【创新设计】2022届-数学一轮(理科)-北师大版-课时作业-第十三章-推理证明、算法、复数-3-

第3讲数学归纳法及其应用基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知f(n)＝eq\f(1,n)＋eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,n2)，则 ()A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)答案D2．用数学归纳法证明不等式eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)>eq\f(13,24)(n>2)的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，不等式的左边 ()A．增加了一项：eq\f(1,2k＋1)B．增加了两项：eq\f(1,2k＋1)，eq\f(1,2k＋1)C．增加了两项：eq\f(1,2k＋1)，eq\f(1,2k＋1)，又削减了一项：eq\f(1,k＋1)D．增加了一项：eq\f(1,2k＋1)，又削减了一项：eq\f(1,k＋1)解析当n＝k时，左边＝eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋…＋eq\f(1,2k)，n＝k＋1时，左边＝eq\f(1,k＋2)＋eq\f(1,k＋3)＋…＋eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2).故选C.答案C3．数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an－an－1＝2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是 ()A．3n－2 B．n2C．3n－1 D．4n－3解析计算出a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16.可猜an＝n2，故应选B.答案B4．某个命题与正整数有关，假如当n＝k(k∈N＋)时该命题成立，那么可以推出n＝k＋1时该命题也成立．现已知n＝5时该命题成立，那么 ()A．n＝4时该命题成立B．n＝4时该命题不成立C．n≥5，n∈N＋时该命题都成立D．可能n取某个大于5的整数时该命题不成立解析明显A，B错误，由数学归纳法原理知C正确，D错．答案C5．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N＋)能被9整除”，利用归纳法假设证明n＝k＋1时，只需开放 ()A．(k＋3)3 B．(k＋2)3C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3解析假设n＝k时，原式k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只须将(k＋3)3开放，让其消灭k3即可．故应选A.答案A二、填空题6．(2021·榆林测试)在数列{an}中，a1＝eq\f(1,3)，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为________．解析当n＝2时，eq\f(1,3)＋a2＝(2×3)a2，∴a2＝eq\f(1,3×5).当n＝3时，eq\f(1,3)＋eq\f(1,15)＋a3＝(3×5)a3，∴a3＝eq\f(1,5×7).故猜想an＝eq\f(1,2n－12n＋1).答案An＝eq\f(1,2n－12n＋1)7．用数学归纳法证明：“1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)<n(n∈N＋，n>1)”时，由n＝k(k>1)不等式成立，推理n＝k＋1时，左边应增加的项数是________．解析当n＝k时，要证的式子为1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k－1)<k；当n＝k＋1时，要证的式子为1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k－1)＋eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋…＋eq\f(1,2k＋1－1)<k＋1.左边增加了2k项．答案2k8．(2021·九江模拟)已知f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)(n∈N＋)，经计算得f(4)>2，f(8)>eq\f(5,2)，f(16)>3，f(32)>eq\f(7,2)，则其一般结论为________．解析由于f(22)>eq\f(4,2)，f(23)>eq\f(5,2)，f(24)>eq\f(6,2)，f(25)>eq\f(7,2)，所以当n≥2时，有f(2n)>eq\f(n＋2,2).故填f(2n)>eq\f(n＋2,2)(n≥2，n∈N＋)．答案f(2n)>eq\f(n＋2,2)(n≥2，n∈N＋)三、解答题9．(2022·陕西卷改编)设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数．令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N＋，求gn(x)的表达式．解由题设得，g(x)＝eq\f(x,1＋x)(x≥0)．由已知得，g1(x)＝eq\f(x,1＋x)，g2(x)＝g(g1(x))＝eq\f(\f(x,1＋x),1＋\f(x,1＋x))＝eq\f(x,1＋2x)，g3(x)＝eq\f(x,1＋3x)，…，可得gn(x)＝eq\f(x,1＋nx).下面用数学归纳法证明．①当n＝1时，g1(x)＝eq\f(x,1＋x)，结论成立．②假设n＝k(k≥2且k∈N＋)时结论成立，即gk(x)＝eq\f(x,1＋kx).那么，当n＝k＋1时，gk＋1(x)＝g(gk(x))＝eq\f(gkx,1＋gkx)＝eq\f(\f(x,1＋kx),1＋\f(x,1＋kx))＝eq\f(x,1＋k＋1x)，即结论成立．由①②可知，结论对n∈N＋成立．10．已知f(n)＝1＋eq\f(1,23)＋eq\f(1,33)＋eq\f(1,43)＋…＋eq\f(1,n3)，g(n)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2n2)，n∈N＋.(1)当n＝1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小；(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．解(1)当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝1，所以f(1)＝g(1)；当n＝2时，f(2)＝eq\f(9,8)，g(2)＝eq\f(11,8)，所以f(2)<g(2)；当n＝3时，f(3)＝eq\f(251,216)，g(3)＝eq\f(312,216)，所以f(3)<g(3)．(2)由(1)猜想f(n)≤g(n)，下面用数学归纳法给出证明．①当n＝1,2,3时，不等式明显成立，②假设当n＝k(k≥3)时不等式成立，即1＋eq\f(1,23)＋eq\f(1,33)＋eq\f(1,43)＋…＋eq\f(1,k3)<eq\f(3,2)－eq\f(1,2k2).那么，当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋eq\f(1,k＋13)<eq\f(3,2)－eq\f(1,2k2)＋eq\f(1,k＋13).由于eq\f(1,2k＋12)－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2k2)－\f(1,k＋13)))＝eq\f(k＋3,2k＋13)－eq\f(1,2k2)＝eq\f(－3k－1,2k＋13k2)<0，所以f(k＋1)<eq\f(3,2)－eq\f(1,2k＋12)＝g(k＋1)．由①②可知，对一切n∈N＋，都有f(n)≤g(n)成立．力量提升题组(建议用时：25分钟)11．用数学归纳法证明2n>2n＋1，n的第一个取值应是 ()A．1 B．2C．3 D．4解析∵n＝1时，21＝2,2×1＋1＝3,2n>2n＋1不成立；n＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n>2n＋1不成立；n＝3时，23＝8,2×3＋1＝7,2n>2n＋1成立．∴n的第一个取值应是3.答案C12．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是 ()A．若f(1)<1成立，则f(10)<100成立B．若f(2)<4成立，则f(1)≥1成立C．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立D．若f(4)≥16成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立解析选项A，B的答案与题设中不等号方向不同，故A，B错；选项C中，应当是k≥3时，均有f(k)≥k2成立；选项D符合题意．答案D13．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线相互平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝________；当n>4时，f(n)＝________(用n表示)．解析f(3)＝2，f(4)＝f(3)＋3＝2＋3，f(5)＝f(4)＋4＝2＋3＋4，f(6)＝f(5)＋5＝2＋3＋4＋5，猜想f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n－1)＝eq\f(n＋1n－2,2)(n>4)．答案5eq\f(1,2)(n＋1)(n－2)14．(2022·重庆卷)设a1＝1，an＋1＝eq\r(a\o\al(2,n)－2an＋2)＋b(n∈N＋)．(1)若b＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式；(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2n<c<a2n＋1对全部n∈N＋成立？证明你的结论．解(1)法一a2＝2，a3＝eq\r(2)＋1.再由题设条件知(an＋1－1)2＝(an－1)2＋1.从而{(an－1)2}是首项为0，公差为1的等差数列，故(an－1)2＝n－1，即an＝eq\r(n－1)＋1(n∈N＋)．法二a2＝2，a3＝eq\r(2)＋1，可写为a1＝eq\r(1－1)＋1，a2＝eq\r(2－1)＋1，a3＝eq\r(3－1)＋1.因此猜想an＝eq\r(n－1)＋1.下面用数学归纳法证明上式：当n＝1时结论明显成立．假设n＝k时结论成立，即ak＝eq\r(k－1)＋1，则ak＋1＝eq\r(ak－12＋1)＋1＝eq\r(k－1＋1)＋1＝eq\r(k＋1－1)＋1.这就是说，当n＝k＋1时结论成立．综上可知，an＝eq\r(n－1)＋1(n∈N＋)．(2)设f(x)＝eq\r(x－12＋1)－1，则an＋1＝f(an)．令c＝f(c)，即c＝eq\r(c－12＋1)－1，解得c＝eq\f(1,4).下面用数学归纳法证明加强命题a2n<c<a2n＋1<1.当n＝1时，a2＝f(1)＝0，a3＝f(0)＝eq\r(2)－1，所以a