专题09 球（柱）体模型（解析版）-2025版高二物理寒假精-品讲义

专题09球（柱）体模型1.圆界面的法线是过圆心的直线，经过两次折射后光线向圆心偏折2.球形介质对光的偏折有对称性。【例1】如图，一个半径为R的玻璃球，O点为球心。球面内侧单色点光源S发出的一束光在A点射出，出射光线AB与球直径SC平行，θ＝30°。光在真空中的传播速度为c。求：(1)玻璃的折射率；(2)从S发出的光线经多次全反射回到S点的最短时间。【答案】(1)eq\r(3)(2)eq\f(4\r(6)R,c)【解析】(1)根据题意将光路图补充完整，如图所示根据几何关系可知θ1＝θ＝30°，θ2＝60°根据折射定律有n＝eq\f(sinθ2,sinθ1)解得n＝eq\r(3)(2)设全反射的临界角为C，则sinC＝eq\f(1,n)＝eq\f(\r(3),3)，则C<45°光在玻璃球内的传播速度有v＝eq\f(c,n)根据几何关系可知当θ＝45°，即光路为圆的内接正方形时，从S发出的光线经多次全反射回到S点的时间最短，则正方形的边长x＝eq\r(2)R则最短时间为t＝eq\f(4x,v)＝eq\f(4\r(6)R,c)。【总结提升】(1)解决几何光学问题应先根据折射定律和反射定律准确画好光路图。(2)充分利用光的可逆性、对称性、相似性等几何关系以及边角关系。【例2】如图甲所示，AB为半圆的直径，O为圆心，在O点左侧用红色激光笔从E点垂直AB射入的红光进入半球形介质后在上表面的入射角恰好等于全反射的临界角C＝45°。(1)求半球形介质的折射率；(2)若取用半球形介质制成环状介质砖，如图乙所示，内径为R、外径为R′＝eq\r(2)R的环状介质砖的圆心为O，一束平行于水平轴O′O的光线由A点进入介质砖，到达B点(图中未标出)刚好发生全反射，求A点处光线的入射角和折射角。【答案】(1)eq\r(2)(2)45°30°【解析】(1)由全反射临界角的公式有sinC＝eq\f(1,n)即sin45°＝eq\f(1,n)＝eq\f(\r(2),2)，半球形介质的折射率n＝eq\r(2)。(2)光线平行于O′O方向射向球面，到达B点刚好发生全反射，在B点的入射角等于临界角C。在△OAB中，OA＝eq\r(2)R，OB＝R，由正弦定理得eq\f(sin（180°－C）,\r(2)R)＝eq\f(sinr,R)可得sinr＝eq\f(1,2)则A点处光线的折射角r＝30°由n＝eq\f(sini,sinr)解得A点处光线的入射角i＝45°。【例3】电子产品中常用到发光二极管，其中一种是由半径为R的半球体透明介质和发光管芯组成，管芯发光部分是一个圆心与半球体介质的球心O重合的圆面，如图所示，PQ为发光圆面的直径，圆弧ABC在半球体介质过球心O的纵截面上，B、D分别为圆弧ABC、BDC的中点。由PQ上的M点发出的一条光线MD经D点折射出去后与OB平行，已知θ＝75°。(1)求半球体介质的折射率及光从该介质射入空气中的临界角；(2)为使从发光圆面射向半球面上的所有光线都能直接射出，则管芯发光圆面的面积最大为多少？【答案】(1)eq\r(2)45°(2)eq\f(πR2,2)【解析】(1)如图甲所示，由几何关系得光线射到D点的入射角、折射角分别为θ2＝30°、θ1＝45°甲则半球体介质的折射率n＝eq\f(sinθ1,sinθ2)＝eq\r(2)又sinC＝eq\f(1,n)，解得临界角C＝45°。(2)如图乙所示乙由正弦定理得eq\f(R,sinβ)＝eq\f(r,sinα)整理得sinα＝eq\f(r,R)sinβ当β＝90°时，α最大，即从P或Q点垂直于PQ发出的光线射到球面上时入射角最大，则sinαmax＝eq\f(r,R)所有光都能直接射出，应满足sinαmax<sinC，解得r<eq\f(\r(2)R,2)管芯发光圆面的面积最大为S＝π＝eq\f(πR2,2)。一、单选题1．如图所示，横截面为圆环的柱形容器由折射率为n的玻璃制成，其外径为R1，内径为R2，MN为一条直径。有两束光线，其中光线A在纸平面内传播，从M点射向容器，经一次折射后，恰好与容器内壁相切，另一束光线B平行于MN射向容器，经过一次折射后，恰好在容器内壁发生全反射，则（）A．光线A入射角的正弦值siniB．光线A射入柱形容器后折射出去的时间为C．光线B的入射角的正弦值sini'D．光线B到MN的距离等于【答案】C【详解】A．光线与容器内壁相切，光路图如图1所示，设光线在M点的入射角为i，折射角为r，由折射定律得：n由几何关系得sinr解得sini故A错误；B．光线A在柱形容器中通过的距离为s＝2光线A在柱形容器中传播速度为v则光线A射入柱形容器后折射出去的时间为t故B错误；C．平行于MN的光线射向容器，在容器外壁的入射角为，折射角为，如图2所示，由折射定律得：光线恰好在容器内壁发生全反射，入射角等于临界角C，则sinC根据正弦定理可得nR1解得而即故C正确；D．设光线B到MN的距离为d，根据几何关系可得故D错误。故选C。2．半径为R的半圆柱形透明材料的横截面如图所示，某实验小组将该透明材料的A处磨去少许，使一激光束从A处射入时能够沿AC方向传播。已知AC与直径AB的夹角为30°，激光束到达材料内表面的C点后同时发生反射和折射现象。已知该材料的折射率为，则在C点的反射光束与折射光束的夹角为（

）A．60° B．75° C．90° D．105°【答案】D【详解】光束在C点的入射角为30°，根据折射定律有解得根据反射定律可知反射角为30°，则在C点的反射光束与折射光束的夹角为故选D。3．光导纤维技术在现代生产、生活与科技方面得以广泛应用，如图所示，一个质量均匀分布的有机玻璃圆柱的横截面，B，C为圆上两点，一束单色光沿AB方向射入，然后从C点射出，已知，，真空中光速，，，则（）A．光在该有机玻璃中传播速度为B．光在该有机玻璃中的折射率为1.8C．光在该有机玻璃中发生全反射的临界角为37°D．若将该材料做成长300km的光导纤维，此单色光在光导纤维中传播的最短时间为【答案】D【详解】AB．根据折射定律得则光在有机玻璃中传播的速度为故AB错误；C．根据全反射的定义故临界角大于37°，故C错误；D．当光线与光导纤维平行时，传播的时间最短，则传播的时间故D正确。故选D。4．光具有能量，也有动量p，p方向沿光的传播方向。，h为普朗克常量，为光的波长。光照射到物体表面时会产生压力，称为光压。光射达物质界面时会发生折射，遵循折射定律，传播方向发生变化会导致其动量改变，从而产生光压。如图，一束光线从真空中入射到均匀分布的微球的A点，两次折射后从B点射出。光束经过微球的过程中，其动量变化量（）A．由A指向B，光对微球产生的冲量指向BB．由A指向B，光对微球产生的冲量指向AC．与垂直，光对微球产生的冲量垂直向上D．与垂直，光对微球产生的冲量垂直向下【答案】C【详解】做出入射光动量方向、折射光动量方向以及折射后光线动量的变化量如图所示可知光束经过微球的过程中，其动量变化量与AB垂直，根据动量定理可知，微球对光束作用力的方向与动量变化量的方向相同，其方向垂直AB向下，而根据牛顿第三定律可知，光束对微球的作用力与微球对光束的作用力大小相等、方向相反，可知光束对微球的作用力垂直AB向上。由冲量公式可见光对微球产生的冲量垂直向上。故选C。5．如图所示，半圆形玻璃砖水平放置，一束复色光从其上表面左侧射入玻璃砖，分成a、b两束。随着入射角增加，下列说法正确的是（）A．a的折射角增大，b折射角减小B．a的折射角减小，b折射角增大C．a、b折射角都增大D．a、b折射角都减小【答案】C【详解】根据可知，对于任何颜色的光，随着入射角增加，折射角都增大。故选C。二、多选题6．如图为一半圆柱形均匀透明材料的横截面，一束红光a从空气沿半径方向入射到圆心O，当时，反射光b和折射光c刚好垂直。下列说法正确的是（）A．该材料对红光的折射率为1.414 B．若，光线c消失C．若入射光a变为白光，光线b为白光 D．若入射光a变为紫光，光线b和c仍然垂直【答案】BC【详解】A．根据几何关系可知红光从材料内发生折射时，光线的折射角为，故折射率为

故A错误；B．设临界角为C，得故故若，会发生全反射，光线c消失，故B正确；C．由于光线b为反射光线，反射角等于入射角，故当入射光a变为白光，光线b为白光，故C正确；D．对同种介质，紫光的折射率比红光大，故若入射光a变为紫光，折射角将变大，光线b和c不会垂直，故D错误。故选BC。三、解答题7．如图为一半径为R的半圆柱体玻璃砖的截面图，O为圆柱截面的圆心，AB为直径，现将一束垂直于直径AB的光从M点射入，OM长度为，光线射到玻璃砖的圆弧面恰好发生全反射。(1)先完成光路图并求玻璃砖的折射率；(2)求光线在玻璃砖中的传播时间（光在真空中的速度用c表示）。【答案】(1)见解析；2(2)【详解】（1）光路图如图所示，根据几何关系，可知又sin解得（2）由几何关系，可知光线在玻璃砖中的传播路程为根据可得8．如图为一半圆柱形均匀透明材料的横截面，一束红光a从空气沿半径方向入射到圆心O，当θ=30°时，反射光b和折射光c刚好垂直。求：(1)该材料对红光的折射率；(2)θ满足什么条件时，光线c消失。【答案】(1)(2)见解析【详解】（1）根据几何关系可知红光a在材料内发生折射时折射角为60°，根据折射定律可得（2）根据临界角与折射率的关系可得可得所以光线c消失需要满足9．如图所示是一直角槽圆柱形玻璃砖的截面，其折射率为，半径为为轴心。一束光线从距该玻璃砖轴心处的E点垂直于面进入玻璃砖，经几次反射后又照射到玻璃砖的面上的某一位置F点（图中未画出）。(1)试在图中补充完整这束光线由E点到F点的光路；(2)通过计算说明，这束光线是否能从玻璃砖的面射出.F点到轴心O的距离是多少？【答案】(1)见解析(2)能，【详解】（1）根据题意，由反射定律和折射定律画出光路图，如图所示：（2）发生全反射时有可得光在玻璃砖中发生全反射的临界角为根据（1）中光路图，由几何关系可得则这束光线在F点的入射角小于临界角，不发生全反射，这束光线能从玻璃砖的面射出。由几何关系有解得即F点到轴心O的距离是。10．半径为R的透明半圆柱置于空气中，横截面如图所示，为圆心与半圆顶点间连线。真空中波长为的单色光射入其半圆面上，入射方向与平行，入射点为P，，半圆柱的折射率为。求(1)光从半圆柱出射的位置与O点之间的距离；(2)光线在半圆柱中的波长。【答案】(1)(2)【详解】（1）如图所示设光线在透明半圆柱内的折射角为，由折射定律得得由几何关系可知设光从半圆柱出射的位置与O点之间的距离为，则由正弦定理得又解得（2）设该单色光的频率为，则又联立解得11．如图所示，一束光沿圆心方向从半圆形表面射入玻璃半球后从底面射出。入射光线与法线的夹角为，折射光线与法线的夹角为。已知光在真空中的速度为。求：(1)这束光在此玻璃半球中的折射率(2)这束光在此玻璃半球中的传播速率。【答案】(1)(2)【详解】（1）由折射定律可知解得折射率（2）由折射率与光在介质中的速率关系式解得12．光纤已普遍应用到通信领域，具有可弯曲、传输速度快、信息量大等优点。如图是一段弯成圆弧的光纤材料，一束光紧贴光纤材料内侧垂直射入材料一端，在A点恰好发生全反射，如图所示。已知光纤材料的直径为d，光纤材料内侧对应的半径为R，光在真空中的传播速度为c。求：(1)光在光纤材料中的折射率；(2)光在光纤材料中的传播速度大小。【答案】(1)(2)【详解】（1）当光纤材料弯曲达到最小半径时，光纤恰好在材料内发生全反射，光路图如图所示，根据全反射条件有根据几何关系得联立解得（2）光在光纤材料中的传播速度大小13．如图所示，MON为一扇形玻璃砖的截面，其圆心角为135°，半径r=8cm。一束平行单色光沿着ON方向射向OM面，玻璃砖对此单色光的折射率为，不考虑光线在玻璃砖内反射光的再次出射，求圆弧上有光透出的弧长。

【答案】【详解】当光线经玻璃砖折射后恰好在圆弧面发生全反射，所以圆弧面上只有BC段有光透出，如图所示

根据折射定律可得根据几何关系可得所以，根据临界角与折射率的关系可得所以根据几何关系可得所以所以圆弧上有光透出的弧长为14．如图所示，有一折射率为的透明材料制成的中空管道，其横截面内圆半径为，外圆半径未知，单色光线以的入射角平行于横截面从A点入射，经折射后在内圆的表面恰好发生全反射，已知光在真空中的速度为，求：(1)管道的外圆半径；(2)只考虑光线在透明材料内的一次反射，则该光线从进入透明材料到射出透明材料所用的时间是多少？【答案】(1)(2)【详解】（1）单色光线经折射后在内圆的表面恰好发生全反射，根据可得光线图如图所示根据折射定律可得可得根据正弦定理可得解得管道的外圆半径为（2）光在透明材料内的传播速度为根据几何关系可知，设光在透明材料内的传播距离为，根据几何关系可得可得则该光线从进入透明材料到射出透明材料所用的时间为15．10分）如图所示，玻璃砖的截面是半径为R的半圆，O为圆心，玻璃砖上表面水平，一束单色光斜射在O点，入射角为，折射光线出射后照射在水平面上的A点，保持入射方向不变，将入射点从O点向左移到D点（图中未标出），使折射光线刚好照射到圆弧的最低点B点，光线从B点出射后仍照射到A点，已知B点到水平面的距离，光在真空中传播速度为c，求：(1)玻璃砖对光的折射率；(2)光从D点运动到B点所用时间为多少。【答案】(1)(2)【详解】（1）从点入射的光线折射后从点射出，则光从点射出时传播方向与点入射光线平行，由此可知，由于根据几何关系可知则三角形为等腰三角形，由此可知，光在点的折射角则折射率（2）根据几何关系光在玻璃砖中传播速度传播时间16．如图所示为用某种特殊透明材料制作的半径为R的半圆形砖，在圆心O点处垂直于砖直径MN边射入一束由红绿双色光混合的激光，当激光束缓慢向左平移到距O点位置时发现半圆形曲面恰好只有单色光射出，射出光线与入射方向夹角为，不考虑反射。求：(1)该透明材料分别对两种单色光的折射率；(2)在直径MN的范围内垂直射入的光束中，求从弧面射出的总宽度。【答案】(1)；2(2)【详解】（1）红光的折射率小于绿光的折射率，所以半圆形曲面恰好只有单色光射出时红光发生折射，绿光恰好发生全反射，如图所示，由几何知识可知曲面上光束的入射角满足解得折射角为。根据折射率的定义式，可得，（2）当红光恰好发生全反射时有所以总长度为17．如图甲所示为一个足球玻璃球，其简化模型的正视图如图乙所示，为球心，是沿水平方向的直径。一束激光从点平行于射入玻璃球内部，从右侧点射出。已知真空中的光速，该玻璃球对激光的折射率为，玻璃球的半径为。且球内的足球是不透光体，不考虑反射光的情况下，求：(1)该激光在玻璃球内的光速；(2)玻璃球内足球的最大直径。【答案】(1)(2)【详解】（1）根据可得（2）根据几何关系，结合光路可逆，作出光路图如图所示根据几何关系有解得，光束从C点射入时恰能从右侧射出且射出点为B，表明内部光线与足球相切，根据几何关系可知，足球的直径为18．某种透明材料制成的空心球体外径是内径R的两倍，其过球心的某截面如图所示，一束单色光（在纸面内）从外球面上A点射入，当入射角为45°时，光束经外球面折射后恰好与内球面相切于B点。已知真空中的光速为c，求：(1)该光束在透明材料中的传播速度：(2)现改变光束在A点的入射角，使其折射后能在内球面上发生全反射，求入射角i的范围。【答案】(1)(2)【详解】（1）由几何关系可知，光线在A点的折射角为折射率该光束在透明材料中的传播速度（2）如图，设在A点的入射角为i'时，光束经折射后到达内球面上C点，并在C点恰发生全反射，则光束在内球面上的入射角∠ACD恰等于临界角C，由代入数据得∠ACD=C=45°由正弦定理有因AO=2R，CO=R解得由折射定律有解得sini'=0.5即此时的入射角i'=30°即若使其折射后能在内球面上发生全反射，则需满足。19．如图所示，ABCDE是一透明材料做成的光学元件的截面图，AB为半径为a的四分之一圆弧，O为弧AB的圆心，OCDE为边长为的正方形。O点放置一点光源，CD段上有光射出的长度为a，只考虑首次射向CD和DE的光线，已知光在真空中的传播速度为c，求：(1)该光学元件的折射率；(2)从CD边射出的光线，在此元件中传播的最长时间t；(3)从AB段上有部分区域射入元件的光线不能直接射出，求AB段上该部分的弧长为多少？【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）如图所示由于段上由光射出的长度为，设照射到点的光恰好发生全反射，有根据几何关系可得解得折射率（2）光在光学元件中的传播速度为根据几何关系可知在此元件中传播的最长时间为解得（3）根据题意可知，从边射出的光，对应的圆心角为同理可知，从边射出的光，对应的圆心角也为，则光线在段部分区域不能直接射出，弧长所对应的圆心角为，则弧长为。20．如图所示，为半圆柱体玻璃的横截面，为直径，为圆心，半径为，一束光沿方向从真空射入玻璃，光线会达到玻璃砖边