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文档简介

2023届浙江省杭州二中高三下学期4月诊断考试数学试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.给出下列三个命题:①“”的否定;②在中,“”是“”的充要条件;③将函数的图象向左平移个单位长度,得到函数的图象.其中假命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.32.已知是边长为1的等边三角形,点,分别是边,的中点,连接并延长到点,使得,则的值为()A. B. C. D.3.已知函数,将函数的图象向左平移个单位长度,得到函数的图象,若函数的图象的一条对称轴是,则的最小值为A. B. C. D.4.在边长为1的等边三角形中,点E是中点,点F是中点,则()A. B. C. D.5.设命题p:>1,n2>2n,则p为()A. B.C. D.6.已知双曲线的左、右焦点分别为、,抛物线与双曲线有相同的焦点.设为抛物线与双曲线的一个交点,且,则双曲线的离心率为()A.或 B.或 C.或 D.或7.已知集合,则=()A. B. C. D.8.已知向量与的夹角为,,,则()A. B.0 C.0或 D.9.在展开式中的常数项为A.1 B.2 C.3 D.710.双曲线的左右焦点为,一条渐近线方程为,过点且与垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,满足,则该双曲线的离心率为()A. B.3 C. D.211.已知命题:是“直线和直线互相垂直”的充要条件;命题:对任意都有零点;则下列命题为真命题的是()A. B. C. D.12.“学习强国”学习平台是由中宣部主管,以深入学习宣传新时代中国特色社会主义思想为主要内容,立足全体党员、面向全社会的优质平台,现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门。该款软件主要设有“阅读文章”、“视听学习”两个学习模块和“每日答题”、“每周答题”、“专项答题”、“挑战答题”四个答题模块。某人在学习过程中,“阅读文章”不能放首位,四个答题板块中有且仅有三个答题板块相邻的学习方法有()A.60 B.192 C.240 D.432二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知函数则______.14.某部门全部员工参加一项社会公益活动,按年龄分为三组,其人数之比为,现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本,若组中甲、乙二人均被抽到的概率是,则该部门员工总人数为__________.15.若函数,则的值为______.16.正方形的边长为2,圆内切于正方形,为圆的一条动直径,点为正方形边界上任一点,则的取值范围是______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)直线与抛物线相交于,两点,且,若,到轴距离的乘积为.(1)求的方程;(2)设点为抛物线的焦点,当面积最小时,求直线的方程.18.(12分)已知函数(I)当时,解不等式.(II)若不等式恒成立,求实数的取值范围19.(12分)山东省2020年高考将实施新的高考改革方案.考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成,总分为750分.其中,统一高考科目为语文、数学、外语,自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目,语、数、外三科各占150分,选考科目成绩采用“赋分制”,即原始分数不直接用,而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分.根据高考综合改革方案,将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8个等级。参照正态分布原则,确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.等级考试科目成绩计入考生总成绩时,将A至E等级内的考生原始成绩,依照等比例转换法则,分别转换到91-100、81-90、71-80,61-70、51-60、41-50、31-40、21-30八个分数区间,得到考生的等级成绩.举例说明.某同学化学学科原始分为65分,该学科C+等级的原始分分布区间为58~69,则该同学化学学科的原始成绩属C+等级.而C+等级的转换分区间为61~70,那么该同学化学学科的转换分为:设该同学化学科的转换等级分为x,69-6565-58=70-x四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67.(1)某校高一年级共2000人,为给高一学生合理选科提供依据,对六个选考科目进行测试,其中物理考试原始成绩基本服从正态分布ξ∼N(60,12(i)若小明同学在这次考试中物理原始分为84分,等级为B+,其所在原始分分布区间为82~93,求小明转换后的物理成绩;(ii)求物理原始分在区间(72,84)的人数;(2)按高考改革方案,若从全省考生中随机抽取4人,记X表示这4人中等级成绩在区间[61,80]的人数,求X的分布列和数学期望.(附:若随机变量ξ∼N(μ,σ2),则Pμ-σ<ξ<μ+σ=0.68220.(12分)已知正项数列的前项和.(1)若数列为等比数列,求数列的公比的值;(2)设正项数列的前项和为,若,且.①求数列的通项公式;②求证:.21.(12分)已知函数.(1)若函数不存在单调递减区间,求实数的取值范围;(2)若函数的两个极值点为,,求的最小值.22.(10分)已知等比数列,其公比,且满足,和的等差中项是1.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)若,是数列的前项和,求使成立的正整数的值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】

结合不等式、三角函数的性质,对三个命题逐个分析并判断其真假,即可选出答案.【详解】对于命题①,因为,所以“”是真命题,故其否定是假命题,即①是假命题;对于命题②,充分性:中,若,则,由余弦函数的单调性可知,,即,即可得到,即充分性成立;必要性:中,,若,结合余弦函数的单调性可知,,即,可得到,即必要性成立.故命题②正确;对于命题③,将函数的图象向左平移个单位长度,可得到的图象,即命题③是假命题.故假命题有①③.故选:C【点睛】本题考查了命题真假的判断,考查了余弦函数单调性的应用,考查了三角函数图象的平移变换,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.2.D【解析】

设,,作为一个基底,表示向量,,,然后再用数量积公式求解.【详解】设,,所以,,,所以.故选:D【点睛】本题主要考查平面向量的基本运算,还考查了运算求解的能力,属于基础题.3.C【解析】

将函数的图象向左平移个单位长度,得到函数的图象,因为函数的图象的一条对称轴是,所以,即,所以,又,所以的最小值为.故选C.4.C【解析】

根据平面向量基本定理,用来表示,然后利用数量积公式,简单计算,可得结果.【详解】由题可知:点E是中点,点F是中点,所以又所以则故选:C【点睛】本题考查平面向量基本定理以及数量积公式,掌握公式,细心观察,属基础题.5.C【解析】根据命题的否定,可以写出:,所以选C.6.D【解析】

设,,根据和抛物线性质得出,再根据双曲线性质得出,,最后根据余弦定理列方程得出、间的关系,从而可得出离心率.【详解】过分别向轴和抛物线的准线作垂线,垂足分别为、,不妨设,,则,为双曲线上的点,则,即,得,,又,在中,由余弦定理可得,整理得,即,,解得或.故选:D.【点睛】本题考查了双曲线离心率的求解,涉及双曲线和抛物线的简单性质,考查运算求解能力,属于中档题.7.D【解析】

先求出集合A,B,再求集合B的补集,然后求【详解】,所以.故选:D【点睛】此题考查的是集合的并集、补集运算,属于基础题.8.B【解析】

由数量积的定义表示出向量与的夹角为,再由,代入表达式中即可求出.【详解】由向量与的夹角为,得,所以,又,,,,所以,解得.故选:B【点睛】本题主要考查向量数量积的运算和向量的模长平方等于向量的平方,考查学生的计算能力,属于基础题.9.D【解析】

求出展开项中的常数项及含的项,问题得解。【详解】展开项中的常数项及含的项分别为:,,所以展开式中的常数项为:.故选:D【点睛】本题主要考查了二项式定理中展开式的通项公式及转化思想,考查计算能力,属于基础题。10.A【解析】

设,直线的方程为,联立方程得到,,根据向量关系化简到,得到离心率.【详解】设,直线的方程为.联立整理得,则.因为,所以为线段的中点,所以,,整理得,故该双曲线的离心率.故选:.【点睛】本题考查了双曲线的离心率,意在考查学生的计算能力和转化能力.11.A【解析】

先分别判断每一个命题的真假,再利用复合命题的真假判断确定答案即可.【详解】当时,直线和直线,即直线为和直线互相垂直,所以“”是直线和直线互相垂直“的充分条件,当直线和直线互相垂直时,,解得.所以“”是直线和直线互相垂直“的不必要条件.:“”是直线和直线互相垂直“的充分不必要条件,故是假命题.当时,没有零点,所以命题是假命题.所以是真命题,是假命题,是假命题,是假命题.故选:.【点睛】本题主要考查充要条件的判断和两直线的位置关系,考查二次函数的图象,考查学生对这些知识的理解掌握水平.12.C【解析】

四个答题板块中选三个捆绑在一起,和另外一个答题板块用插入法.注意按“阅读文章”分类.【详解】四个答题板块中选三个捆绑在一起,和另外一个答题板块用插入法,由于“阅读文章”不能放首位,因此不同的方法数为.故选:C.【点睛】本题考查排列组合的应用,考查捆绑法和插入法求解排列问题.对相邻问题用捆绑法,不相邻问题用插入法是解决这类问题的常用方法.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】

先由解析式求得(2),再求(2).【详解】(2),,所以(2),故答案为:【点睛】本题考查对数、指数的运算性质,分段函数求值关键是“对号入座”,属于容易题.14.60【解析】

根据样本容量及各组人数比,可求得C组中的人数;由组中甲、乙二人均被抽到的概率是可求得C组的总人数,即可由各组人数比求得总人数.【详解】三组人数之比为,现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本,则三组抽取人数分别.设组有人,则组中甲、乙二人均被抽到的概率,∴解得.∴该部门员工总共有人.故答案为:60.【点睛】本题考查了分层抽样的定义与简单应用,古典概型概率的简单应用,由各层人数求总人数的应用,属于基础题.15.【解析】

根据题意,由函数的解析式求出的值,进而计算可得答案.【详解】根据题意,函数,则,则;故答案为:.【点睛】本题考查分段函数的性质、对数运算法则的应用,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查运算求解能力.16.【解析】

根据向量关系表示,只需求出的取值范围即可得解.【详解】由题可得:,故答案为:【点睛】此题考查求平面向量数量积的取值范围,涉及基本运算,关键在于恰当地对向量进行转换,便于计算解题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2)【解析】

(1)设出两点的坐标,由距离之积为16,可得.利用向量的数量积坐标运算,将转化为.再利用两点均在抛物线上,即可求得p的值,从而求出抛物线的方程;(2)设出直线l的方程,代入抛物线方程,由韦达定理发现直线l恒过定点,将面积用参数t表示,求出其最值,并得出此时的直线方程.【详解】解:(1)由题设,因为,到轴的距离的积为,所以,又因为,,,所以抛物线的方程为.(2)因为直线与抛物线两个公共点,所以的斜率不为,所以设联立,得,即,,即直线恒过定点,所以,当时,面积取得最小值,此时.【点睛】本题考查了抛物线的标准方程的求法,直线与抛物线相交的问题,其中垂直条件的转化,直线过定点均为该题的关键,属于综合性较强的题.18.(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】试题分析:(1)根据零点分区间法,去掉绝对值解不等式;(2)根据绝对值不等式的性质得,因此将问题转化为恒成立,借此不等式即可.试题解析:(Ⅰ)由得,,或,或解得:所以原不等式的解集为.(Ⅱ)由不等式的性质得:,要使不等式恒成立,则当时,不等式恒成立;当时,解不等式得.综上.所以实数的取值范围为.19.(1)(i)83.;(ii)272.(2)见解析.【解析】

(1)根据原始分数分布区间及转换分区间,结合所给示例,即可求得小明转换后的物理成绩;根据正态分布满足N60,122(2)根据各等级人数所占比例可知在区间61,80内的概率为25,由二项分布即可求得X【详解】(1)(i)设小明转换后的物理等级分为x,93-8484-82求得x≈82.64.小明转换后的物理成绩为83分;(ii)因为物理考试原始分基本服从正态分布N60,所以P(72<ξ<84)=P(60<ξ<84)-P(60<ξ<72)===0.136.所以物理原始分在区间72,84的人数为2000×0.136=272(人);(2)由题意得,随机抽取1人,其等级成绩在区间61,80内的概率为25随机抽取4人,则X~B4,PX=0=3PX=2=CPX=4X的分布列为X01234P812162169616数学期望EX【点睛】本题考查了统计的综合应用,正态分布下求某区间概率的方法,分布列及数学期望的求法,文字多,数据多,需要细心的分析和理解,属于中档题。20.(1);(2)①;②详见解析.【解析】

(1)依题意可表示,,相减得,由等比数列通项公式转化为首项与公比,解得答案,并由其都是正项数列舍根;(2)①由题意可表示,,两式相减得,由其都是正项并整理可得递推关系,由等差数列的通项公式即可得答案;②由已知关系,表示并相减即可表示递推关系,显然当时,成立,当,时,表示,由分组求和与正项数列性质放缩不等式得证.【详解】解:(1)依题意可得,,两式相减,得,所以,因为,所以,且,解得.(2)①因为,所以,两式相减,得,即.因为,所以,即.而当时,,可得,故,所以对任意的正整数都成立,所以数列是等差数列

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