邻两条侧棱的截面为对角面，过每一条侧棱与它不相邻的一条侧棱都能作对角面，可作(n-3)个对角面，n条侧棱可作n(n-3)个对角面，由于这些对角面是相互之间重复计算了，所以共有n(n-3)÷2个对角面，所以可得f(n+1)-f(n)=(n+1)(n+1-3)÷2-n(n-3)÷2=n-1，故f(n+1)=f(n)+n-1.5.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种外形来争辩数.比如：他们争辩过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A.289 B.1024 C.1225 D.1378【解析】选C.观看三角形数：1，3，6，10，…，记该数列为{an}，则a1=1，a2=a1+2，a3=a2+3，…an=an-1+n.所以a1+a2+…+an=(a1+a2+…+an-1)+(1+2+3+…+n)⇒an=1+2+3+…+n=n(n+1)观看正方形数：1，4，9，16，…，记该数列为{bn}，则bn=n2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n都为正整数的只有1225.6.(2022·枣庄高二检测)将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为()135791113151719212325272931…A.809 B.853 C.785 【解析】选A.前20行共有正奇数1+3+5+…+39=202=400个，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405-1=809.二、填空题(每小题4分，共12分)7.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四周体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________.【解析】V1V2=13=14×12=答案：18.(2022·石家庄高二检测)设n为正整数，f(n)=1+12+13+…+1n，计算得f(2)=32，f(4)>2，f(8)>52，f(16)>3，【解析】由前四个式子可得，第n个不等式的左边应当为f(2n)，右边应当为n+22，即可得一般的结论为f(2n)≥答案：f(2n)≥n9.(2022·杭州高二检测)对于命题“假如O是线段AB上一点，则|OB→|·OA→+|OA→|·OB→=0”将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，有S△OBC·OA→+S△OCA·OB→+S△【解析】依据类比的特点和规律，所得结论形式上全都，又线段类比平面，平面类比到空间，又线段长类比为三角形面积，再类比成四周体的体积，故可以类比为VO-BCD·OA→+VO-ACD·OB→+VO-ABD·OC→+V答案：VO-BCD·OA→+VO-ACD·OB→+VO-ABD·OC→三、解答题(每小题10分，共20分)10.平面中的三角形和空间中的四周体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边.(2)三角形的面积S=12×底×(3)三角形的中位线平行于第三边且第于第三边的12…请类比上述性质，写出空间中四周体的相关结论.【解析】由三角形的性质，可类比得空间四周体的相关性质为：(1)四周体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积.(2)四周体的体积V=13×底面积×(3)四周体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的1411.在平面几何中争辩正三角形内任意一点与三边的关系时，我们有真命题：边长为a的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值32a，类比上述命题，请你写出关于正四周体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，【解题指南】利用类比推理时，正三角形可类比成正四周体，归纳出结论再赐予证明.【解析】类比所得的真命题是：棱长为a的正四周体内任意一点到四个面的距离之和是定值63证明：设M是正四周体P-ABC内任一点，M到面ABC，面PAB，面PAC，面PBC的距离分别为d1，d2，d3，d4.由于正四周体四个面的面积相等，故有：VP-ABC=VM-ABC+VM-PAB+VM-PAC+VM-PBC=13·S△ABC·(d1+d2+d3+d4而S△ABC=34a2，VP-ABC=212a故d1+d2+d3+d4=63【变式训练】设f(x)=13x+3，先分别求f(0)+f(1)，f(-1)+f(2)，f(-2)+f(3)【解析】f(0)+f(1)=130=11+3=3-12+3-同理f(-1)+f(2)=33f(-2)+f(3)=33由此猜想：当x1+x2=1时，f(x1)+f(x2)=33证明：设x1+x2=1，则f(x1)+f(x2)=13x=3=3=3=33故猜想成立.一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2022·厦门高二检测)定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应下图中的(1)，(2)，(3)，(4)，那么下图中的(A)，(B)所对应的运算结果可能是()A.B*D，A*D B.B*D，A*CC.B*C，A*D D.C*D，A*D【解析】选B.由(1)(2)(3)(4)图得A表示|，B表示□，C表示—，D表示○，故图(A)(B)表示B*D和A*C.2.(2022·西安高二检测)已知“整数对”按如下规律排成一列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，则第60个数对是()A.(7，5) B.(5，7)C.(2，10) D.(10，1)【解析】选B.依题意，由和相同的“整数对”分为一组不难得知，第n组“整数对”的和为n+1，且有n个“整数对”.这样前n组一共有n(n+1)2个“整数对”.留意到10(10+1)2<60<11(11+1)3.(2022·汕头高二检测)观看下列各式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，可以得出的一般结论是()A.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=n2B.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2C.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=n2D.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=(2n-1)2【解析】选B.可以发觉：第一个式子的第一个数是1，其次个式子的第一个数是2，…故第n个式子的第一个数是n；第一个式子中有1个数相加，其次个式子中有3个数相加，…故第n个式子中有2n-1个数相加；第一个式子的结果是1的平方，其次个式子的结果是3的平方，…故第n个式子应当是2n-1的平方，故可以得到n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.4.(2022·临沂高二检测)已知x>0，由不等式x+1x≥2x·1x=2，x+4x2=x2+x2+4x2≥33x2·x2·A.2n B.n2 C.3n D.n【解析】选D.再续写一个不等式：x+33x3=x3+x344x由此可得a=nn.二、填空题(每小题5分，共10分)5.已知经过计算和验证有下列正确的不等式：3+17<210，7.5+12.5<210，8+2+12-2<210，依据以上不等式的规律【解析】观看所给不等式可以发觉：不等式左边两个根式的被开方数的和等于20，不等式的右边都是210，因此对正实数m，n都成立的条件不等式是：若m>0，n>0，则当m+n=20时，有m+n<210.答案：若m>0，n>0，则当m+n=20时，有m+n<2106.在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=b，BC=a，则△ABC外接圆半径r=a2+b22.运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两相互垂直且长度分别为a，b，【解题指南】解题时题设条件若是三条线两两相互垂直，就要考虑到构造正方体或长方体.【解析】(构造法)通过类比可得R=a2证明：作一个在同一个顶点处棱长分别为a，b，c的长方体，则这个长方体的体对角线的长度是a2+b答案：a【变式训练】在平面几何里，有“若△ABC的三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则三角形面积为S△ABC=12(a+b+c)r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四周体ABCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为R，则四周体的体积为________”【解题指南】留意发觉其中的规律总结出共性加以推广，或将结论类比到其他方面，得出结论.【解析】三角形的面积类比为四周体的体积，三角形的边长类比为四周体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径.二维图形中12类比为三维图形中的13，得V四周体ABCD=13(S1+S2+S3答案：V四周体ABCD=13(S1+S2+S3+S4三、解答题(每小题12分，共24分)7.观看下列等式：①sin210°+cos240°+sin10°cos40°=34②sin26°+cos236°+sin6°cos36°=34由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想?并证明你的猜想.【解析】由①②可看出，两角差为30°，则它们的相关形式的函数运算式的值均为34猜想：若β-α=30°，则β=30°+α，sin2α+cos2β+sinαcosβ=34也可直接写成sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)=34下面进行证明：左边=1-cos2α2+1+cos(2α+60°)2+sinαcos(=1-cos2α2+sinα·(cosα·cos30°-sinαsin30°)=12-12cos2α+12+14cos2α-34sin2α+34sin2故sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)=348.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)，(2)，(3)，(4)为最简洁的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越秀丽.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形.(1)求出f(5)的值.(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n+1)与f(n)之间的关系式，并依据你得到的关系式求出f(n)的表达式.(3)求1f(1)+1f(2)-1+1f(3)-1+…【解析】(1)f(5)=41.(2)由于f(2)-f(1)=4=4×1，f(3)-f(2)=8=4×