2024年北师大版高二数学下册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年北师大版高二数学下册阶段测试试卷823考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时,则函数的图象在区间[0,6]上与轴的交点的个数为（）Ａ．6Ｂ．7Ｃ．8Ｄ．92、【题文】如果等差数列中，那么等于（）A.21B.30C.35D.403、【题文】若则必定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形4、已知△ABC中，a、b分别是角A、B所对的边，且a=x（x＞0），b=2，A=60°，若三角形有两解，则x的取值范围是（）A.x＞B.0＜x＜2C.

＜x＜2D.＜x≤25、气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第n天的维修保养费为元,使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)为止,一共使用了()A.800天B.600天C.1000天D.1200天评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)6、点是顶点为原点、焦点在x轴上的抛物线上一点，它到抛物线的焦点的距离为2，则的值为．7、已知不等式（）成立的一个充分条件是则实数的取值范围是_________;8、已知经过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，满足则弦的中点到准线的距离为____．9、【题文】下列命题中：

①若2弧度的圆心角所对的扇形的弦长为2，则扇形的弧长为

②若k＜－4；则函数y＝cos2x＋k(cosx－1)的最小值是1；

③若O为坐标原点，则在方向上的投影是

④在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、BC边中点，设则

其中命题正确的序号是_______________。10、已知椭圆C：=1，斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，且|AB|=则直线l的方程为______．11、直线y=2x+b

与曲线y=鈭�x+3lnx

相切，则b

的值为______．评卷人得分三、作图题(共7题，共14分)12、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

13、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）14、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）15、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

16、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）17、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）18、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共4题，共16分)19、已知空间三点A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，4），设．

（Ⅰ）求和的夹角θ的余弦值；

（Ⅱ）若向量与互相垂直；求实数k的值；

（Ⅲ）若向量与共线；求实数λ的值．

20、已知是公比为的等比数列，且成等差数列.⑴求的值；⑵设是以为首项，为公差的等差数列，求的前项和21、证明不等式＜ln（1+x）＜x∈（0，+∞）22、已知圆E：x2+（y-）2=经过椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点F1，F2，且与椭圆C在第一象限的交点为A，且F1，E，A三点共线，直线l交椭圆C于M，N两点，且=λ（λ≠0）

（1）求椭圆C的方程；

（2）当三角形AMN的面积取得最大值时，求直线l的方程．评卷人得分五、综合题(共1题，共4分)23、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、B【分析】【解析】

当0≤x＜2时，f（x）=x3-x=0解得x=0或x=1，因为f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，故f（x）=0在区间[0，6）上解的个数为6，又因为f（6）=f（0）=0，故f（x）=0在区间[0，6]上解的个数为7，即函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为7故选B【解析】【答案】B2、C【分析】【解析】

试题分析：因为等差数列中，所以，由等差数列的性质得，=选C.

考点：等差数列的性质【解析】【答案】C3、B【分析】【解析】则所以即为直角三角形，故选B【解析】【答案】B4、C【分析】【解答】解：∵在△ABC中，a=x（x＞0），b=2；A=60°；

∴由正弦定理得：sinB==

∵A=60°；

∴0＜B＜120°；

要使三角形有两解，得到60°＜B＜120°，且B≠90°，即＜sinB＜1；

∴＜＜1；

解得：＜x＜2；

故选：C．

【分析】利用正弦定理列出关系式，将a，b，sinA的值代入表示出sinB，根据B的度数确定出B的范围，要使三角形有两解确定出B的具体范围，利用正弦函数的值域求出x的范围即可．5、A【分析】【分析】依题意；先得出使用的这台仪器的日平均耗资的函数表达式，进而根据均值不等式求得耗资的最小值，及此时n的值．

【解答】依题意，使用的这台仪器的日平均耗资为y=[32000+]=++≥2+=84等号当且仅当=即n=800时取得．

故选A。二、填空题(共6题，共12分)6、略

【分析】试题分析：根据顶点为原点、焦点在x轴上的抛物线，点横坐标大于0，知道抛物线开口向右，可以设准线方程则抛物线方程为点代得入考点：抛物线及性质【解析】【答案】2或-27、略

【分析】试题分析：因为（）所以又是等式（）成立的一个充分条件，所以即化简得考点：不等式解集【解析】【答案】8、略

【分析】【解析】试题分析：设BF=m，由抛物线的定义知AA1=3m，BB1=m，∴△ABC中，AC=2m，AB=4m，kAB=直线AB方程为y=(x-1)与抛物线方程联立消y得3x2-10x+3=0，所以AB中点到准线距离为+1=+1=考点：本题主要考查抛物线的定义及其几何性质。【解析】【答案】9、略

【分析】【解析】①设圆心为O，弦的两端点分别为A，B，连结OA，OB。过O点作AB的垂线，垂足为C。设半径为r则，由可得，

②y＝cos2x＋k(cosx－1)

令t="cosx,"则y＝cos2x＋k(cosx－1)=

的对称轴为

若k＜－4，则y＝cos2x＋k(cosx－1)在为减函数。当t=1时函数取得最小值；即,y=2-1+k-k解得y=1

③由可得

所以在方向上的投影为，

④由题意可知：①②③

由①可得代入②得⑷

③+⑷得

整理得即【解析】【答案】①②④10、略

【分析】解：椭圆：=1，即：x2+3y2=3

l：y=x+m，代入x2+3y2=3；

整理得4x2+6mx+3m2-3=0；

设A（x1，y1），B（x2，y2）；

则x1+x2=-x1x2=

|AB|=•|x1-x2|

=•

==．

解得：m=±1．

直线l：y=x±1．

故答案为：y=x±1．

设出直线方程y=x+m，代入x2+3y2=3；结合题设条件利用椭圆的弦长公式能求出m，得到直线方程．

本题考查椭圆弦长的求法，解题时要注意弦长公式，考查计算能力以及分析问题解决问题的能力．【解析】y=x±111、略

【分析】解：设直线y=2x+b

与曲线的切点为P(x0,y0)

隆脽y=鈭�x+3lnx

隆脿y隆盲=鈭�1+3x

隆脿鈭�1+3x0=2

隆脿x0=1

隆脿y0=鈭�x0+3lnx0=鈭�1

隆脿P(1,鈭�1)

．

又P(1,鈭�1)

在直线y=2x+b

上；

隆脿鈭�1=2隆脕1+b

隆脿b=鈭�3

．

故答案为：鈭�3

．

求导函数，可求得切线斜率，利用直线y=2x+b

与曲线y=鈭�x+3lnx

相切，从而可得切点坐标，代入y=2x+b

可求得b

的值．

本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，求得切点坐标是关键，属于基础题．【解析】鈭�3

三、作图题(共7题，共14分)12、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

13、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．14、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．15、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

16、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．17、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．18、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共4题，共16分)19、略

【分析】

．

（Ⅰ）

∴和的夹角θ的余弦值为．

（Ⅱ）

∵向量与互相垂直；

∴=（k-1）（k+2）+k2-8=2k2+k-10=0

∴或k=2．

（Ⅲ）

∵向量与共线，∴存在实数μ，使得

即（λ+1，λ，-2）=μ（1+λ，1，-2λ）∴

∴λ=1；或λ=-1．

【解析】【答案】（I）利用向量夹角公式即可得出；

（II）利用向量垂直于数量积的关系即可得出；

（III）利用向量共线定理即可得出．

20、略

【分析】试题分析：⑴要求公比，得建立关于的方程式.所以根据等比数列中及成等差数列，利用等差中项解关于的方程;⑵要求等差数列的前项和根据得求通项公式利用等差数列即可.试题解析：⑴根据以及成等差数列有：或（舍去）;⑵根据等差数列中有所以等差数列的前项和为考点：等差数列通项公式,前项和公式,等比数列通项公式.【解析】【答案】⑴⑵21、略

【分析】

先证明前半部分，设函数f（x）=x--ln（1+x），利用导数可判断其单调性，从而可证；同理可证后半段，通过构造函数g（x）=2（1+x）ln（1+x）-x2-2x（x＞0）；利用一阶导数与二阶导数判断即可证得结论．

本题考查不等式的证明，突出考查导数在最大值、最小值问题中的应用，考查一阶导数与二阶导数的综合应用，考查推理、分析与证明的能力，属于难题．【解析】证明：先证明前半部分，设函数f（x）=x--ln（1+x）；

显然f（0）=0，f′（x）=1-x-=-

∴当x＞0时；f′（x）＜0；

∴函数f（x）=x--ln（1+x）在（0；+∞）上单调递减；

∴当x＞0时，f（x）＜f（0）=0，即x-＜ln（1+x）；①

后半部分成立，相当于证明：2（1+x）ln（1+x）＜x2+2x．

设g（x）=2（1+x）ln（1+x）-x2-2x（x＞0）；

∵g（0）=0；g′（x）=2[ln（1+x）-x]；

∴g′′（x）=2（-1）=-＜0；

∴g′（x）=2[ln（1+x）-x]在（0；+∞）上单调递减；

∴当x＞0时；g′（x）＜g′（0）=0；

∴g（x）=2（1+x）ln（1+x）-x2-2x在（0；+∞）上单调递减；

∴g（x）＜g（0）=0，即2（1+x）ln（1+x）＜x2+2x．

∴ln（1+x）＜x-．②

∴x-＜ln（1+x）＜x-．22、略

【分析】

（1）由题意把焦点坐标代入圆的方程求出c，再由条件得F1A为圆E的直径求出|AF1|=3，根据勾股定理求出|AF2|，根据椭圆的定义和a2=b2+c2依次求出a和b的值；代入椭圆方程即可；

（2）由（1）求出A的坐标；根据向量共线的条件求出直线OA的斜率，设直线l的方程和M；N的坐标，联立直线和椭圆方程消去y，利用韦达定理和弦长公式求出|MN|，由点到直线的距离公式求出点A到直线l的距离，代入三角形的面积公式求出△AMN的面积S的表达式，化简后利用基本不等式求出面积的最大值以及对应的m，代入直线l的方程即可．

本题考查椭圆的标准方程，韦达定理和弦长公式，向量共线条件，以及直线、圆与椭圆的位置关系等，考查的知识多，综合性强，考查化简计算能力，属于中档题．【解析】解：（1）如图圆E经过椭圆C的左右焦点F1，F2；

∴c2+（0-）2=解得c=（2分）

∵F1，E，A三点共线，∴F1A为圆E的直径，则|AF1|=3；

∴AF2⊥F1F2，∴=-=9-8=1；

∵2a=|AF1|+|AF2|=3+1=4；∴a=2

由a2=b2+c2得，b=（4分）

∴椭圆C的方程是（5分）

（2）由（1）得点A的坐标（1）；

∵（λ≠0），∴直线l的斜率为kOA=（6分）

则设直线l的方程为y=x+m，设M（x1，y1），N（x2，y2）；

由得，

∴x1+x2=x1x2=m2-2；

且△=2m2-4m2+8＞0；解得-2＜m＜2，（8分）

∴|MN|=|x2-x1|=

==

∵点A到直线l的距离d==

∴△AMN的面积S==

=≤=（10分）

当且仅当4-m2=m2，即m=直线l的方程为．（12分）五、综合题(共1题，共4分)23、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直