2021-2022学年上海市高一上学期期中考试数学试卷含解析

2021-2022学年上海市高一上学期期中考试数学试卷含解析2021-2022学年上海市高一上学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知实数集合，，若，则________．2．已知函数（a>0且a≠1）过定点P，且点P在角的终边上，则___________.3．已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，则______．4．方程的解是___________．5．若关于的方程有负实根，则实数的取值范围是___________6．将函数的图象向左平移个单位得到新函数的图象，则新函数的表达式为______.7．在如今这个5G时代，6G研究己方兴末艾，2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办，会上传出消息，未来6G速率有望达到1Tbps，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G数据传输速率有望比5G快100倍，时延达到亚毫秒级水平．香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率取决于信道宽带，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．若不改变宽带，而将信噪比从11提升至499，则最大信息传递率会提升到原来的_________倍．（结果保留一位小数）8．已知集合，若集合满足，则实数的取值范围____________.9．已知，，且，若不等式恒成立，则实数m的取值范围为______．10．设无穷等比数列的公比为，且，则该数列的各项和的最小值为__________．11．已知a为奇数且，则关于x的不等式的解集为___________．12．设，若，则的取值范围为___________．二、单选题13．已知实数，，满足，则“”是“方程表示的曲线为椭圆”的（?）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件14．2020年9月我校正式成为市争创特色学校的项目学校（“非遗文创”特色），其中“江南传统民居木作技艺”是一项非遗保护项目，现有木料形状图如下，那么旋转后可以看成函数的图像的是（?）A．B．C．D．15．给出下列六个命题：（1）若，则函数的图像关于对称．（2）函数与在区间上都是增函数．（3）的反函数是（4）无最大值也无最小值.（5）的周期为.（6）有对称轴两条，对称中心三个.则正确题个数是A．1B．2C．3D．416．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≥0}，B＝{x|x﹣1}，则（?）A．A?BB．C．A∩B＝D．A∪B＝R三、解答题17．已知集合，集合.(1)当a=1时，求，；(2)设a>0，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.18．已知函数．（1）当a=0时，求函数y=f(x)的单调减区间；（2）设方程在内有两个相异的实数根、，求实数a的取值范围及的值；（3）若对任意实数x，恒成立，求实数a的取值范围．19．渔场中鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为．（空闲率为空闲量与最大养殖量的比值）．(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；(2)求鱼群年增长量的最大值；(3)若对于任意定义域内的实数x，明年渔场中的鱼群也不能达到最大养殖量，求比例系数k的取值范围．20．已知集合是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在，使得成立．（1）函数是否属于集合？说明理由；（2）设函数求的取值范围；（3）设函数图像与函数的图像有交点且横坐标为，证明：函数，并求出对应的（结果用表示出来）．21．设且，有限集合，其中，若对任意（），都有，则称集合为“含差集合”.（1）分别判断集合和集合是否是“含差集合”，并说明理由；（2）已知集合，集合，若集合C是“含差集合”，试判断集合与集合的关系，并加以证明.参考答案：1．-1【分析】先根据集合中元素的互异性，求出x、y，代入即可求解.【详解】根据集合中元素的互异性，在集合B中，由元素的互异性，可得：x+y≠|x|≠0，解得x≠0，x≠-y，因为A=B，所以集合A中只能=0，即y=0.此时A={x，0，1}，B={|x|，x，0}，则有|x|=1，且|x|≠x，所以x=-1.所以-1-0=-1.故答案为：-1.2．【分析】先求出定点P，再根据三角函数定义求解.【详解】由题可得定点P，点P在角的终边上，由三角函数定义可知：，故答案为：.3．##【分析】根据给定条件利用函数奇偶性定义直接计算作答.【详解】因函数是定义域为R的奇函数，当时，，所以.故答案为：4．【分析】利用指对数的关系，解对数方程即可.【详解】由题意，知：，解得.故答案为：5．【分析】设方程有负实根为，根据指数函数的性质，得到，进而得到，即可求解.【详解】设关于的方程有负实根为，根据指数函数的性质，可得，所以，可得，即实数的取值范围是.故答案为：.6．【分析】利用函数的图象变换可得出新函数的解析式.【详解】将函数的图象向左平移个单位得到新函数的图象，则新函数的表达式为.故答案为：.7．2.5##【分析】设提升前最大信息传递率为，提升后最大信息传递率为，再根据题意求，利用指数、对数的运算性质化简即可求解.【详解】设提升前最大信息传递率为，提升后最大信息传递率为，则由题意可知，，，所以倍.所以最大信息传递率C会提升到原来的倍.故答案为：2.58．[2,＋)【分析】根据结合数轴即可求解.【详解】∵≠?，，∴A与B的关系如图：∴a≥2.故答案为：[2，＋).9．【分析】由基本不等式求得的最小值，解不等式可得的范围．【详解】∵，，，，∴，当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为8，由解得，故答案为：．10．【分析】先写出无穷等比数列各项和的表达式，然后利用基本不等式求解即可.【详解】是公比为的无穷等比数列，数列的各项和为，其中，又且，且，，当且仅当，即时取等号，数列的各项和的最小值为.故答案为：11．或【分析】讨论、、分别求对应解集，最后取并即得结果.【详解】由题设，又a为奇数且，则，当时，，，则不满足题设；当时，成立；当时，不等式等价于，若时，，即与题设矛盾；若时，，满足；综上，不等式解集为或.故答案为：或12．【分析】利用绝对值三角不等式可得，即，，利用中与有公共点，讨论或、研究m的范围即可.【详解】，当时等号成立，，当时等号成立，所以，而，故，此时，，令中，与所表示的区域有公共点，当或时，而，故满足；当时，由得：，而，若时，此时，故；若时，此时，故；综上，.故答案为：【点睛】关键点点睛：利用绝对值三角不等式得确定x、y的范围，再将问题转化为中与有公共点求m的范围即可.13．D【分析】先求出方程表示的曲线为椭圆的充要条件，然后根据充分条件，必要条件的定义来判断．【详解】∵方程表示的曲线为椭圆，化成椭圆方程的标准形式∴，即或；故“”推不出“方程表示的曲线为椭圆”，充分性不成立；“方程表示的曲线为椭圆”也推不出“”，必要性不成立；即“”是“方程表示的曲线为椭圆”的非充分非必要条件．故选：D．【点睛】关键点点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，熟记椭圆的方程的特点，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，考查学生的转化与化归能力，属于基础题.14．C【解析】根据函数的定义判断．【详解】把它们放到坐标平面上，只有旋转后可以形成对于可取范围的任一有唯一的与之对应，因此旋转后可以看作函数的图象．故选：C．15．A【分析】（1）由对称轴公式得解；（2）求出两个函数的单调性得解；（3）可以采用特殊函数进行验证；（4）时，有最大值；（5）化为，周期可求；（6）注意定义域，可结合图象进行判断．【详解】（1），则函数的图象关于直线对称，所以命题正确；（2）函数在区间上不是增函数，是先减后增，在区间上是增函数．所以该命题错误；（3）取，，，，所以命题错误；（4），时，有最大值，所以命题错误；（5）原函数可化为，周期为，所以命题错误；（6）受的影响，，没有对称轴，只有一个对称中心，所以命题错误．故选．【点睛】本题考查抽象函数和具体函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，问题综合性强.16．D【分析】先求解集合中不等式，计算，依次判断即可【详解】由题意，或由和不存在包含关系，故选：D17．(1)，；(2).【分析】(1)化简集合A，B，再利用交集、并集的定义直接计算得解.(2)由“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件可得集合BA，再利用集合的包含关系列出不等式组求解即得.（1）当a=1时，，，所以，.（2）因为a>0，则，由(1)知，，因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，于是得BA，则有，解得，所以实数a的取值范围是.18．（1），；（2），；（3）．【分析】（1）利用二倍角公式将函数化简，再根据余弦函数的性质计算可得；（2）依题意可得，令，依题意在内有两个不相等的实数根据，即或在内有两个不相等的实数根，再根据的取值范围，可判断，即可求出的取值范围，再根据对称性求出；（3）依题意恒成立，令，则在上恒成立，对分类讨论，再参变分离，根据函数的性质求出的取值范围，即可得解；【详解】解：（1）当时，令，解得，所以函数的单调递减区间为；（2）令，则，令，则，即，即或，当时，，所以有两个相异的实数根、，所以，解得，即，且，所以，所以；（3）由（2）可知，因为恒成立，即恒成立，令，则，则在上恒成立；当时，显然恒成立；当时恒成立，因为在上单调递增，所以；当时恒成立，因为在上单调递增，所以；综上可得19．(1)，定义域为；(2)(3)【分析】（1）先表达出空闲率，进而写出y关于x的函数解析式，并求出定义域；（2）在第一问的基础上，配方求出最大值；（3）结合题意与第二问，得到不等式，求出k的取值范围.(1)由题意得：空闲率为，所以，定义域为；(2)由（1）得：，因为，，所以当时，取得最大值，，故鱼群年增长量的最大值为(3)由题意得：，结合第二问可知：，又因为，解得：，又因为，故比例系数k的取值范围是.20．（1），答案见解析；（2）；（3）证明见解析；．【分析】（1）集合M中元素的性质，即有成立，代入函数解析式列出方程，进行求解即可；（2）根据和对数的运算，求出关于a的方程，再根据方程有解的条件求出a的取值范围，当二次项的系数含有参数时，考虑是否为零的情况；（3）利用和，整理出关于的式子，利用图象与函数的图象有交点，即对应方程有根，与求出的式子进行比较和证明.【详解】（1）若在定义域内存在，则方程无解，所以（2）由题意得当时，；当时，由，得，解的综上，；（3）函数又函数图像与函数的图像有交点且横坐标为则，其中即．【点睛】此题的集合中的元素是集合，主要利用了元素满足的恒等式进行求解，根据对数和指数的元素性质进行化简，考查了逻辑思维能力和分析、解决问题的能力.21．（1）A是，B不是；（2），证明见解析.【分析】（1）根据含差集合的定义判断即可；（2）根据“含差集合”的定义，可求出集合，再与集合比较即可.【详解】