2025届高考数学二轮复习专题06数学情景与新文化100题教师版

专题06数学情景与新文化100题

类型一：函数类新文化题型

一、单选题

1.5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlog2(l+《).它表示：在受噪声干

挠的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内

部的高斯噪声功率N的大小，其中三叫做信噪比.依据香农公式，若不变更带宽卬，而将

N

信噪比三从1000提升至2000,则C大约增加了()

N

A.10%B.30%C.50%D.100%

【答案】A

【分析】

依据香农公式，分别写出信噪比为1000和200()时的传递速率为。=卬1隼2(1+1。(川)科

C=VVlog2(l+2()(X)),两者相比，再依据对数运算即可估计得答案.

【详解】

当力=1000时，C=lVlng2(l+l()(X))

当士=2000时，C=VVlog,(l+2000)

N

Wlog2(l+2000)-Wlog2(l+1(X)0)_log220011+log21(X)0一1=Jg2

则---------------------------=---------1-----------

Wlog2(l+1000)log21(X)1Iog210(X)

I1111

X-=lgW<lg2<lg103=-,依据选项分析,辟2m

q

所以信噪比方从1。。。提升至2。。。,则C大约增加了1。%.

故选：A.

【点睛】

本题考查学问的迁移应用，考查对数的运算，是中档题.

2.2024年11月24日4时30分，我国在文昌航天放射场用长征五号运载火箭胜利放射嫦

娥五号，12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域平安

着陆，“绕、落、回”三步探月规划完备收官，这为我国将来月球与行星探测奠定了坚实基

M

础.已知在不考虑空气阻力和地球引力的志向状态下，可以用公式u=%-ln—计算火箭的

m

最大速度v(m/s),其中％(m/s)是喷流相对速度，是火箭(除推动剂外)的质量，

”(必)是推动剂与火箭质量的总和，5称为“总质比”•若A型火箭的喷流相对速度为

lOOOnVs,当总质比为500时，A型火箭的最大速度约为(植八0434,lg2«0.301)

()

A.4890ni/sB.5790ni/sC.6219nVsD.6825m/s

【答案】C

【分析】

依据题意把数据代入已知函数可得答案.

【详解】

3lg2

v=v0In—=1(X)0xIn5(X)=1(X)0x=1000x-=621.

m1ge1ge

故选；C.

3.埃及金字塔是占埃及的帝王(法老)陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫

金字塔.令人惊讶的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字

“巧合”.如胡夫金字塔的底部周长假如除以其高度的两倍,得到的商为3.14159,这就是

圆周率较为精确的近似值.金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧

匠建设完成后，底座边长大约230米.因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现高大

约为

A.128.5米B.132.5米C.136.5米D.110.5米

【答案】C

【分析】

设出胡夫金字塔原高，依据题意列出等式，解出等式即可依据题意选出答案.

2

【详解】

230x4030x4

胡夫金字塔原高为/?,则胃，=3.14159,即〃J二："146.4米,

2h2x3.14159

则胡夫金字塔现高大约为136.4米.故选C.

【点睛】

本题属于数学应用题，一般设出未知数，再依据题意列出含未知数的等式，解出未知数，

即可得到答案.属于常规题型.

4.中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率。取

决于信道带宽优经科学探讨表明：。与川满意C=W1og,(l+《)，其中S是信道内信号的

N

平均功率，*是信道内部的高斯噪声功率，?为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数

N

中的1可以忽视不计.若不变更带宽队而将信噪比?从1000提升至4000,则Q大约增加

N

了()(附:1g2«0.3010)

A.10%B.20%C.30%I).40%

【答案】B

【分析】

先计算2二1000和1=4000时的最大数据传输速率C1和再计算增大的百分比£守

NNC(

即可.

【详解】

当士=1000时,C,=Wlog21001«Wlog21000；

N

当士=4000时，G=Wlog?4001=Wlog,4000.

N

G[_Wlog240Q01_lg4000]_lg4+]gl0001

所以增大的百分比为:c,~~c,~-wlog?looo—"igiooo~--IglOOO

Ig4_21g22x0.3010

«0.2=20%.

igiooo—

3

利用指对互化解出M,可得火箭须要加注的燃料的估算值.

【详解】

M1M

则U=2ln1+----，所以1+

3100J3100

解得M=3100(c55-1)«3100x243.69=755439(kg卜755.44(t)

故选：C

7.意大利著名天文学家伽利略曾错误地揣测链条自然卜.垂时的形态是抛物线.直到1690

年，雅各布・伯努利正式提出该问题为“悬锥线”问题并向数学界征求答案.1691年他的

弟笫约翰•伯努利和菜布尼兹、惠更斯三人各自都得到了正确答案，给出悬链线的数学表

XX

达式一一双曲余弦函数：fW=c+acosh-=C(e为自然对数的底数).当

a2

(1、

c=0,a=l时，记〃=/(-D,机=/'弓，n=/(2),则P,小，〃的大小关系为

I2/

().

A.〃<"?<〃B.n<in<pc.m<P<nD.m<n<p

【答案】C

【分析】

先利用导数证明函数f(x)在区间(0,+?)上单调递增，再结合单调性比较大小即可.

【详解】

-x.x-x.八x2x1

由题意知，f(x)=——,f\x)=---=--

222e

5

当x>0时，r(x)>0,即函数/(X)在区间(0,+?)上单调递增

-I

/(-l)=£ey+-e£=/(l)

VO<1<1<2,.'./^</(l)</(2),即〃?v〃v，2

故选：C

【点睛】

关键点睛：解决本题的关健是利用导数证明函数/(好的单调性，再结合单调性比较大小.

8.著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，假如物体的初始温度为a,c,

空气温度为4℃,则/min后物体的温度夕(单位：C)满意：6>=q+(a-4”-”(其中〃

为常数，e=2.71828…).现有某物体放在20°。的空气中冷却，2min后测得物体的温度为

52℃,再经过6min后物体的温度冷却到24℃,则该物体初始温度是()

A.8()℃B.82℃C.84℃D.86℃

【答案】C

【分析】

先利用其次次冷却：仇二52℃,。。=20℃，x6,。=24℃,代入求出&=乎，然后对第一次冷

6

却，代入公式，求出初始温度.

【详解】

其次次冷却：4=52℃,4=2()℃，尸6,。=24℃,

即24=20+(52-20”,解得：力=哈

第一次冷却：夕=52℃，夕°=20℃，片2,,

即52=20+(4-20”与，解得：4=84C；

故选：C.

【点睛】

6

数学建模是中学数学六大核心素养之一，在中学数学中，应用题是常见考查形式：

(1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关

系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；

(2)求解应用性问题时，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题理解自变量的取

值范围；

(3)nJ以建立多个函数模型时，要对每个模型计算,进行比较,选择最优化模型.

9.2024年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国89岁高龄的著名数学家阿蒂

亚爵士宣布自己证明白黎曼猜想，这•事务引起了数学界的振动.在1859年，德国数学家

黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是

著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾探讨过这个问题，并得到小于数字；的

素数个数大约可以表示为4W之夫的结论.若依据欧拉得出的结论，估计10000以内的

素数个数为(素数即质数，lgenO.43429,计算结果取整数)

A.1089B.1086C.434I).145

【答案】B

【分析】

由题意可知10000以内的家数的个数为4(10000)。漓黑，计算即可得到答案.

【详解】

由题可知小于数字4的素数个数大约可以表示为万(X)H言,

1000010000lOOOOlg^

则10000以内的素数的个数为4(10000卜=2500

InlOOOO41nl04

0.434292500«1086,

故选B.

【点睛】

本题考查对数运算性质的简洁应用，考查学生的审题实力.

10.2024年6月17日15时19分，星期三，酒泉卫星放射中心，我国胜利放射长征二号

7

丁运载火箭，并胜利将高分九号03星、皮星三号月星和德五号卫星送入预定轨道，携三星

入轨，全程放射获得圆满胜利，祖国威猛.已知火箭的最大速度/（单位：km/s）和燃料

质量J/（单位：kg）,火箭质量勿（单位：kg）的函数美系是：n=20001n（l+?）若已

知火箭的质显为3100公尸，燃料质量为310吨，则此时/的值为多少（参考数值为

In2®0.69；In101=4.62）（）

A.13.8B.9240C.9.24D.1380

【答案】B

【分析】

依据已知数据和函数关系式;干脆计算.

【详解】

（?1nnnn\

v=2000xIn，3曾（）j=2000x（In101）=2000x4.62=9240km/s,

故选：B.

【点睛】

本题考查函数的应用，属于基础题.

11.为了探讨疫情有关指标的变更，现有学者给出了如下的模型：假定初始时刻的病例数

为平均每个病人可传染给/个人，平均每个病人可以干脆传染给其他人的时间为£

天，在£天之内，病例数目的增长随时间”单位：天）的关系式为三M（1+AT,若

.惴=2,小2.4,则利用此模型预料第5天的病例数大约为（）（参考数据：logr454-

18,log2.1454^7,1*454比5）

A.260B.580C.910D.1200

【答案】C

【分析】

首先依据题意得到N（5）=2（1+2.4）5=2x3.4’,再依据参考数据求解即可.

【详解】

8

N⑸=2（1+2.4）'=2X3.45,

因为logy454。5,所以3.4$*454,

同〒以N（5）=2x3.45^2x454才908之910.

故选：C

12.干支纪年法是中国历法上自占以来就始终运用的纪年方法、干支是天干和地支的总

称，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸为天干：子、丑、寅、卯、辰、已、午、

未，申、西、戌、亥为地支.把十天干和十二地支依次楣配，如甲对子、乙对丑、丙对

贡、…癸对寅，其中天干比地支少两位，所以天干先循环，甲对戊、乙对亥、…接下来地

支循环，丙对子、丁对丑、.，以此用来纪年，今年2024年是庚子年，那么中华人民共和

国建国10（）周年即2049年是（）

A.戊辰年B.己巳年C.庚T年D.庚子年

【答案】B

【分析】

由题意2024年是干支纪年法中的庚子年，则2049的天干为己,地支为巳，即可求出答

案.

【详解】

天干是以10为一周期，地支是以12为一周期，

2024年是干支纪年法中的庚子年，而2049-2020=29=2x10+9=2x12+5,所以2049的天

干为己，地支为己，

故选:B.

【点睛】

本题考查数学文化，实际生活中的数学应用，关键在于运用阅读理解实力将生活中的数据

和用语转化为数学中的概念和数据，属于中档题.

13.2024年初，新冠病毒肺炎（仞1//〃-19）疫情在武汉爆发，并以极快的速度在全国传

播开来.因该病毒暂无临宋特效药可用，因此防控难度极大.湖北某地防疫防控部门确定

进行全面入户排查4类人员：新冠患者、疑似患者、一股感冒发热者和新冠亲密接触者，

过程中排查到一户5口之家被确认为新冠肺炎亲密接触者，按要求进一步对该5名成员逐

9

一进行核糖核酸检测，若出现阳性，则该家庭定义为“感染高危户”，设该家庭每个成员检

测呈阳性的概率相同均为〃(0<〃<1)，且相互独立，该家庭至少检测了4人才能确定为

“感染高危户”的概率为f(P),当〃=%时，"P)最大，此时局=()

A.姮B.巫C.屿D.1m

5555

【答案】A

【分析】

由题意可得，该家庭至少检测了4人才能确定为“感染高危户”，则前3人检测为阴性，第

4人为阳性，或前4人检测为阴性，第5人为阳性.求出/(〃)，求/(〃)，利用导数求当

最大时，〃的值.

【详解】

由题意可得，该家庭至少检测了4人才能确定为“感染高危户”，则前3人检测为阴性，第

4人为阳性，或前4人检测为阴性，第5人为阳性.

・•・/(P)=(l-

(〃)二-3(1-〃『〃+(1-〃)3-4(1一〃)3p+(l-p?=(l—p)2(5//-10p+2)

八、2(5+gj5-呵

Q0<p<p)2〃—5+<o,

XZ

令/(〃)>()，得/(p)<o,得^^<〃<1.

55

」•/(〃)在［0,---J上老调速增，在I---单倜速减，

.・.〃=三普时，〃〃)最大，即〃尸三普=1—孚.

故选：A.

10

【点睛】

本题考查相互独立事务、互斥事务的概率计算公式，考查利用导数求最值，属于中档题.

14.复兴号动车组列车，是中国标准动车组的中文命名，由中国铁路总公司牵头组织研

制、具有完全自主学问产权、达到世界先进水平的动车组列车.2024年12月30日，

a?400Ab-C智能复兴号动车组在京张高铁实现时速35Dkm自动驾驶，不仅速度比一般列

车快，而且车内噪声更小.我们用声强/（单位：W/nf表示声音在传播途径中每平方米上

的声能流密度，声强级L（单位：dB与声强/的函数关系式为L=101g（R）,已知

hlO'W/m?时，L=IO,出.若要将某列车的声强级降低30dB,则该列车的声强应变为原声

强的（）

A.10-5倍B.KT4倍C.10-3倍0.ICT?倍

【答案】C

【分析】

由题设可得〃=10一3,代入函数式，由指对数的关系有/=10h3,进而求声强级降低3CdB

的声强应用指数幕的运算性质求声强的比值.

【详解】

由题设，101g（10%）=i0,解得a=10-3,则乙=10糖（10-3/）=10（坨/-3）,

//-30/

*,•j_IQIO*3»要使声强级降低30dB，则jf_JQ=|Q|Q,

.•二里=炉.

,10小

故选：C

15.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名

字命名的“高斯函数”为：设xeR,用国表示不超过x的最大整数，则>二国称为高斯

函数，也称取整函数，如：卜3.7]=-4,[2.3]=2,已知〃.1）=1\一1,则函数

产3[〃力]一2"（一切的值域为（）

11

A.{-3,0,2}B.{-1,2}C.{-3,0,-2}D.{-2,0,3}

【答案】A

【分析】

化简得出f(x)=l-/.可得人>(州寸，[/(x)]=0:工=0时，0")]=。；x<0时,

[/(x)]=-l,即可求出.

【详解】

♦2（22）-22

/W=2r+l2x+\21+1

当x>0时，2、+l£(2,y),则岛«()/)，则”力40,1),此时[/(x)]=0,

当x=()时，/(-r)=0,Wi[/(x)]=0.

当K<0时，2、+le(l,2),贝ij岛e(l,2),则/(x)e(T,0),此时[/(x)]=-1,

则对于函数丁=3[/(力]一2]/(—力],

当x>()时，-x<(),此时)，=3[/(x)]-2[/(-x)]=3x0-2x(-1)=2；

当x=()时，T=0,此时)，=3[/(力]-2[/(「i)]=3x0—2x0=0；

当”0时,T>0,此时<=3[/⑼-2[F(T)]=3X(T)-2X0=_3,

故y=3[〃切-2"(一切的值域为{-3,0,2}.

故选：A.

【点睛】

关键点睛：解题的关键是化简得出/(力=1-岛，分别求出x>0，x=0，x<0时/(力的取

值范围.

16.我国于2024年5月胜利研制出目前国际上超导量子比特数量最多的量子计算原型机

12

“祖冲之号”，操控的超导量子比特为62个.已知1个超导量子比特共有“10>,11>"2

种叠加态，2个超导量子比特共有“|00>,|01>,|10>,种叠加态，3个超导

量子比特共有“|000>,|001>,|010>,|011>,|100>,|101>,|110>,1111>v8

种叠加态，…，只要增加1个超导量子比特，其叠加态口勺种数就呈指数级增长.设62个超

导量子比特共有N种叠加态，则N是一个（）位的数.（参考数据：怆2。0.3010）

A.18B.19C.62I).63

【答案】B

【分析】

依据题意〃个超导晟子比特共有2”种叠加态，进而两边取以1（）为底的对数化简整理即可得

答案.

【详解】

依据题意，设〃个超导量子比特共有2〃种叠加态，

所以当有62个超导量子比特共有N=262种叠加态。

两边取以1()为底的对数得lgN=lg262=62怆2。62x0.3010=18.662,

所以N=1018662=10°662x1以,由于10。v10°662<10',

故N是一个19位的数.

故选：B

【点睛】

本题考查数学文化，对数运算，考查学问的迁移与应，是中档题.本题解题的关键在于依据

材料得〃个超导量了•比特共有2”种播加态，进而依据对数运算求解.

17.2024年1月3日嫦娥四号探测器胜利实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国

航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆须要解决的一个关键技术问题是地面

与探测器的通讯联系.为解决这个问题，放射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围

绕地月拉格朗日4点的轨道运行.4点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质

量为M，月球质量为明，地月距离为尼右点到月球的距离为人依据牛顿运动定律和

万有引力定律，/•满意方程：

”=(7?+，)素.

(R+rYrR

13

r4-4"44-

设a市,由于。的值很小，因此在近似计算中则/的近似值为

B.-%-Aq

2Ml

D.5

。・附V3M

【答案】D

【分析】

本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，建立。的方程，解方程、近似

计算.题目所处位置应是“解答题”，但由于题干较长，易使考生“望而生畏”,留意了阅

读理解、数学式子的变形及运算求解实力的考杳.

【详解】

由a=—,得r=aR

R

M.M,…、陷

因为标尸丁二便"下，

~.MM,八、M.

，

所以同7k市=（+a）~Rr

1

miM、i优+3/+3标-3

即="Kl+a)—7;~-rl=---—a3a，

(l+a)~(1+a厂

解得

所以f=假兄

【点睛】

由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意;易错点之

二是困难式子的变形出错.

18.中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式:

14

C=Wlog2（l+5）.它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度。取决于信道带

宽#;信道内信号的平均功率S,信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中三叫做信噪比.

当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽视不计.依据香农公式，若带宽/增大到原

来的1.1倍，信噪比三从1000提升到16000,则。大约增加了（附：馆2=0.3）（）

A.21%B.32%C.43%D.54%

【答案】1）

【分析】

利用对数的运算性质，由香农公式分别计算信噪比为1000和16000时C的比值即可求解.

【详解】

LlWlog,1600D।,1216000,,.3+41g2,八一

解・由题意--------------1=1.lx--------------1=1.lx---------——1=0.54,所以C大约增加

肿.出您忌Wlog2l（）（X）1g10003人/皿川

了54%.

故选：D.

19.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名

字命名的“高斯函数”为：设xwR,用卜]表示不超过x的最大整数，则y=国称为高斯

函数，也称取整函数，如：卜2.1]=-3,[3.1]=3,已知/（耳=占^,则函数尸[/（切

的值域为（）

A.{。，-3}B.{。,一1}C.{0,-1,-2}D.{1,0,—1,-2}

【答案】C

【分析】

结合指数函数性质求得了（X）的值域，然后再依据新定义求）』"（x）]的值域.

【详解】

77

y-2明显3川+1>1——;—€(0,-),

fM=33+|+1)3

1+3川3』+133(33+1)

15

所以/（刈的值域是

当一2v/（x）v—1时，"。）］二一2,

-l<x<OW，［/（A）］=-I,当OW/（x）v；时"（切=0,

所以所求值域是{-2,7,0}.

故选：C.

2（）.2024年第三届中国国际进口博览会开幕，时值初冬呼吸系统传染病高发期，防疫检测

由上海交通高校附属瑞金丢院与上海联通公司合作研发的“5G发热门诊才智解决方案”完

成.该方案基于5G网络技术实现了患者体温检测、人证核验、导诊、诊疗、药品与标本配

送的无人化和智能化.5G技术中数学原理之一就是香农公式：。=卬1/2（1+5）.它表示：

在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C（单位：bit/s）取决于信道带宽W（单

位：HZ）、信道内信号的平均功率S（单位：dB）>信道内部的高斯噪声功率N（单位：

dB）的大小，其中三叫做信噪比.依据香农公式，若不变更带宽W,而将信噪比三从

NN

1000提升至2000,则C大约是原来的（）

A.2倍B.1.1倍C.0.9倍D.0.5倍

【答案】B

【分析】

GWlog,2001兀…1111

由题可得不=卬31001'禧2+1,依据;=lgl（T<lg2<lgl（T=：可求出.

【详解】

•・・C=Wlog2（l+?）

当3=1000时，G=IVlog2（I+JOOO）=VVIog21（X）1,

当士=2000时，C=Wlog,（1+2000）=Wlog,2001,

N

16

C2_Wlog?2001J。氏2000_log?2+1。氏1000_1।i-】gi1

J3

c,iviogjooilogjooologjoooiog2io3m'

乂L=lgl(r<lg2<lgl()3=L则；lg2*0.l,即U=LL

433a

故选:B.

【点睛】

关键点睛：本题考查对数函数的应用，解题的关键是得出及pfg2+l,再利用

1111

^•=lgl04<lg2<lgio3=：求出.

17

类型二：三角形类新文化题型

21.《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷

铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的

“弓”，掷铁饼者的手臂长约为9TT米，肩宽约为TTg米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，

48

则掷铁饼者双手之间的距离约为（）

A.1.012米B.1.768米C.2.043米D.2.945米

【答案】B

【分析】

由题分析出这段弓所在弧长，结合弧长公式求出其所对圆心角，双手之间的距离为其所对

弦长.

【详解】

解：由题得：引听在的弧长为：/=

18

c

•••两手之间的距离d=2Rsin2=&X1.25=1.768.

4

故选：B.

【点睛】

本题主要考查圆心角，弧长以及半径之间的基本关系，本题的关键在于读懂题目，能提取

出有效信息.

22.达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》著名遐迩.如图，画中女子神奇的微笑，，数百年来让

多数欣赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女

子的嘴唇近似看作一个I圆弧，在嘴角AC处作圆弧的切线，两条切线交于8点，测得如下

数据：43=6"几房=6"5。=10.392°〃（其中正=0.866）.依据测量得到的结果推

2

算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（）

【答案】A

【分析】

由已知4A=AC=6,设N4BC=20.可得⑸e=N骁=0X66.于是可得8.进而得出结

19

论.

【详解】

解：依题意A8=8C=6,设ZA8C=2^.

则sin0=^^=O.866。立.

62

:.0=2,20=—.

33

设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为

则a+2^=;r,

71

3

故选：A.

【点睛】

本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理实力与

计算实力，属于中档题.

23.《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东部的第一部自成体系的数学专著.

书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？"（一步=1.5

米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为

A.135平方米B.270平方米C.540平方米D.1080平方米

【答案】B

【分析】

干脆利用扇形面积计算得到答案.

【详解】

I]24

依据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为S=；刀=]X45X/=270（平方米）.

故选：B.

20

【点睛】

本题考查了扇形面积，属于简洁题.

24.希波克拉底是古希腊英学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他也探讨数学.

特殊是与“月牙形”有关的问题.如图所示.阴影部分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧

分别是-A4C的外接圆和以A3为直径的圆的一部分，若=AC=BC=\,则该

月牙形的面积为（）

1兀

4-24

【答案】A

【分析】

求出，48。的外接圆半径，得弓形面积，再求得大的半圆面积,相减可得结论.

【详解】

解析由已知可得回=△的的外接圆半径为八?焉"由题意，内侧圆弧为

八3c的外接圆的一部分，且其对应的圆心角为彳，则弓形A8C的面积为

IxPxf3i-sin—1---—外侧的圆弧以48为直径，所以半圆48的面积为

2I33；34

%*图=1，则月牙形的面积为-用邛+盘.

故选：A.

25.故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群.故宫宫殿房檐设计

恰好使北房在冬至前后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴.已知北京地区夏至前后正午太阳高

21

度角约为75，冬至前后正午太阳高度角约为30.图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似

为正四棱柱的宫殿，图2是其示意图，则其出檐A8的长度（单位：米）约为（）

图1图2

A.3B.4C.6(75-1)D.3(75+1)

【答案】C

【分析】

依据题意，建立解三角形的数学模型，将问题转化为利用正弦定理解三角问题求解即可.

【详解】

如图，依据题意得NAC4—15,zMCD-105,ZADC-30,CD-24,

所以NC4O=45,

CDAC24AC

所以在△ACD由正弦定理得，即

sinZCAD~sinZACDsin45sin30

解得4c=12近,

rjA6

所以在RtAACB中,sinZACB=—,gpsinl5=百万,

6&1

解得AB=12&sinl5=12x/2sin(60-45)=12夜x-------X-----------—x

222

=\2&gH=3双导吟

22

故选：c

【点睛】

本题考查数学问题，解三角形的应用问题，考查数学建模思想，数学运算实力，是中档题.

本题解题的关键在于依据题意，建立三角形模型，利用卫弦定理求解即可.

26.东寺塔与西寺塔为“昆明八景”之一，两塔一西一东，遥遥相对，已有1100多年历

史.东寺塔基座为正方形，塔身有13级，塔顶四角立有四只铜皮做成的鸟，俗称金鸡，所

以也有“金鸡塔”之称.如图，在力点测得：塔在北偏东30°的点。处，塔顶。的仰角为

30°,且8点在北偏东60°.A8相距80（单位：m）,在B点测得塔在北偏西60°,则

塔的高度。。约为（）m

C

A

A.69B.40C.35D.23

【答案】B

23

【分析】

依据题意构造四面体C-ABD,再运用线面位置关系及三角形相关学问求解出相应的线段长即

可.

【详解】

如图，依据题意，图中CQ_L平面/劭,NCAQ=30°,N阴。=30。,448。=60。）8=80

一ABD中，NBAD=30。,NABD=60。,,.ZAD13=90o

：.AD=ABcos^A^W°=«

又♦.CO_L平面/仍〃，是直角三角形

RtACD中，ACAD=30°,Z.ADC=900.4D=406

・•.CO=ADtan3()。=40Gx亚=40,选项B正确,选项ACD错误

3

故选：B.

27.三国时期，吴国数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明白勾股定理（西方称之为“毕达哥

拉斯定理”）.如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个