湖北省武汉市2024届高三下学期四月调考数学试卷

湖北省武汉市2024届高三下学期四月调考数学试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z=2i1+i+iA．1 B．2 C．3 D．52．已知集合A={x∣x2−2x−3<0}A．{2,3,4} B．{1,2}3．设m,n是两条不同的直线，A．若α⊥β,m∥α，则m⊥β B．若α⊥βC．若m∥α,n⊥α，则m⊥n D．若m⊥n4．(2x−3)(x−1)A．-50 B．50 C．-10 D．105．记a=3A．a>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．b>a>c6．记等比数列{an}的前n项和为Sn，若A．1 B．2 C．3 D．47．点P是边长为1的正六边形ABCDEF边上的动点，则PA⋅A．2 B．114 C．3 D．8．已知双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，其左右顶点分别为A,B，过F且与A．2 B．3 C．2 D．3二、､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.9．已知函数f(x)=sin2x+sin(2x+2πA．函数f(x−πB．函数f(x+πC．f(x)的最大值是3D．f(x)在区间(π10．如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（）A．图（1）的平均数=中位数=众数B．图（2）的平均数<众数<中位数C．图（2）的众数<中位数<平均数D．图（3）的平均数<中位数<众数11．定义在R上的函数f(x)与g(x)的导函数分别为f'(x)和g'(x)，若g(x)−f(3−x)=2，A．g(x+2)为偶函数 B．f'C．函数f(x)是周期函数 D．k=1三、､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．设椭圆x225+y212=1的左右焦点为F1,13．已知圆台O1O2的体积为14π，其上底面圆O1半径为1，下底面圆14．设A,B,C是一个三角形的三个内角，则四、､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15．已知△ABC三个内角A,B,C所对的边分别为（1）求sinC的值；（2）若△ABC的面积S=52，且c=6(a−b)16．已知函数f(x)=lnx−ax+x（1）若a=−1，求曲线y=f(x)在点(1,（2）讨论f(x)的单调性.17．如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面ABB1A1⊥（1）证明：AC⊥BB（2）求直线BB1与平面18．已知抛物线E:y=x2，过点T(1,2)的直线与抛物线E交于A,B两点，设抛物线E在点A,B处的切线分别为l1和l2，已知l1与x（1）证明：点P在定直线上；（2）若△PMN面积为2，求点P的坐标；（3）若P,M,19．已知常数p∈(0,1)，在成功的概率为p的伯努利试验中，记X为首次成功时所需的试验次数，X的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量（1）对于正整数k，求P(X=k)，并根据E(X)（2）对于几何分布的拓展问题，在成功的概率为p的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为E2，现提供一种求E2的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是E2，即总的试验次数为(（i）求E2（ii）记首次出现连续n次成功时所需的试验次数的期望为En，求E

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：z=2i1+i+i=故答案为：D.【分析】根据复数的四则运算化简复数z，再利用复数的求模公式计算即可.2．【答案】B【解析】【解答】解：由不等式x2-2x-3<0，解得-1<x<3，则集合A={x∣−1<x<3}，

因为B={x∣x故答案为：B.【分析】解不等式求得集合A,3．【答案】C【解析】【解答】解：如图所示：A、设平面α为平面ABCD，平面β为平面BCC1B1，m为B1B、设平面α为平面ABCD，平面β为平面BCC1B1，m为AD，则C、过m作平面γ与平面α交于直线b，m∥α，则m∥b，n⊥α，可得n⊥b，则m⊥n，故C正确；D、设平面α为平面ABCD，A1B1为m，B1C1为故答案为：C.【分析】根据已知条件借助正方体的几何特征，结合点、线、面的位置关系判断即可.4．【答案】A【解析】【解答】解：二项式(x−1)5展开式的通项为Tr+1=C5rx5−r(−1)r，则T3故答案为：A.【分析】根据二项式定理得出(x−1)5展开式的通项，求出T3，T45．【答案】D【解析】【解答】解：b=0.3−0.2=(103)0.2又因为对数函数y=log0.2x故b>a>1>c.故答案为：D.【分析】根据幂函数、对数函数的单调性，借助中间值法比较大小即可.6．【答案】B【解析】【解答】解：因为等比数列{an}的前项和为Sn，所以S4,S8−S4设等比数列{an}公比为q，则q≠1，则S8S故答案为：B.【分析】由题意，利用等比数列的性质求S47．【答案】C【解析】【解答】解：取AB，DE中点为Q，R，连接PQ，QR，如图所示：

则QA=12，BD2=DC2由图可知，当P运动到D或E时PQ最大，所以PA⋅PB=(故答案为：C.【分析】借助AB中点Q和平方差公式得PA⋅PB=(8．【答案】B【解析】【解答】解：由题意，作出图形，如图所示：则A(−a,0)，B(a,0)，F(c,0)，M令x=0，解得：y=−c+a2，所以直线BP与y轴交点为由于kAN=−b2令x=0，解得：y=a−c，所以直线AN与y轴交点为(0,因为直线BP与直线AN的交点在y轴上，所以a−c=−c+a2，解得：所以双曲线E的离心率e=c故答案为：B.【分析】根据题意可得A(−a,0)，B(a,0)，F(c,0)，M(c9．【答案】B,D【解析】【解答】解：由f(x)==1A、g(x)=f(x−π因为g(−x)=sinB、y=f(x+πC、由f(x)=sinD、π6<x<7π函数f(x)=sin(2x+π故答案为：BD.【分析】先化简函数f(x)解析式，结合三角函数的性质逐项分析判断即可.10．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：图（1）的分布直方图为单峰对称的，则平均数=中位数=众数，故A正确；图（2）众数最小，图形为单峰右拖尾，故平均数大于中位数，故B错误，C正确；图（3）为单峰左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D正确.故答案为：ACD.【分析】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断即可.11．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：A、因为g(−x+2)=−g(x+2)，所以g(x+2)为奇函数，若g(x+2)为偶函数，则g(x)=0，与条件不符，故A错误；

B、由g(x)−f(3−x)=2，则g'因为f'(x)=g即f'(x+2)=−f'(2−x)，又f'(x+2)定义在R上，故f'(x+2)所以f(x)=g(x−1)+b，则f(−x+3)=g(−x+2)+b=−g(x+2)+b，所以g(x)−f(3−x)=g(x)+g(x+2)−b=2，g(x)+g(x+2)=b+2，所以g(x+2)+g(x+4)=b+2，所以g(x+4)=g(x)，则函数g(x)，f(x)是周期函数，周期为4，故C正确；

D、由g(x)是周期函数为4的周期函数，由g(−x+2)=−g(x+2)，令x=0，则g(2)=−g(2)，即g(2)=0，令x=1，则g(1)=−g(3)，即g(1)+g(3)=0，由g'(x)+f则g'(x)=−g'(−x+2)，则g'(x)又g(x+2)为奇函数，即g(x)关于(2,故g(x)关于x=3对称，则g(4)=g(2)=0，则k=12024故答案为：BCD.【分析】结合函数与导数的关系，函数的奇偶性、对称性与周期性的定义，利用赋值法与函数性质逐项分析判断即可.12．【答案】12【解析】【解答】解：由椭圆定义，可得|PF因为|PF1|:|PF2又因为|F1F2|=2c=2故S△P故答案为：12.【分析】由题意，结合椭圆定义、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式计算即可.13．【答案】13【解析】【解答】解：设圆台的高为h，因为圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，则该圆台的体积为V=13π×(作出圆台的轴截面，如图所示：记上底面圆心为M，下底面圆心为N，则MD=1，NC=4，过D作DE⊥NC，则EC=4−1=3，又DE=h=2，所以圆台的母线长为DC=D故答案为：13.【分析】由题意，根据圆台的体积求得圆台的高h，作出圆台的轴截面，利用勾股定理求解即可.14．【答案】−【解析】【解答】解：cosA(3sinB+4sinC)=cosA[3sinB+4sin(π−=cosA[(3+4cos令3+4cos则cosA(3sinB+4sinC)=cosA(asinB+bcos要使cosA(3sinB+4sinC)有最小值，则A为钝角，即cosA<0于是a2设f(A)=cos因为cosA<0，所以f(A)=−令cosA=t(−1<t<0)，即f(t)=25当f'(t)>0时，−1<t<−25当f'(t)<0时，−25故当t=−2536时，函数f(t)有最大值，最大值为所以f(A)的最小值为−2此时cosA=−2536即存在tanθ=6712>1,即cosA(3sinB+4sinC)的最小值为−125故答案为：−125【分析】根据三角形内角和定理，两角和的正弦公式、辅助角公式、结合换元法得到f(t)=25t15．【答案】（1）解：由题意，cosCsinC=cosA所以3sinBcosC=sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C)，又sin(A+C)=sin(π−B)=sinB，且sinB≠0，所以cosC=1由sinC>0，故sinC=1−co（2）解：S=12absinC=5由余弦定理，c2又c2联立得：a2a+b=a所以△ABC的周长为a+b+c=8+26【解析】【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化边为角，结合两角和的正弦公式计算即可；（2）根据题意，利用三角形的面积公式，结合余弦定理计算即可.16．【答案】（1）解：a=−1时，f(x)=lnx+x+x2,所求切线方程为y=4(x−1)+2，整理得：y=4x−2.（2）解：f'因为x>0，故a≤0时，f'(x)>0,当a>0时，对于y=2x若0<a≤22，则Δ≤0，此时f'(x)≥0若a>22，令2x20<x<a−a2−84时，fa−a2−8综上所述：a≤22时，f(x)在(0a>22时，f(x)在(0,a−在(a+【解析】【分析】（1）将a=−1代入，求导，利用导数的几何意义求切线方程即可；

（2）求导，利用导数判断函数的单调性即可.17．【答案】（1）证明：连接DA,EA，如图所示：DA1=1，AA1=2，∠DA1平面ABB1A1⊥平面ABC，且交线为AB，由DA⊥AB由BC⊂平面ABC，得DA⊥BC，又DE⊥BC，且DA∩DE=D，所以BC⊥平面DAE，

由AE⊂平面DAE，得BC⊥AE，设BE=t,CE=3t，有BA所以BC=4，满足BA2+AC2=BC由BB1⊂平面AB（2）解：以A为坐标原点，AB,AC,则D(0,0,设平面DEA1的法向量n=(x,y取z=1，得到平面PBD的一个法向量n=(0,2设直线BB1与平面DEA则sinθ=|所以直线BB1与平面DEA【解析】【分析】（1）由题意，利用余弦定理和勾股定理证明DA⊥AB，再由面面垂直的性质定理得到DA⊥平面ABC，从而DA⊥BC；根据已知条件解得BE=1，由勾股定理AC⊥AB；利用线面垂直的判定定理得证AC⊥平面ABB1A（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.18．【答案】（1）解：设A(x由y=x2，得y'=2x，所以l1同理，l2方程为：y=2联立得：xP设直线AB的方程为y=k(x−1)+2，与抛物线方程联立得：x2故x1+x2=k所以点P在定直线y=2x−2上.（2）解：在l1,l2的方程中，令所以△PMN面积S=1故(x1−[(k−2)2+8][所以点P的坐标为(0,−2)或（3）解：抛物线焦点F(0,14)，由M(x所以MF⊥MP，同理NF⊥NP，所以PF是△PMN外接圆的直径，若点T也在该圆上，则TF⊥TP，由kTF=74，得直线又点P在定直线y=2x−2上，联立两直线方程，解得点P的坐标为(16【解析】【分析】（1）设A(x1,x12