【-学案导学设计】2020-2021学年高中人教B版数学选修2-1课时作业：3.2.2

3.2.2平面的法向量与平面的向量表示课时目标1.理解平面的法向量的概念，了解平面的向量表示式.2.把握线面垂直的判定定理以及三垂线定理和三垂线定理的逆定理，会证明两平面的平行和垂直．1．已知平面α，假如向量n的基线与平面α________，则向量n叫做平面α的法向量或说向量n与平面α________.2.设A是空间任一点，n为空间任一非零向量，则适合条件eq\o(AM,\s\up6(→))·n＝0的点M构成的图形是过空间一点并且与一个向量垂直的________，____________称作一个平面的向量表示式．3．设n1、n2分别是平面α、β的法向量，α∥β或α与β重合⇔n1______n2.α⊥β⇔__________⇔____________.4．假如在________内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的________垂直，则它也和这条________垂直；反之，假如平面内的一条直线和这个平面的一条________垂直，那么它也和这条斜线在平面内的________垂直．5．假如一条直线和平面内的________________垂直，那么这条直线__________这个平面．一、选择题1．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α的一个法向量的是()A．(0，－3,1)B．(2,0,1)C．(－2，－3,1)D．(－2,3，－1)2．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交3．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是()A．平行B．相交但不垂直C．垂直D．不能确定4．已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为()A．(1，－1,1)B．(2，－1,1)C．(－2,1,1)D．(－1,1，－1)5.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B、AC的中点，则MN与平面BB1CA．相交B．平行C．垂直D．不能确定6．斜线b在平面α内的射影为c，直线a⊥c，则a与b()A．垂直B．不垂直C．共面或垂直D．以上都有可能题号123456答案二、填空题7．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的单位法向量坐标为_________．8．已知直线l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，2))，且l∥α，则m＝________.9．下列命题中：①若u，v分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔u·v＝0；②若u是平面α的法向量且向量a与α共面，则u·a＝0；③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面确定不垂直．正确的命题序号是________．(填写全部正确的序号)三、解答题10．已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，试求平面α的一个法向量．11.如图所示，在六面体ABCD—A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1⊥平面A1B1C1D1，DD1⊥平面ABCD，DD求证：(1)A1C1与AC共面，B1D1与BD共面(2)平面A1ACC1⊥平面B1BDD1.力气提升12.已知：如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是CC1的中点，F是AC与BD的交点，求证：A1F⊥平面1．平行问题的证明方法证明线线平行只需证明表示两条直线的向量满足实数倍数关系，如证明AB∥CD只需证eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))；证明线面平行可转化为证直线的方向向量和平面的法向量垂直，然后说明直线在平面外；证面面平行可转化证两面的法向量平行．2．垂直问题的证明方法立体几何中的垂直有：线与线垂直、线与面垂直、面与面垂直，它们之间可以相互转化．要证线线垂直，可以转化为对应的向量垂直．要证线面垂直，可以转化为证明这条直线与平面内两条相交直线垂直．要证面面垂直，可以转化为证明两个平面的法向量垂直．非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0.设非零向量a，b，a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.3．三垂线定理及其逆定理常用于判定空间直线相互垂直，在应用时关键在于构造三垂线定理的基本图形，创设应用定理的环境．构造三垂线定理基本图形时要抓住下面三个环节：(1)确定投影面；(2)作出垂线；(3)确定射影．3．2.2平面的法向量与平面的向量表示学问梳理1．垂直正交2．平面eq\o(AM,\s\up6(→))·n＝03．∥n1⊥n2n1·n2＝04．平面射影斜线斜线射影5．两条相交直线垂直于作业设计1．D[只要是与向量n共线且非零的向量都可以作为平面α的法向量．故选D.]2．B[∵n＝－2a，∴n∥a，∴l⊥α3．C[∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，∴两法向量垂直，从而两平面也垂直．]4．C[明显a与b不平行，设平面α的一个法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a·n＝0，,b·n＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＋z＝0，,5x＋6y＋4z＝0.))令z＝1，得x＝－2，y＝1，∴n＝(－2,1,1)．]5．B[可以建立空间直角坐标系，通过平面的法向量eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(MN,\s\up6(→))的关系推断．]6．D[若a⊂α，由三垂线定理知a⊥b.当a不在平面α内时．a与b的位置关系不确定．]7.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)))8．－8解析∵l∥α，∴l的方向向量与α的法向量垂直．∴(2，m,1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，2))＝2＋eq\f(1,2)m＋2＝0，∴m＝－8.9．①②③10．解∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，－2，－4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2，－4，－3)，设平面α的一个法向量为n＝(x，y，z)．依题意，应有n·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，n·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0.即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y－4z＝0,2x－4y－3z＝0))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2y,z＝0)).令y＝1，则x＝2.∴平面α的一个法向量为n＝(2,1,0)．11．证明如图所示，以D为坐标原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,2)，A1(1,0,2)，C1(0,1,2)，B(2,2,0)，B1(1,1,2)．(1)∵eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2,2,0)，eq\o(B1D1,\s\up6(→))＝(－1，－1,0)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－2，－2,0)，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(A1C1,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(B1D1,\s\up6(→))，∴A1C1与AC共面，B1D1与BD共面(2)eq\o(DD1,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(0,0,2)·(－2,2,0)＝0，eq\o(DB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2,2,0)·(－2,2,0)＝0.∴eq\o(DD1,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(DB,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→)).∵DD1与DB是平面B1BDD1内的两条相交直线，∴AC⊥平面B1BDD1.又AC⊂面A1AC