【名师一号】2020-2021学年高中数学新课标人教A版选修1-1双基限时练13(第二章)

双基限时练(十三)1．直线l经过抛物线y2＝4x的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，若弦AB中点的横坐标为3，则|AB|为()A．4 B．8C．6 D．10解析由题可知，抛物线的准线方程为x＝－1，焦点为F，AB中点到准线的距离为3＋1＝4，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝2×4＝8.答案B2．已知点M(－4,1)，F为抛物线C：y2＝－4x的焦点，点P在抛物线上，若|PF|＋|PM|取最小值，则点P的坐标是()A．(0,0) B．(－1,2)C．(－eq\f(1,4)，1) D．(－2,2eq\r(2))解析如图所示，l为抛物线的准线，过P作PP′⊥l于P′，过M作MN⊥l于N，∴|PF|＋|PM|＝|PP′|＋|PM|≥|MN|.∴当|PF|＋|PM|取小值时，P的纵坐标为1，代入抛物线方程可得P的坐标为(－eq\f(1,4)，1)．答案C3．若直线ax－y＋1＝0经过抛物线y2＝4x的焦点，则实数a为()A．－1 B．1C．－eq\f(1,2) D．－2解析抛物线的焦点为(1,0)，代入直线方程为a＋1＝0，∴a＝－1.答案A4．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与P到抛物线准线的距离之和的最小值为()A．3 B.eq\f(\r(17),2)C.eq\r(5) D.eq\f(9,2)解析依据抛物线定义，点P到准线的距离转化为到焦点F(eq\f(1,2)，0)的距离，故为(0,2)和(eq\f(1,2)，0)的距离为eq\f(\r(17),2).答案B5．已知抛物线y＝4ax2(a>0)的准线与圆x2＋y2＋mx－eq\f(1,4)＝0相切，且此抛物线上的点A(x0,2)到焦点的距离等于3，则m＝()A．±eq\r(3) B．±eq\r(2)C．±1 D．0解析抛物线y＝4ax2的准线方程为y＝－eq\f(1,16a)，由题知2＋eq\f(1,16a)＝3，∴a＝eq\f(1,16).∴抛物线的准线为y＝－1，圆的方程可化为(x＋eq\f(m,2))2＋y2＝eq\f(1,4)＋eq\f(m2,4)，由圆与抛物线的准线相切可得eq\r(\f(1,4)＋\f(m2,4))＝1，即m＝±eq\r(3)，故选A.答案A6．P(x0，y0)是抛物线x2＝2py(p>0)上任一点，则P到焦点的距离是________．解析抛物线的准线为y＝－eq\f(p,2)，∴P到焦点的距离为y0＋eq\f(p,2).答案y0＋eq\f(p,2)7．抛物线y＝4x2上一点P，则P到直线y＝4x－5的距离的最小值为________．解析设P(x，y)，则d＝eq\f(|4x－y－5|,\r(17))＝eq\f(|4x－4x2－5|,\r(17))＝eq\f(|2x－12＋4|,\r(17))≥eq\f(4,\r(17))＝eq\f(4,17)eq\r(17).答案eq\f(4,17)eq\r(17)8．抛物线y2＝2px(p＞0)上有一点纵坐标为－4eq\r(2)，这点到准线的距离为6，则抛物线的方程为________．解析设点(x0，－4eq\r(2))，则(－4eq\r(2))2＝2px0，∴x0＝eq\f(32,2p)＝eq\f(16,p).又由抛物线的定义可知x0＋eq\f(p,2)＝6，∴eq\f(16,p)＋eq\f(p,2)＝6，即p2－12p＋32＝0，解得p＝4，或p＝8.∴抛物线方程为y2＝8x，或y2＝16x.答案y2＝8x，或y2＝16x9．已知点A(x，y)在抛物线y2＝4x上运动，求z＝x2＋eq\f(1,2)y2＋3的最小值．解∵A在抛物线上，∴x≥0，z＝x2＋eq\f(1,2)y2＋3＝x2＋2x＋3，二次函数z＝x2＋2x＋3的对称轴为x＝－1.∴在设方程的两个根为x1，x2，则依据韦达定理有x1＋x2＝eq\f(8＋p,2)，x1x2＝4.由弦长公式，得(3eq\r(5))2＝(1＋22)，即9＝(eq\f(8＋p,2))2－16.整理得p2＋16p－36＝0，解得p＝2，或p＝－18，此时Δ>0.故所求的抛物线方程为y2＝4x，或y2＝－36x.12．如图，已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求出这个最大面积．解由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－4，,y2＝4x.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝4，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－2.))∴A(4,4)，B(1，－2)．∴|AB|＝eq\r(4－12＋4＋22)＝3eq\r(5).设P(x0，y0)为抛物线AOB这段曲线上一点，d为点P到直线AB的距离，则d＝eq\f(|2x0－y0－4|,\r(4＋1))＝eq\f(1,\r(5))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,0),2)－y0－4))＝eq\f(1,2\r(5))|(y0－1)2－9|.∵－2<y0<4，∴当y0＝1时，d有最大值eq\f(9,2\r(5)).从而△PAB的最大面积为S＝eq\f(1,2)×3eq\r(5)×eq\f(9,2\r(5))＝eq\f(27,4)