吉林省白城市实验高级中学2025届高三上学期1月期数学+答案

试卷第=PAGE9*2-117页共=SECTIONPAGES9*218页◎试卷第=PAGE9*218页共=SECTIONPAGES9*218页白城市实验高级中学2024-2025学年度高三上学期期末考试数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,M为棱DC的中点，N为侧面BC1的中心，过点M的平面α垂直于A.45+2B.23C.52.已知角的终边绕原点逆时针旋转π2后，得到角的终边，角的终边过点，且，则的值为（

A.B.C.D.3.某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在披测物体表面汇聚，探测器接收反射光，当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频串相同，当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移，其中为测速仪测得被测物体的横向速度，为激光波长，为两束探测光线夹角的一半，如图若激光测速仪安装在距离高铁处，发出的激光波长为，测得某时刻频移为，则该时刻高铁的速度约等于（）A.B.C.D.4.设与为两个正四棱锥，正方形ABCD的边长为且，点M在线段AC上，且，将异面直线PD，QM所成的角记为，则的最小值为（）A.B.C.D.5.在侧棱长为2的正三棱锥A-BCD中，点E为线段BC上一点，且AD⊥AE，则以A为球心，A.32π4B.2πC.36.已知正三棱锥P－ABC的底面边长为23，若半径为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥P－ABC的体积为（

A.2B.22C.3D.7.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=AA1=2，A.2,6B.2,5C.3,58.已知函数，，对，，使得成立，则正数a的取值范围为（）A.B.C.D.二、多项选择题（本大题共4小题.每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.在平面直角坐标系中，已知抛物线，过点作斜率为的直线与轴相交于点，与交于两点，且，则()A.B.C.以为直径的圆与抛物线的准线有公共点D.以为直径的圆与拋物线的准线没有公共点10.已知△ABC中，内角A，B，C满足A+sinA.cos2C+cosC.b>acosC11.已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图，则下列说法正确的是（）A.若甲、乙两组数据的平均数分别为x1¯，x2¯，则B.若甲、乙两组数据的方差分别为s12，s22，则C.甲成绩的极差小于乙成绩的极差D.甲成绩比乙成绩稳定12.将正四棱锥P-ABCD和正四棱锥Q-ABCD的底面重合组成八面体A.PQ⊥平面B.PAC.Ω的体积为4D.二面角P-AB-三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知a＞b＞1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＋2b＝________.14.若函数在x=2处取极值，则a=______，fx的极大值为______.15.如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进2千米后到达D处，又测得山顶B的仰角为75°，则山的高度BC为16.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a是b和四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数fx=ex(1)求曲线y=fx在点(2)证明：fx在0,+18.在△ABC中，AC=3AB，且BC边上的中线(1)若BC=2AB，求(2)若∠ABC=2∠DAC，求19.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形BCC1B1为菱形，D，E分别为BC，(1)求证：平面C1DE⊥平面(2)求直线C1E与平面20.记Sn为数列an的前n项和，已知an>0,a2=3a21.经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X（单位：t，100≤X≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．（1）将T表示为X的函数；（2）根据直方图估计利润T不少于49000元的概率．22.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PD⊥平面ABCD，E为(1)设平面ABE与直线PC相交于点F，求证：EF//(2)若AB=2，∠DAB=60°，PD=42，求直线BE参考答案1.【答案】D【解析】如图所示，取BC,CC1的中点E在正方形ABCD中，因为M,E分别为DC,BC所以∠DAM=∠CDE，因为∠ADM=90∘，所以∠AMD+∠CDE又因为E,N分别为BC,B因为CC1⊥平面ABCD，AM⊂平面ABCD，所以C又因为DE∩NE=E且DE,NE⊂平面DNE因为DN⊂平面DNE，所以AM⊥DN，同理可证：又因为AM∩D1M=M且AM,D1M即平面α截正方体ABCD-A1B由正方体ABCD-A1B在直角△ADD1中，可得在直角△ADM中，可得AM在直角△DD1M所以截面的面积为S=故选：D.2.【答案】D【解析】由，得，化简可得，解得，，tanβ所以．故选：D．3.【答案】C【解析】由题意：，故，即，故340km/h.故选：C.4.【答案】A【解析】连接交于点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方形边长为，所以，因为，所以为的中点，设，在直角中，有，故，所以，则，所以，因为，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为，因此的最小值为.故选：A.5.【答案】C【解析】取BC中点F，连接AF、DF，则有AF⊥BC，又AF∩DF=F，AF、DF⊂平面ADF，故又AD⊂平面ADF，故BC⊥AD，又BC∩AE=E，BC、AE⊂平面ABC，故又AC、AB⊂平面ABC，故AD⊥AC，由正三棱锥的性质可得AD、AB、AC两两垂直，故AF=1222+22=2π2×2=故选：C.

6.【答案】A【解析】因为球与该正三棱锥的各棱均相切，所以该球的球心在过截面圆圆心且与平面ABC垂直的直线上，又因为底面边长为23所以底面正三角形的内切圆的半径为r'又因为球的半径r=1，即r所以棱切球的球心即为底面正三角形的中心点O，如图，过球心O作PA的垂线交PA于H，则H为棱切球在PA上的垂足，

所以OH=又因为OA=12AB因为∠AOH∈0,π又由题意可知，PO⊥平面ABC，所以PO所以∠所以PO=所以VP故选：A.7.【答案】B【解析】如图，连接BP，过Q作QR⊥BC，垂足为在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥所以CC1⊥BC故CC过Q作QM⊥B1C1于点M，连接MR，易得则BC⊥MR，又BC⊥B因为QM≤PB1，MR=BB所以QR≤PB，则C当Q与C1重合时，QR=CC当Q与P重合时，由BC⊥AB，BC⊥BB1，AB⊥B所以BC⊥PB，所以QR=PB所以△BCQ的面积的取值范围为2,故选：B.8.【答案】C【解析】，当时，，，即值域为.又，则为增函数，当时，值域为.要使对，，使得成立，则，，解得，所以实数的取值范围是.故选：C.9.【答案】AD【解析】设直线方程为，即，则，由，消去整理得，则，,由可得，，则，整理得，所以，解得，.又因为直线过，所以，即，验证，与抛物线有两个交点.故A正确，B错误；可知：准线方程为，直线的方程：，由弦长公式得，则以为直径的圆的圆心坐标为，半径为，则圆心到准线的距离为，所以以为直径的圆与抛物线的准线没有公共点，C错误，D正确．故选：AD．10.【答案】ABC【解析】对于选项A，不妨取B=C=π但cos2C+对于选项B，由A+sinC>即sinC构造函数f(x)=sin故f(x)在因为f(C)>f(π2可得B,因为y=sinx在(0,π2)上单调递增，所以因为y=cosx在(0,π2)上单调递减，所以可得sinCcosB对于选项C，因为A∈(π2,π)，可得b-acos对于选项D，因为A∈(π2,π)，由正弦定理asin可得(2R即sin2C+sin故选：ABC.11.【答案】ACD【解析】由图知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学，其他5次考试都高于乙同学，知x1¯>x2¯，A正确；甲同学的成绩比乙同学稳定，故s12>s2212.【答案】AC【解析】令正方形ABCD的中心为O，连接PO,

对于A，由正四棱锥P-ABCD，得PO⊥平面ABCD，同理QO⊥则P,O,Q共线，因此PQ⊥平面对于B，连接AC，显然O是AC的中点，AO=12ACQO=QA2-AO2=22，O不是PQ对于C，Ω的体积V=VP对于D，取AB中点M，连接PM,QM，则PM⊥AB,QM⊥而PM=PA2-AM故选：AC.13.【答案】8【解析】由logab＋logba＝，且logab·logba＝1，所以logab，logba是方程x2－x＋1＝0的两根，解得logba＝2或logba＝，又a＞b＞1，所以logba＝2，即a＝b2，又ab＝ba，从而b2b＝ba，则a＝2b，且a＝b2，则b＝2，a＝4，所以a＋2b＝8.14.【答案】-10【解析】，由题可知，解得a=-10，所以，当f'x>0时，得2<x当f'x<0时，得0<x<2或x所以fx在0,2，5,+∞上单调递减，在2,5故fx的极大值为．故答案为：-10，．15.【答案】2【解析】由题意得，所以，且，在△ABD中，由正弦定理得，即，，解得，所以，故答案为2.16.【答案】0,【解析】因为a是b和b+c的等比中项，所以a2=由余弦定理可得cosA=b2+c2由正弦定理可得sinB即sin=sin又A,B∈0,π，所以所以0<B<π0<A=2B由2sin令fx=2sinf令f'x>0，得cosx>12，得0<令f'x<0，得cosx<12，得π3因为fπ3=332，故fx∈0,332，即故答案为：0,317.【答案】(1)解因为f'所以f'0=1所以曲线y=fx在点0,f即x-(2)证明由(1)知，f'因为cosx≥-1，所以xcos所以f设hx=ex所以hx在0,+所以hx所以f'所以fx在0,+∞18.【答案】解(1)由题可知AB=由勾股定理得，A=π2，所以又sin∠ABC=3又BC边上中线AD=1所以BC=2，AB=1，所以SΔ(2)由题可知AB=设∠ABC=2θ,∠在△ABD中，由正弦定理得ABsin∠ADB在△ADC中，由正弦定理得DCsin∠DAC所以1sin2θ=a在△ABD和△cos所以a2+4=8在△ADC中，由余弦定理得D即a22=12将a2=8c2-由①④得3a2=c2+22即2c6+7c因为c>0，所以c2=1，则a2故BC的长为2.19.【答案】(1)证明由AB=BC=2，AC=2∴AB⊥∵D，E分别为BC，AC的中点，∴DE∥AB，且DE=12连接BC1，则由条件可得△BCC1又C1E=2，∴∴DE⊥C1D．又C1D∩BC=D∴DE⊥平面BCC1B1，又∴平面C1DE⊥平面(2)解由(1)可得AB⊥平面BCC1B1，又DE∩BC=D，DE,BC⊂平面如图，以B为坐标原点，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴，过点B且与C1D平行的直线为z轴建立空间直角坐标系B-则B0,0,0，A0,2,0，B1-1,0∴BA→=0,2,0，B设平面ABB1A1由n→·BA→令x=3，可得设直线C1E与平面ABB1则sinθ即直线C1E与平面ABB120.【答案】证明∵数列Sn是等差数列，设公差为d=S∴Sn=a1+∴Sn=a1n∴当n≥2时，=2a当n=1时，2a1×1-a∴an的通项公式为an=2a∴a∴an是等差数列21.【答案】解（1）当X∈[100,130)时，T=500X-300(130-X)=8