广东省茂名市2024届高三下学期4月高考模拟数学试题

广东省茂名市2024届高三下学期4月高考模拟数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A={x|2mx−3>0,m∈R}，其中2∈A且1∉A，则实数A．(34,32] B．[2．若z⋅(2+i)=3−i2027，则A．−1 B．75 C．−153．已知直角ABC斜边BC的中点为O，且|OA|=|AB|，则向量A．14CB B．34CB C．4．直线l1，l2的倾斜角分别为α，β，则“α=β”是“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，E，F，G，H分别为BBA．E，F，G，H四点共面 B．EF∥GHC．EG，FH，AA1三线共点 6．已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，C的准线与x轴的交点为M，点P是C上一点，且点P在第一象限，设∠PMF=α，A．tanα=sinβC．tanβ=−sinα7．已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6，3A．3 B．9 C．10 D．138．已知m，n∈R，m2+n2≠0，记直线nx+my−n=0与直线mx−ny−n=0的交点为P，点Q是圆C：(x+2)2+A．[22,14] B．[22,二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知i为虚数单位，下列说法正确的是()A．若复数z=1+i1−iB．若|z1C．若z2≠0D．复数z在复平面内对应的点为Z，若|z+i|+|z−i|=2，则点Z的轨迹是一个椭圆10．质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有2，5，7，70四个数字，抛掷一次并记录与地面接触面上的数字，记事件“数字为2的倍数”为事件A，“数字是5的倍数”为事件B，“数字是7的倍数”为事件C，则下列选项不正确的是（）A．事件A、B、C两两互斥 B．事件A∪B与事件B∩C对立C．P(ABC)=P(A)P(B)P(C) D．事件A、B、C两两独立11．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)⋅f(x−y)=f2(x)−f2A．f(3)=2 B．f(x)为奇函数C．f(2)=0 D．k=1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．(x2+1)13．在公差为正数的等差数列{an}中，若a1=3，a3，a614．已知抛物线C：x2=4y，定点T(1,0)，M为直线y=12x−1上一点，过M作抛物线C的两条切线MA，MB，A四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知函数f(x)=ln2（1）当a=e时，求函数f(x)的最小值；（2）若h(x)=f(x)−g(x)在(0,+∞)上单调递减，求16．如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，E为以BC为直径的半圆弧上一点，平面ABCD⊥平面BCE，O为BC的中点，M为CE的中点，BE=AB=AD=DC=2，BC=4．（1）求证：DM∥平面ABE；（2）求平面ABE与平面DCE的夹角的余弦值．17．设等差数列{an}的公差为d，记Sn是数列{a（1）求数列{a（2）若d>0,bn=4Sn18．2024年初，多地文旅部门用各种形式展现祖国大美河山，掀起了一波旅游热潮．某地游乐园一迷宫票价为8元，游客从A处进入，沿图中实线游玩且只能向北或向东走，当路口走向不确定时，用抛硬币的方法选择，硬币正面朝上向北走，否则向东走（每次抛掷硬币等可能出现正反两个结果）直到从X（X=1，2，3，4，5，6，7）号出口走出，且从X号出口走出，返现金X元．附：KP(0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828（1）随机调查了进游乐园的50名游客，统计出喜欢走迷宫的人数如表：

男性女性总计喜欢走迷宫121830不喜欢走迷宫13720总计252550判断能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为喜欢走迷宫与性别有关？（2）走迷宫“路过路口B”记为事件B，从“X号走出”记为事件AX，求P(A5（3）设每天走迷宫的游客为500人，则迷宫项目每天收入约为多少？19．曲线的曲率是描述几何弯曲程度的量，曲率越大，曲线的弯曲程度越大．曲线在点M处的曲率K=|y''|(1+y'2)32（其中y＇表示函数y=f(x)在点M处的导数，y＇＇表示导函数f'(x)在点M处的导数）．在曲线y=f(x)上点M（1）求出曲线C1：y2−x2=2在点M(0,2)处的曲率，并在曲线C2：xy=1的图象上找一个点（2）若要在曲线C1：y2−x2=2上支凹侧放置圆C3（3）在（2）的条件下，在圆C3上任取一点P，曲线C1上任取关于原点对称的两点A，B，求

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：因为集合A={x|2mx−3>0,m∈R}，其中2∈A且1∉A，

所以，2m×2-3>02m×1-3≤0，则m>34m≤32，则实数2．【答案】D【解析】【解答】解：由题意可知：z⋅(2+i)=3−i2027=3+i，

可得z=3+i2+i=3+i(2-i)(2+i)(2-i)=75-3．【答案】B【解析】【解答】解：由题意可知：|OB|=|AB|=|OA|，如图所示：

又因为△ABC是直角三角形，则∠C=π6，可得所以向量CA在向量CB上的投影向量为：(|故答案为：B.【分析】根据题意可知△ABO为等边三角形，∠B=π4．【答案】B【解析】【解答】解：因为直线l1，l2的倾斜角分别为α，β，

充分性：因为α=β，比如，α=β=π2，所以，tanα，tanβ不存在，不满足充分性；

必要性：因为tanα=tanβ，所以，α=β或α-β=π，又因为α,β∈[0,π),

所以α=β，满足必要性；5．【答案】D【解析】【解答】解：对于AB：连接EF，GH，因为GH是△A1B因为B1E//C1F，且B1E=C1F，可知四边形B1EFC对于C：因为EF//GH，EF=12GH，可知EFGH为梯形，

则EG

延长EG，FH相交于点P，因为P∈EG，EG⊂平面ABB1A1，则又因为P∈FH，FH⊂平面ACC1A1，则且平面ABB1A1∩所以EG,对于D：因为EB1=FC1且0<∠EGB1,故答案为：D.【分析】对于AB：根据平行关系分析可知EF//GH，即可判断AB；对于C：延长EG，FH相交于点P，根据平面的性质分析可知P∈AA6．【答案】A【解析】【解答】解：过P作PP1垂直准线于在△PFM中，由正弦定理可得|PF|sin即|PF|sinα=在△PP1M中，因为∠所以sinβ=故答案为：A.【分析】过P作PP1垂直准线于P1，在△PFM中由正弦定理可得sin7．【答案】C【解析】【解答】解：因为各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，则a1>0,设公比q>0，

又因为满足a6，3a4，−a5成等差数列，所以，2×3a4=a6-8．【答案】C【解析】【解答】解：直线nx+my−n=0即直线n(x−1)+my=0，过定点M(1,直线mx−ny−n=0即直线mx−n(y+1)=0，过定点N(0,且mn−mn=0，可知两直线垂直，所以交点P的轨迹是以MN为直径的圆如图所示：即轨迹方程为C1:(x−12因为Q是圆C上一点，且PQ与C相切，可知问题转化为圆C1上任意一点P作直线与圆C相切，求切线|PQ|由题意可知圆C的圆心C(−2,2)，半径为可知当|PC|取得最小值和最大值时，切线|PQ|取得最小值和最大值，因为|CC则|CC1|−可得|PC|min2−所以|PQ|的取值范围为[2,故答案为：C.【分析】由题意可知：交点P的轨迹是以MN为直径的圆，原问题转化为圆C1上任意一点P作直线与圆C相切，求切线|PQ|的范围，可知当|PC|取得最小值和最大值时，切线|PQ|9．【答案】A,C【解析】【解答】解：对于A，因为z=1+i1-i=1+i2(1-i)(1+i)=2i2=i，

所以z30=i30=i2=-1，故A正确；

对于B，取z1=2i,z2=1，满足z1>z210．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：由题意可知：抛掷一次可能出现的结果有2、5、7、70，则P(A)=24=12对于A：显然事件A与事件B，事件A与事件C，事件C与事件B均可以同时发生，故事件A与事件B，事件A与事件C，事件C与事件B均不互斥，故A错误；对于B：事件A∪B包含的基本事件有2、5、70，事件B∩C包含的基本事件有70，可知事件A∪B与事件B∩C可以同时发生，所以事件A∪B与事件B∩C不互斥，显然也不对立，故B错误；对于C：又事件ABC包含的基本事件有70，所以P(ABC)=1所以P(ABC)≠P(A)P(B)P(C)，故C错误；对于D：因为事件AB、BC、AC均只包含的基本事件有70，则P(AB)=P(BC)=P(AC)=1可得P(AB)=P(B)P(A)，P(BC)=P(B)P(C)，P(AC)=P(A)P(C)，所以A与B、B与C、A与C相互独立；即事件A、B、C两两独立，故D正确.故答案为：ABC【分析】对于AB：根据互斥、对立事件的概率分析判断；对于C：求P(ABC)，P(A)，P(B)，P(C)，即可判断；对于D：根据题意可得P(AB)=P(BC)=P(AC)=111．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：因为函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)⋅f(x−y)=f2(x)−f2(y)，

f(1)=2，f(x+1)为偶函数，令x=y=0得出f0=0，再令x=0，

则f(y)⋅f(−y)=f2(0)−f2(y)，显然fy不恒为零，所以f(−y)=−fy，

即函数f(x)为奇函数，所以B对；

因为f(x+1)=f-x+1=-fx-1，所以，f(x+2)=-fx，

所以，f(x+4)=-fx+2=fx12．【答案】16【解析】【解答】解：因为(x2+1)(2x−1x)4=x2(2x−1x)4+13．【答案】165【解析】【解答】解：设等差数列{an}的公差为d>0，

因为a3，a6，32a8成等比数列，则a62=a3×32a8，

可得3+5d214．【答案】3​​​​​​​【解析】【解答】解：设M(x0,y0)，过点M的切线方程为y−y联立方程y−y0=k(x−x0则Δ=16k2−4(−2可知k1,k2为关于则k1又因为x2=4y，即y=x设切点A(x1,y1可得y1=k可得kAB则直线AB:y−k可知直线AB恒过定点(1,1)，其到联立方程x0x−2y−2y0=0则x1+x可得(x1−当且仅当x0则△TAB的面积S△TAB=12×1×|故答案为：3.【分析】设M(x0,y0)，MA,MB的斜率分别为15．【答案】（1）解：因为a=e，所以f(x)=l可得f'令q(x)=2lnx+2ex，显然q(x)在(0因此当0<x<1e时，则有q(x)<0，当x>1于是有当0<x<1e时，函数f(x)单调递减，当x>1所以f(x)（2）解：化简得h(x)=ln2因为h(x)在(0,所以h'(x)=2由2ln设φ(x)=2lnx当x>e时，φ'(x)<0，当0<x<e时，φ'(x)>0，所以φ(x)要想h'(x)=2只需a≥2e，经检验，当因此a的取值范围为[2【解析】【分析】(1)求导，利用导数判断f(x)的单调性和最小值；

(2)化简得h(x)=ln2x−ax−2，分析可知a≥2lnx16．【答案】（1）证明：取BE的中点N，连接AN，MN，则MN∥BC且MN=1又AD∥BC且AD=12BC，所以MN∥AD所以四边形ANMD为平行四边形，所以DM∥AN．又DM⊂平面ABE，AN⊂所以DM∥平面ABE．（2）解：取AD的中点F，连接OF，因为四边形ABCD为等腰梯形，所以OF⊥BC，又平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE=BC，OF⊂平面ABCD，所以OF⊥平面BCE．过点O作直线BC的垂线交BC于点G，以O为坐标原点，分别以OG，OC，OF所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系如图所示：因为BC为直径，所以BE=1所以∠BCE=30°，∠BOE=60°，∠EOG=30°．在等腰梯形ABCD中，AB=AD=DC=2，BC=4，所以OF=2所以E(3,−1,0)，C(0,2所以CE=(3,−3,0)设平面DCE的法向量为m=(x,y所以3x−3y=0令y=3，则x=3，z=1所以m=(3设平面ABE的法向量为n=(a,b取n=(1设平面ABE与平面DCE的夹角为α，则cosα=所以平面ABE与平面DCE的夹角的余弦值为6565【解析】【分析】(1)取BE的中点N，连接AN，MN，分析可知DM∥AN．结合线面平行的判定定理分析证明；

(2)取AD的中点F，连接OF，可证OF⊥平面BCE．建系标点，利用空间向量求面面夹角.17．【答案】（1）解：由S5=a3+20，S由S15=a2a3a8，当a8=0时d=a当a2=3时d=a综上可得数列{an}的通项公式为a（2）证明：因为d>0，所以an=2n−1，则则b=1+1所以T=n+=n+1【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差数列的通项公式和等差数列前n项和公式以及分类讨论的方法得出数列{an}的通项公式.

（2）利用公差的取值范围和等差数列的通项公式和等差数列前n项和公式得出数列{bn}的通项公式，再结合分组求和的方法和裂项相消的方法得出数列18．【答案】（1）解：根据列联表中的数据可得K2所以不能在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为喜欢走迷宫与性别有关.（2）解：依题意当路口走向不确定时，用抛硬币的方法选择，所以向北与向东走的概率均为