2025年沪科新版高一数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年沪科新版高一数学上册月考试卷262考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、设则()A.-85B.21C.43D.1712、已知a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），则（）A.a⊥bB.a∥bC.（a＋b）⊥（a－b）D.a与b的夹角为α+β3、【题文】如图所示，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面且则点到平面的距离为（）

A.B.C.D.4、已知为非零向量，且|+|=||+||，则一定有（）A.=B.∥且方向相同C.=-D.∥且方向相反5、如图，为测得河对岸塔AB

的高，先在河岸上选一点C

使在C

塔底B

的正东方向上，测得点A

的仰角为60鈭�

再由点C

沿北偏东15鈭�

方向走10

米到位置D

测得隆脧BDC=45鈭�

则塔高AB

的高度为(

)

A.10

B.102

C.103

D.106

评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)6、将函数y=f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，再使图象上所有的点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y=cosx的图象，则f（x）的解析式可能是____．7、【题文】已知集合则____.8、【题文】设α；β、γ为彼此不重合的三个平面；l为直线，给出下列命题：

①若α∥β；α⊥γ，则β⊥γ；

②若α⊥γ；β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ；

③若直线l与平面α内的无数条直线垂直；则直线l与平面α垂直；

④若α内存在不共线的三点到β的距离相等；则平面α平行于平面β；

上面命题中，真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．9、【题文】圆上的点到直线的距离的最小值.10、已知点A（0，1），B（1，0），C（t，0），点D是直线AC上的动点，若AD≤2BD恒成立，则最小正整数t的值为____评卷人得分三、证明题(共6题，共12分)11、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．12、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．13、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．14、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．15、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．16、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．评卷人得分四、计算题(共1题，共6分)17、已知关于x的方程k2x2+（2k-1）x+1=0有两个不相等的实数根x1，x2．

（1）求k的取值范围；

（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．评卷人得分五、解答题(共3题，共15分)18、若二次函数满足且。（1）求的解析式；（2）若在区间上不等式恒成立，求实数的取值范围。19、【题文】已知函数f(x)=lnx，g(x)=k·

(I)求函数F(x)=f(x)-g(x)的单调区间；

(Ⅱ)当x>1时，函数f(x)>g(x)恒成立，求实数k的取值范围；

(Ⅲ)设正实数a1，a2，a3，an满足a1+a2+a3++an=1；

求证：ln(1+)+ln(1+)++ln(1+)>．20、已知向量=（4，2），=（-1，2），=（2；m）．

（1）若•＜m2；求实数m的取值范围；

（2）若向量与平行，求m的值．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、A【分析】试题分析：由考点：等比数列前n项和公式【解析】【答案】A2、C【分析】【解析】

因为a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），则（a＋b）与（a－b）的数量积为0，说明了（a＋b）⊥（a－b）选C【解析】【答案】C3、D【分析】【解析】

试题分析：由侧棱底面可知，连接BD，则连接AC，直角梯形中，可得侧棱底面所以侧棱AC，直角三角形SAC中，直角三角形ACD中中，由余弦定理可得则所以即

考点：几何体的体积，等积法求点到面的距离.【解析】【答案】D4、B【分析】解：∵为非零向量，且|+|=||+||；

∴平方得||2+||2+2•=||2+||2+2||•||；

即•=||•||；

∴||•||cos＜＞=||•||；

则cos＜＞=1，即∥且方向相同；

故选：B

根据向量数量积的应用；利用平方法进行判断即可．

本题主要考查向量数量积的应用，利用平方法是解决本题的关键．【解析】【答案】B5、D【分析】解：设塔高AB

为x

米，根据题意可知在鈻�ABC

中，隆脧ABC=90鈭�隆脧ACB=60鈭�AB=x

从而有BC=33xAC=233x

在鈻�BCD

中，CD=10隆脧BCD=60鈭�+30鈭�+15鈭�=105鈭�隆脧BDC=45鈭�隆脧CBD=30鈭�

由正弦定理可得，BCsin鈭�BDC=CDsin鈭�CBD

隆脿BC=10sin45鈭�sin30鈭�=102

隆脿33x=102

隆脿x=106

故选：D

．

先在鈻�ABC

中求出BC

再鈻�BCD

中利用正弦定理；即可求得结论．

本题考查了正弦定理在实际问题中的应用，解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题，属于中档题．【解析】D

二、填空题(共5题，共10分)6、略

【分析】

由题意可得，把函数y=cosx的图象图象上所有的点的纵坐标不变，横坐标变为原来的再沿x轴向右平移个单位可得f（x）的图象，从而可得f（x）=cos（2x-）；

故答案为：f（x）=cos（2x-）．

【解析】【答案】利用逆变换，由函数y=cosx图象上所有的点的纵坐标不变，横坐标变为原来的再将函数y=f（x）的图象沿x轴向右平移个单位；可得到函数f（x）的图象，从而可求函数f（x）．

7、略

【分析】【解析】

试题分析：本题中集合的元素是曲线上的点，因此中的元素是两个曲线的交点，故我们解方程组得或所以．

考点：集合的运算．【解析】【答案】8、略

【分析】【解析】由题可知③中无数条直线不能认定为任意一条直线，所以③错，④中的不共线的三点有可能是在平面β的两侧，所以两个平面可能相交也可能平行，故填①②.【解析】【答案】①②9、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】10、4【分析】【解答】设D（x；y），由D在AC上；

得：即x+ty﹣t=0；

由AD≤2BD得：

依题意，线段AD与圆至多有一个公共点；

∴解得：t≥2+或t≤2﹣

∵t是使AD≤2BD恒成立的最小正整数；∴t=4；

故答案为：4．

【分析】先设出D（x，y），得到AD的方程为：x+ty﹣t=0，由AD≤2BD得到圆的方程，结合点到直线的距离公式，求出t的最小值即可。三、证明题(共6题，共12分)11、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．12、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．13、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=14、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．15、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．16、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．四、计算题(共1题，共6分)17、略

【分析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的情况的判断方法，可得：；解可得答案；

（2）假设存在，由相反数的意义，即方程的两根的和是0，依据一元二次方程的根与系数的关系即可得到两根的和是=0，可得k的值；把k的值代入判别式△，判断是否大于0可得结论．【解析】【解答】解：（1）根据题意得：；（2分）

∴且k≠0；（3分）

（2）假设存在；根据一元二次方程根与系数的关系；

有x1+x2==0，即；（4分）

但当