2-2-简谐运动的描述(人教版2019版选择性必修第一册)-(解析版)

2.2简谐运动的描述学习目标：1．知道振幅、周期和频率的概念，知道全振动的含义。2．了解初相和相位差的概念，理解相位的物理意义。3．了解简谐运动的表达式中各量的物理意义，能依据简谐运动表达式描绘振动图像或根据简谐运动图像写出表达式。重点：描述简谐运动的物理量及其物理意义。难点：简谐运动表达式与相位、相位差的理解。知识点一、描述简谐运动的物理量1．位移：由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段。

（1）是矢量，其最大值等于振幅；（2）初位置始终是平衡位置；（3）位移随时间的变化图线就是振动图象。2．振幅（1）定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，用A表示，单位：m。（2）意义：表示振动的强弱，是标量。振幅的两倍（2A）表示振动物体运动范围。（3）振幅和位移的区别①振幅等于最大位移的数值。②对于一个给定的振动，振子的位移是时刻变化的，但振幅是不变的。③位移是矢量，振幅是标量。（4）路程与振幅的关系①振动物体在一个周期内的路程为四个振幅。②振动物体在半个周期内的路程为两个振幅。③振动物体在eq\f(1,4)个周期内的路程不一定等于一个振幅。3．全振动（1）振子以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，即一个完整的振动过程。（2）无论从哪里作为起点，弹簧振子完成一次全振动的时间总是相等的，都是一个周期。（3）五个特征。①振动：一个完整的振动过程。②物理量：位移（x）、加速度（a）、速度（v）三者第一次同时与初始状态相同。③时间：历时一个周期。④路程：振幅的4倍。简谐运动在一个周期内，振子通过的路程一定等于4个振幅，半个周期内振子通过的路程等于2个振幅；从平衡位置或从最大位移处开始计时，eq\f(1,4)个周期内振子通过的路程等于一个振幅，从其它位置开始计时，eq\f(1,4)个周期内振子通过的路程可能大于或小于一个振幅。⑤相位：增加2π。4．周期和频率（1）周期：完成一次全振动所用的时间，用T表示，单位：s。（2）简谐运动的周期公式。（3）频率：1s内完成全振动的次数，用f表示，单位：Hz。（4）意义：表示物体振动快慢的物理量，周期越小，频率越大，表示物体振动越快。（5）两者关系：①二者互为倒数，；②当T和f由振动系统本身的性质决定时（非受迫振动），则叫固有频率与固有周期，是定值，固有周期和固有频率与物体所处的状态无关。③简谐运动的周期和频率由振动系统本身的因素决定，与振幅无关。【题1】如图所示，将弹簧振子从平衡位置下拉一段距离Δx，静止释放后振子在A、B间振动，且AB＝20cm，振子由A首次到B的时间为0.1s，求：（1）振子振动的振幅、周期和频率；（2）振子由A首次到O的时间；（3）振子在5s内通过的路程及偏离平衡位置的位移大小。【答案】（1）10cm0.2s5Hz（2）0.05s（3）1000cm10cm【解析】（1）由题图可知，振子振动的振幅为10cm，t＝0.1s＝eq\f(T,2)，所以T＝0.2s。由f＝eq\f(1,T)得f＝5Hz。（2）根据简谐运动的对称性可知，振子由A首次到O的时间与振子由O首次到B的时间相等，均为0.05s。（3）设弹簧振子的振幅为A，A＝10cm.振子在1个周期内通过的路程为4A，故在t＝5s＝25T内通过的路程s＝40×25cm＝1000cm.5s内振子振动了25个周期，故5s末振子仍处在A点，所以振子偏离平衡位置的位移大小为10cm。【题2】一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图像如图所示，由图可知A．质点振动的频率是4Hz，振幅是2cmB．质点经过1s通过的路程总是2cmC．0～3s内，质点通过的路程为6cmD．t＝3s时，质点的振幅为零【答案】C【解析】由题图可以直接看出振幅为2cm，周期为4s，所以频率为0.25Hz，故A错误；质点在1s即eq\f(1,4)个周期内通过的路程不一定等于一个振幅，故B错误；t＝0时质点在正向最大位移处，0～3s为eq\f(3,4)T，则质点通过的路程为3A＝6cm，故C正确；振幅等于质点偏离平衡位置的最大距离，与质点的位移有本质的区别，t＝3s时，质点的位移为零，但振幅仍为2cm，故D错误。【题3】如图所示，弹簧振子在A、B之间做简谐运动，O为平衡位置，测得A、B间距为8cm，小球完成30次全振动所用时间为60s，则A．振动周期是2s，振幅是8cmB．振动频率是2HzC．小球完成一次全振动通过的路程是8cmD．小球过O点时开始计时，3s内通过的路程为24cm【答案】D【解析】由题意可知T＝eq\f(60,30)s＝2s，A＝eq\f(8,2)cm＝4cm，A错误；频率f＝eq\f(1,T)＝eq\f(1,2)Hz＝0.5Hz，B错误；小球完成一次全振动通过的路程为振幅的4倍，即4×4cm＝16cm，C错误；小球在3s内通过的路程为s＝eq\f(t,T)×4A＝eq\f(3,2)×4×4cm＝24cm，D正确。5．相位（1）概念：相位ωt＋φ描述做简谐运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量。它是一个随时间变化的量，相当于一个角度，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动。（2）表示：相位的大小为ωt＋φ，其中φ是t＝0时的相位，叫初相位，或初相。（3）相位差频率相同的两个简谐运动有固定的初相之差，即Δφ＝（ωt+φ1）－（ωt+φ2）＝φ1－φ2（φ1>φ2）。若Δφ＝0，表明两个物体运动步调相同，即同相；若Δφ＝π，表明两个物体运动步调相反，即反相。【题4】如图所示，A、B为两简谐运动的图像，下列说法正确的是A．A、B之间的相位差是eq\f(π,4)B．A、B之间的相位差是πC．B比A超前eq\f(T,4)D．A比B超前eq\f(T,4)【答案】D【解析】由题图可知A比B超前eq\f(T,4)，相位差为Δφ＝eq\f(π,2)，选项D正确。知识点二、简谐运动的表达式1．一般表达式：x＝Asin（ωt＋φ0）＝Asin（），式中：A是振幅，T是周期，φ0是初相位。圆频率：式中的ω称做简谐运动的圆频率，它表示简谐运动物体振动的快慢。与周期T及频率f的关系：ω＝eq\f(2π,T)＝2πf。2．表达式的含义：振动方程是位移x随时间t变化的函数关系式（位移方程）。“（ωt+φ0”这个量就是简谐运动的相位，它是随时间t不断变化的物理量，代表做简谐运动的质点在t时刻处在一个运动周期中的哪个状态，所以代表简谐运动的相位。因为|sin（ωt＋φ0）|≤1，所以|x|≤A。3．同相：频率相同、初相相同（即相差为0）的两个振子振动步调完全相同。反相：频率相同、相差为π的两个振子振动步调完全相反。4．从运动方程中得到的物理量：振幅、周期和圆频率、初相位，因此可应用运动方程和ω＝eq\f(2π,T)＝2πf对两个简谐运动比较周期、振幅和计算相位差。【特别提醒】关于相位差Δφ＝φ2－φ1的说明：（1）取值范围：－π≤Δφ≤π。（2）Δφ＝0，表明两振动步调完全相同，称为同相。Δφ＝π，表明两振动步调完全相反，称为反相。（3）Δφ>0，表示振动2比振动1超前。Δφ<0，表示振动2比振动1滞后。【题5】某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝Asineq\f(π,4)t，则质点A．第1s末与第3s末的位移大小相等，方向相反B．第1s末与第3s末的速度相同C．第3s末与第5s末的位移方向相同D．第3s末与第5s末的速度方向相同【答案】D【解析】根据x＝Asineq\f(π,4)t可求得该质点的振动周期为T＝8s，则该质点的振动图像如图所示．图像中图线切线的斜率为正表示速度为正，反之为负，由图可以看出第1s末和第3s末的位移相同，但斜率一正一负，故速度方向相反，选项A、B错误；第3s末和第5s末的位移方向相反，但两点的斜率均为负，故速度方向相同，选项C错误，D正确。【题6】某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝3sin（eq\f(2π,3)t＋eq\f(π,2)）cm，则A．质点的振幅为3mB．质点的振动周期为eq\f(2,3)sC．t＝0.75s时，质点到达距平衡位置最远处D．质点前2s内的位移为－4.5cm【答案】D【解析】从关系式可知A＝3cm，ω＝eq\f(2π,3)rad/s，故周期为T＝eq\f(2π,ω)＝3s，A、B错误；t＝0.75s时，质点的位移为x＝3sin（eq\f(2π,3)×eq\f(3,4)＋eq\f(π,2)）cm＝0，质点在平衡位置处，C错误；在t＝0时刻质点的位移x＝3cm,2s时质点的位移x′＝3sin（eq\f(2π,3)×eq\f(3,4)＋eq\f(π,2)）cm＝－1.5cm，故前2s内质点的位移为－4.5cm，D正确。【题7】一弹簧振子A的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.1·sin2.5πt，位移x的单位为m，时间t的单位为s。则A．弹簧振子的振幅为0.2mB．弹簧振子的周期为1.25sC．在t＝0.2s时，振子的运动速度最大D．若另一弹簧振子B的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.2sin（2.5πt＋eq\f(π,4)）m，则A滞后Beq\f(π,4)【答案】D【解析】由振动方程可知振幅为0.1m，圆频率ω＝2.5πrad/s，故周期T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,2.5π)s＝0.8s，故A、B错误；在t＝0.2s时，x＝0.1m，即振子的位移最大，速度最小，为零，故C错误；两振动的相位差Δφ＝φ2－φ1＝2.5πt＋eq\f(π,4)－2.5πt＝eq\f(π,4)，即B超前Aeq\f(π,4)，或者说A滞后Beq\f(π,4)，故D正确。知识点三、简谐运动的周期性与对称性简谐运动是周期性运动，其物理量随时间周期性变化。如图，物体在A、B两点间做简谐运动，O点为平衡位置，OC＝OD。1．时间的对称（1）物体来回通过相同两点间的时间相等，即tDB＝tBD。（2）物体经过关于平衡位置对称、等长的两线段所用时间相同，即图中tDB＝tBD＝tCA＝tAC，tOD＝tDO＝tOC＝tCO。2．速度的对称（1）物体连续两次经过同一点（如C点）的速度等大反向。（2）物体经过关于O点对称的两点（如C点与D点）时，速度等大，方向相同或相反。3．位移的对称（1）物体经过同一点（如D点）时，位移相同——等大同向。（2）物体经过关于O点对称的两点（如C点与D点）时，位移等大反向。【题8】一质点做简谐运动，它从最大位移处经0.3s第一次到达某点M处，再经0.2s第二次到达M点，则其振动频率为A．0.4HzB．0.8HzC．2.5HzD．1.25Hz【答案】D【解析】由题意知，从M位置沿着原路返回到起始最大位移处的时间也为0.3s，故完成一个全振动的时间为：T＝0.3s＋0.2s＋0.3s＝0.8s，故频率为f＝eq\f(1,T)＝1.25Hz，D正确。【题9】一个做简谐运动的质点，先后以同样的速度通过相距10cm的A、B两点，历时0.5s，如图。过B点后再经过t＝0.5s，质点以大小相等、方向相反的速度再次通过B点，则质点振动的周期是A．0.5sB．1.0sC．2.0sD．4.0s【答案】C【解析】根据题意，由简谐运动的对称性可知：AB的中点（设为O）为平衡位置，A、B两点对称分布于O点两侧，如图所示。质点从平衡位置O向右运动到B的时间为tOB＝eq\f(1,2)×0.5s＝0.25s。质点从B向右到达右方最远位置（设为D）的时间tBD＝eq\f(1,2)×0.5s＝0.25s，所以，质点从O到D的时间：tOD＝eq\f(1,4)T＝0.25s＋0.25s＝0.5s，所以T＝2.0s，C正确。【题10】如图，一质点沿水平直线做简谐运动，先后以相同速度通过a、b两点，经历时间tab＝1s，过b点后再经t′＝1s质点第一次反向通过b点。O点为平衡位置，若在这两秒内质点通过的路程是8cm，求该质点的振动周期和振幅。【答案】4s4cm【解析】简谐运动是以平衡位置为中心的对称运动，因为通过a、b两点时的速度相同，根据简谐运动的对称性，可知质点从b点返回a点所用的时间必与从a点到b点所用的时间相同，即tba＝tab＝1s，质点从a点经最左端位置d再返回a点所用的时间tada必与质点从b点经最右端位置c再返回b点所用的时间tbcb相等，即tada＝tbcb＝t′＝1s。综上所述，质点的振动周期为T＝tab＋tbcb＋tba＋tada＝4s。由题图和简谐运动的对称性可知，质点在一个周期内通过的路程为s＝2ab＋2bc＋2ad＝2（ab＋2bc）＝2×8cm＝16cm。所以质点的振幅为A＝eq\f