《导学案》2021版高中数学(人教A版-必修5)教师用书：3.8基本不等式-讲义

第8课时基本不等式1.把握基本不等式,能借助几何图形说明基本不等式的意义.2.能够利用基本不等式求最大(小)值.3.利用基本不等式求最值时要留意“一正二定三相等”.重点:基本不等式的实质由此加深同学对算术平均数、几何平均数的概念及相互关系的理解.难点:用基本不等式求最值要留意等号成立的条件,当等号不成立时,考虑用函数的单调性解决最值问题.如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是依据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热忱好客.在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形,设直角三角形的两条直角边长分别为a,b,那么正方形的边长为.问题1:上述情境中,正方形的面积为a2+b2,4个直角三角形的面积的和2ab,由于4个直角三角形的面积之和不大于正方形的面积,于是就可以得到一个不等式:a2+b2≥2ab,我们称之为重要不等式,即对于任意实数a,b,都有a2+b2≥2ab当且仅当a=b时,等号成立.

我们也可以通过作差法来证明:a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,

∴a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号.

问题2:基本不等式若a,b∈(0,+∞),则≥

,当且仅当a=b时,等号成立.

问题3:对于基本不等式,请尝试从其他角度予以解释.(1)基本不等式的几何解释:在直角三角形中,直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的的高.在圆中,半径不小于半弦长.

(2)假如把看作正数a、b的等差中项,看作正数a、b的等比中项,那么该定理可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

(3)在数学中,我们称为a、b的算术平均数,称为a、b的几何平均数.因此,两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

问题4:由基本不等式我们可以得出求最值的结论:(1)已知x,y∈(0,+∞),若积x·y=p(定值),则和x+y有最小值2,当且仅当x=y时,取“=”.

(2)已知x,y∈(0,+∞),若和x+y=s(定值),则积x·y有最大值

,当且仅当x=y时,取“=”.

即“积为常数,和有最小值;和为常数,积有最大值”.

概括为:一正二定三相等四最值.调和平均数是总体各单位标志值倒数的算术平均数的倒数,也称倒数平均数,是平均数的一种.但统计调和平均数,与数学调和平均数不同.在数学中调和平均数与算术平均数都是独立的自成体系的,计算结果前者恒小于等于后者,因而数学调和平均数定义为:数值倒数的平均数的倒数.但统计加权调和平均数则与之不同,它是加权算术平均数的变形,附属于算术平均数,不能单独成立体系,且计算结果与加权算术平均数完全相等,主要是用来解决在无法把握总体单位数(频数)的状况下,只有每组的变量值和相应的标志总量,而需要求得平均数的状况下使用的一种数据方法.1.在下列不等式的证明过程中,正确的是().A.若a,b∈R,则+≥2=2B.若a,b∈R+,则lga+lgb≥2C.若x为负实数,则x+≥-2=-2D.若x为负实数,则3x+3-x≥2=2【解析】对于A,若+≥2,则须a,b同号;对于B,应有a>1,b>1;对于C,因x为负实数,则x+=-[(-x)+]≤-2;只有D正确.【答案】D2.下列不等式确定成立的是().A.lg(x2+)>lgx(x>0)B.sinx+≥2(x≠kπ,k∈Z)C.>(b>a>0)D.>1(x∈R)【解析】对于A,x2+≥2=x,可以取“=”;对于B,当sinx<0时不成立;对于C,∵(a+2)b-(b+2)a=2(b-a)>0,∴>,正确;对于D,当x=0时,=1,不成立.∴只有C正确.【答案】C3.已知x>0,y>0,4x+9y=1,则+的最小值为.

【解析】∵x>0,y>0,4x+9y=1,∴+=(+)(4x+9y)=++13≥12+13=25,当且仅当=且4x+9y=1时等号成立,得:x=,y=.故当x=,y=时,(+)min=25.【答案】254.已知a>0,b>0,c>0,d>0,求证:+≥4.【解析】+=+++=(+)+(+)≥2+2=4(当且仅当a=b且c=d时,取“=”).基本不等式求最值(1)已知x>,求函数y=4x-2+的最小值.(2)已知正数a,b满足ab=a+b+3,求ab的取值范围.【方法指导】对已知函数进行变形,再运用均值不等式与换元法,留意等号的取舍.【解析】(1)∵x>,∴4x-5>0,∴y=4x-5++3.∵4x-5+≥2=2,当且仅当4x-5=,即x=时,等号成立.∴y≥2+3=5.故当x=时,函数y=4x-2+取得最小值5.(2)∵ab-3=a+b≥2,∴ab-2-3≥0且ab>0,即(-1)2≥4,∴≥3,即ab≥9(当且仅当a=b时取等号),∴ab的取值范围是[9,+∞).【小结】使用基本不等式时要留意“一正二定三相等”.利用基本不等式证明不等式已知x、y都是正数,求证:(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.【方法指导】在运用基本不等式≥时,留意条件a、b均为正数,结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件),进行变形.【解析】∵x,y都是正数,∴x2>0,y2>0,x3>0,y3>0.∵x+y≥2>0,x2+y2≥2>0,x3+y3≥2>0,∴(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥2·2·2=8x3y3,即(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.当且仅当“x=y”时取“=”.【小结】多次利用基本不等式证明时,确定要留意是否每次都能保证等号成立,并且取等号的条件应当全都.单调性与基本不等式设函数f(x)=x+,x∈[0,+∞).(1)当a=2时,求函数f(x)的最小值;(2)当0<a<1时,求函数f(x)的最小值.【方法指导】使用基本不等式时要留意参数的范围与取等号的关系.【解析】(1)把a=2代入f(x)=x+中,得f(x)=x+=x+1+-1.由于x∈[0,+∞),所以x+1>0,>0,所以f(x)≥2-1,当且仅当x+1=,即x=-1时,f(x)取得最小值2-1.(2)由于f(x)=x+=x+1+-1.当且仅当x+1=时等式成立,即x=-1<0,又x∈[0,+∞),所以基本不等式等号取不到.设x1>x2≥0,则f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)·[1-].由于x1>x2≥0,所以x1-x2>0,x1+1>1,x2+1≥1,所以(x1+1)(x2+1)>1,而0<a<1,所以<1,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)在[0,+∞)上单调递增.所以f(x)min=f(0)=a.【小结】本题第(2)问要从函数的单调性或结合双勾函数来考虑,由于基本不等式等号取不到,这是用基本不等式经常遇到的问题.(1)设0<x<,求函数y=4x(3-2x)的最大值.(2)若-4<x<1,求的最值.【解析】(1)∵0<x<,∴3-2x>0,∴y=4x(3-2x)=2·2x(3-2x)≤2()2=,当且仅当2x=3-2x,即x=∈(0,)时等号成立,∴ymax=.(2)=·=[(x-1)+]=-[-(x-1)+],∵-4<x<1,∴0<-(x-1)<5.∴[-(x-1)+]≥2,当且仅当x=0∈(-4,1)时取等号,∴-[-(x-1)+]≤-1,即()max=-1,无最小值.设a,b,c都是正数,求证:++≥a+b+c.【解析】∵a,b,c都是正数,∴,,都是正数.∴+≥2c,当且仅当a=b时等号成立+≥2a,当且仅当b=c时等号成立+≥2b,当且仅当a=c时等号成立.三式相加,得2(++)≥2(a+b+c),即++≥a+b+c,当且仅当a=b=c时等号成立.求函数y=的值域.【解析】令=t(t≥2),则y==+=t+(t≥2).由于t>0,所以t+≥2,当且仅当t=1时取等号,明显不在区间[2,+∞)内,即等号不成立,故考虑其单调性.易证y=t+在区间[2,+∞)上单调递增,故y≥.所以,所求函数的值域为[,+∞).1.下列不等式中恒成立的是().A.≥B.x+≥2C.≥3 D.2-3x-≥2【解析】A:=≥,恒成立.B:当x=-1时,x+=-2,不恒成立.C:=-,当x=0时最小,最小值为,∴不恒成立.D:当x>0时,2-3x-=2-(3x+)≤2-2×=2-4,不恒成立,选A.【答案】A2.当点(x,y)在直线x+3y-2=0上移动时,表达式3x+27y+1的最小值为().A.3B.5C.1D.7【解析】由x+3y-2=0得3y=-x+2,∴3x+27y+1=3x+33y+1=3x+3-x+2+1=3x++1≥2+1=7.当且仅当3x=,即x=1时取得等号.【答案】D3.已知0<x<,则x(1-3x)取得最大值时,x的值是.

【解析】由于0<x<,所以0<1-3x<1,所以x(1-3x)=[3x(1-3x)]≤·[]2=,当且仅当3x=1-3x,即x=时,x(1-3x)取得最大值.【答案】4.已知a、b、c是不全相等的正数,求证:(a+b)(b+c)(c+a)>8abc.【解析】∵a,b,c都是正数,∴a+b≥2>0(当且仅当a=b时等号成立),b+c≥2>0(当且仅当b=c时等号成立),c+a≥2>0(当且仅当a=c时等号成立),∵a、b、