二次函数的最值问题课件

二次函数的最值问题探索二次函数的极值，理解其变化规律，并掌握求解最值的方法。本课件目标掌握二次函数的最值概念理解二次函数最值的概念和定义，并能判断二次函数是否存在最值。熟练运用求解二次函数最值的步骤掌握求解二次函数最值的常用方法，并能灵活运用这些方法解决实际问题。能够将二次函数的最值应用于实际问题了解二次函数最值在日常生活、生产和科学研究中的应用，并能运用这些知识解决实际问题。二次函数的定义定义二次函数是指形如**y=ax^2+bx+c**的函数，其中a，b，c为常数，且a≠0。特征最高次项为2次图像为抛物线二次函数的性质对称性二次函数图像关于对称轴对称.开口方向二次函数图像的开口方向取决于二次项系数的正负号.顶点二次函数图像的顶点是其对称轴与函数图像的交点.二次函数的图像二次函数的图像是一个抛物线，其形状由系数a决定。当a>0时，抛物线开口向上。当a<0时，抛物线开口向下。当a=0时，函数退化为一次函数，图像是一条直线。抛物线的对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a,f(-b/2a))。图像与y轴的交点是(0,c)。二次函数的极值1最大值当二次函数开口向下时，函数在顶点处取得最大值。2最小值当二次函数开口向上时，函数在顶点处取得最小值。3顶点坐标顶点的横坐标可以通过配方或求导的方式得到。求二次函数极值的步骤1确定开口方向判断二次项系数的正负2求对称轴利用公式x=-b/2a3判断极值类型开口向上，则有最小值；开口向下，则有最大值4求极值将对称轴代入函数表达式实例分析1求函数y=-x2+2x+3的最值分析：该函数的开口向下，所以有最大值。求最大值需要先求顶点坐标。顶点坐标的横坐标为x=-b/2a=-2/(2*(-1))=1，将x=1代入原函数，得顶点坐标为(1,4)。因此，该函数的最大值为4。实例分析2问题已知函数y=x^2-4x+3，求其在区间[1,3]上的最大值和最小值。解题思路首先，求出函数的顶点坐标：(2,-1)，然后分析顶点位置与区间的关系，确定函数在区间上的单调性，最后得出最大值和最小值。实例分析3求函数y=-2x²+4x+1的最大值.首先，求出该函数的对称轴方程：x=-b/2a=-4/(2*-2)=1，所以该函数在x=1处取得最大值.然后，将x=1代入函数表达式，求出最大值为：y=-2*1²+4*1+1=3.因此，该函数的最大值为3.如何应用二次函数最值建筑设计优化建筑结构，最大限度地利用空间和材料。工程优化提高效率，降低成本，例如优化生产流程。经济学预测经济走势，制定合理的投资策略。应用实例1例如，要设计一个长方形的广告牌，其面积为100平方米，问如何设计广告牌的边长才能使广告牌的周长最小？设广告牌的长为x米，宽为y米，则xy=100，周长为2(x+y)。将y=100/x代入周长公式，得到周长为2(x+100/x)，这是一个关于x的二次函数，求其最小值即可。应用实例2假设我们要设计一个抛物线形状的拱门，拱门的最高点距离地面5米，拱门的跨度为10米。求拱门的最大高度。应用实例3在现实生活中，很多问题都可以用二次函数最值来解决，比如：求抛物线型桥拱的最高点高度，求抛物线型天线的最远发射距离等。常见错误及注意事项错误1忽略二次函数的对称轴，导致求最值时出现错误。错误2对二次函数开口方向判断错误，导致最值方向判断错误。注意事项注意二次函数的定义域，防止出现最值不存在的情况。知识点小结二次函数最值二次函数最值是函数取得最大值或最小值。求最值方法可以通过配方、图像、函数性质等方法求二次函数的最值。应用场景二次函数最值在实际问题中有很多应用，例如求最大利润、最小成本等。练习题1求函数f(x)=-x²+4x-3的最大值。练习题2已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像经过点(-1,0),(1,0),(0,-2)，求该函数的解析式，并求出其最大值或最小值。解：因为函数图像经过点(-1,0),(1,0),(0,-2)，所以有：a-b+c=0a+b+c=0c=-2解得a=1,b=0,c=-2所以二次函数解析式为y=x^2-2因为a=1>0，所以该函数开口向上，最小值为-2练习题3已知二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点(1,2),(2,1),(3,2)。求该二次函数的表达式，并求其最大值或最小值。练习题4求函数y=x²-4x+3的最小值解:将函数配方，得y=(x-2)²-1因为(x-2)²≥0，所以y=(x-2)²-1≥-1当x=2时，y取最小值-1练习题5已知抛物线y=ax^2+bx+c过点A(1,2)，B(2,1)，C(3,4)，求该抛物线的解析式，并求其顶点坐标和对称轴方程。课堂检测题1求函数y=-x^2+2x+3的最大值求函数y=2x^2-4x+1的最小值若函数y=ax^2+bx+c的图象开口向下，且对称轴为x=1，则a，b，c满足什么关系？课堂检测题2求函数y=-x²+4x-3的最值课堂检测题3已知二次函数y=-x²+4x-3求该函数的最大值并指出最大值在何处取得总结与思考二次函数的最值问题是函数学习的重要内容，它在实际应用中具有广泛的应用价值。学习过程中要注重理解概念，掌握方法，并能灵活运用到实际问题中。课后要及时复习巩固，并进行针对性的练习，不断提高解题能力。课后作业1练习题完成本课