2024年粤教沪科版高一数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年粤教沪科版高一数学上册月考试卷219考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、若2a＞1；则a的取值范围为（）

A.a＞0

B.0＜a＜1

C.a＜0

D.a＞2

2、设a=log53，b=ln3，则（）

A.a＜c＜b

B.c＜b＜a

C.a＜b＜c

D.c＜a＜b

3、已知直线和平面下列推论中错误的是（）A.B.C.D.4、【题文】若对任意（）有唯一确定的与之对应，称为关于的二元函数.现定义满足下列性质的二元函数为关于实数的广义“距离”:

（1）非负性:当且仅当时取等号；

（2）对称性:

（3）三角形不等式:对任意的实数z均成立.

今给出四个二元函数:①②③

④能够成为关于的的广义“距离”的函数的所有序号是（）A.①B.②C.③D.④5、已知集合则下列式子表示正确的有（）

①②③④A.1个B.2个C.3个D.4个评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)6、函数y=|1+2x|+|2-x|的单调减区间是____．7、=____．8、给出下列命题：

①函数是偶函数；

②函数在闭区间上是增函数；

③直线是函数图象的一条对称轴；

④将函数的图象向左平移单位；得到函数y=cos2x的图象；

其中正确的命题的序号是：____．9、在△ABC中，若∶∶∶∶则；10、【题文】设均为正实数，且则的最小值为____________．11、已知α∈（0，），cosα=则cos（α+）=______．评卷人得分三、解答题(共7题，共14分)12、(本题满分12分)如图所示，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.13、已知圆C：关于直线对称，圆心在第二象限，半径为（1）求圆C的方程；（2）是否存在斜率为2的直线截圆C所得的弦为AB，且以AB为直径的圆过原点，若存在，则求出的方程，若不存在，请说明理由.14、函数在同一个周期内，当时取最大值1，当时，取最小值（1）求函数的解析式（2）函数的图象经过怎样的变换可得到的图象？（3）若函数满足方程求在内的所有实数根之和.15、已知（1）若且∥（），求x的值；（2）若求实数的取值范围.16、已知函数f（x）=ex-e-x（x∈R；且e为自然对数的底数）．

（1）判断函数f（x）的单调性与奇偶性；

（2）是否存在实数t，使不等式f（x-t）+f（x2-t2）≥0对一切x∈R都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．17、已知向量且．

（Ⅰ）若求函数f（x）关于x的解析式；

（Ⅱ）求f（x）的值域；

（Ⅲ）设t=2f（x）+a的值域为D，且函数在D上的最小值为2，求a的值．18、已知圆C

经过点A(0,2)B(2,0)

圆C

的圆心在圆x2+y2=2

的内部，且直线3x+4y+5=0

被圆C

所截得的弦长为23.

点P

为圆C

上异于AB

的任意一点，直线PA

与x

轴交于点M

直线PB

与y

轴交于点N

．

(1)

求圆C

的方程；

(2)

求证：|AN|?|BM|

为定值．评卷人得分四、计算题(共3题，共9分)19、如图，⊙O中的圆心角∠AOB=90°，点O到弦AB的距离为4，则⊙O的直径长为____．20、函数中自变量x的取值范围是____．21、计算：0.0081+（4）2+（）﹣16﹣0.75+2．评卷人得分五、证明题(共4题，共40分)22、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．23、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．24、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．25、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．评卷人得分六、综合题(共1题，共9分)26、设L是坐标平面第二；四象限内坐标轴的夹角平分线．

（1）在L上求一点C，使它和两点A（-4，-2）、B（5，3-2）的距离相等；

（2）求∠BAC的度数；

（3）求（1）中△ABC的外接圆半径R及以AB为弦的弓形ABC的面积．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、A【分析】

∵y=2x为定义域R上的单调递增的函数。

又∵2a＞1=2

∴a＞0

故选A

【解析】【答案】结合函数y=2x为R上的单调递增的函数可求a的范围。

2、D【分析】

由题意，a=log53＞log5=b=ln3＞lne=1；

∴c＜a＜b

故选D．

【解析】【答案】由题意，a=log53＞log5=b=ln3＞lne=1；故可得结论。

3、D【分析】试题分析：对A，根据线面垂直的性质可知，成立；对B，根据两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面可知，正确；对C，如下图（1），假设设则由可知而由线面垂直的判定定理可知垂直于两交线与确定的平面，记该平面为根据过空间一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知与重合，由可得这与假设矛盾，从而假设不正确，从而或所以C正确，而D不正确，如下图（2），图中各组平面相互平行，而第一组第二组相交，而第三组异面，故选D.考点：空间中线与线的位置关系及线与面的位置关系.【解析】【答案】D4、A【分析】【解析】

试题分析：①对于函数满足非负性：当且仅当时取等号；满足对称性：

∵对任意的实数均成立，因此满足三角形不等式：．可知能够成为关于的的广义“距离”的函数．

②但是不仅时取等号，也成立，因此不满足新定义：关于的的广义“距离”的函数；

③若成立，则不一定成立；即不满足对称性；

④同理不满足对称性．

综上可知：只有①满足新定义，能够成为关于的的广义“距离”的函数．

故选A．

考点：新定义，函数的概念与表示.【解析】【答案】A5、C【分析】【解答】①正确，②错，集合间的关系不能用符号，是任何集合的子集，③正确，④正确.故选C二、填空题(共6题，共12分)6、略

【分析】

函数y=|1+2x|+|2-x|=

故函数在为减函数。

即函数y=|1+2x|+|2-x|的单调减区间是

故答案为：

【解析】【答案】利用零点分段法；我们可将已知中的函数y=|1+2x|+|2-x|化成分段函数的形式，进而分析各段上函数的单调性，可得答案．

7、略

【分析】

sin

=sin（π+）

=-sin

=-．

故答案为：-

【解析】【答案】将所求式子中的角变形为π+然后利用诱导公式sin（π+α）=-sinα化简后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．

8、略

【分析】

①函数=cos2x；它是偶函数，正确；

②函数的单调增区间是[-]，k∈Z，在闭区间上是增函数；不正确；

③直线代入函数=-1，所以图象的一条对称轴；正确；

④将函数的图象向左平移单位，得到函数y=cos（2x+）的图象；所以④不正确．

故答案为：①③

【解析】【答案】利用诱导公式化简①，然后判断奇偶性；求出函数的增区间，判断②的正误；直线代入函数是否取得最值；判断③的正误；利用平移求出解析式判断④的正误即可．

9、略

【分析】【解析】【答案】120度10、略

【分析】【解析】

试题分析：由化为整理为∵均为正实数，∴∴解得即当且仅当时取等号，∴的最小值为16；故答案为：16．

考点：基本不等式．【解析】【答案】1611、略

【分析】解：α∈（0，），cosα=∴sinα==

则cos（α+）=cosαcos-sinαsin=-•=

故答案为：．

利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再利用两角和的余弦公式求得cos（α+）的值．

本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式的应用，属于基础题．【解析】三、解答题(共7题，共14分)12、略

【分析】【解析】试题分析：设⊙O所在的平面为α，由已知条件得PA⊥α，BC?α，所以PA⊥BC，因为C是圆周上不同于A，B的任意一点，AB是⊙O的直径，所以BC⊥AC，又PA∩AC＝A，故BC⊥平面PAC，又BC?平面PBC，所以，平面PAC⊥平面PBC.考点：面面垂直的判定定理。【解析】【答案】只需证明BC⊥平面PAC即可。13、略

【分析】【解析】试题分析：（1）圆心为2分由题意：4分解得：或（舍）圆C的方程为6分（2）假设存在满足要求的直线设其方程为设由题意，8分得：（*）10分将代入圆的方程得：该方程的两根为12分将代入（*）得：14分方程无解，满足条件的直线不存在.16分考点：圆的方程，直线与圆的位置关系【解析】【答案】（1）（2）满足条件的直线不存在14、略

【分析】

(1)又因又函数20.【解析】

(1)又因又函数(2)的图象向右平移个单位得的图象再由图象上所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变，得到的图象，(3)的周期为在内恰有3个周期，并且方程在内有6个实根且同理，故所有实数之和为【解析】略【解析】【答案】15、略

【分析】试题分析：(1)先将向量化为代数式，即（2）由已知先写出的坐标，再由则有：当时等式不成立；将写成关于的函数，即再求函数的值域即是的取值范围为（或解）用表示即又因为可解得的取值范围为试题解析：（1）（2）若则有：当时等式不成立；解得：的取值范围为考点：本题考查向量的坐标运算；向量共线的；利用三角函数的有界性求参数.【解析】【答案】(1)(2)16、略

【分析】

（1）由已知中函数f（x）=ex-e-x；结合函数单调性“增+增=增”的性质及奇偶性的定义，可判断f（x）在R上是增函数且是奇函数．

（2）不等式f（x-t）+f（x2-t2）≥0对一切x∈R都成立，即t2+t≤x2+x=（x+）2-对一切x∈R都成立，进而可得存在使不等式f（x-t）+f（x2-t2）≥0对一切x∈R都成立．

本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的最值，函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档．【解析】（12分）

解：（1）∵f（x）=ex-e-x；

函数y=ex为增函数，函数y=-e-x为增函数。

∴f（x）在R上是增函数．

（亦可用定义证明）

∵f（x）的定义域为R，且f（-x）=e-x-ex=-f（x）；

∴f（x）是奇函数．

（2）存在．由（1）知f（x）在R上是增函数和奇函数；

则f（x-t）+f（x2-t2）≥0对一切都成立。

⇔f（x2-t2）≥-f（x-t）=f（t-x）对一切x∈R都成立。

⇔x2-t2≥t-x对一切x∈R都成立。

⇔t2+t≤x2+x=（x+）2-对一切x∈R都成立。

又

∴

∴

∴存在使不等式f（x-t）+f（x2-t2）≥0对一切x∈R都成立．17、略

【分析】

（Ⅰ）欲求函数的解析式，只要运用向量积的点坐标运算公式计算得到的结果．

（Ⅱ）要求函数值域；只要根据定义域及三角函数的值域的求法即可．

（III））先由t=2f（x）+a得出：D=[a，a+2]，又函数在D上的最小值为2；利用g（t）在[a，a+2]上单调得到关于a的不等式和方程的混合组，解此不等式和方程组即可．

本题考查平面向量数量积的运算，三角函数的周期性及其求法，同时还考查了三角函数的最值的求法．【解析】解：（I）∵由向量积的点坐标运算公式计算得：

∴

（II）∵∴cos2x∈[0，1]，∴f（x）的值域为[0，1]

（III）∵t=2f（x）+a；∴t∈[a，a+2]，∴D=[a，a+2]

又函数在D上的最小值为2

∴g（t）在[a；a+2]上单调。

∴

解得a=2或-618、略

【分析】

(1)

直线3x+4y+5=0

被圆C

所截得的弦长为23

且r=a2+(a鈭�2)2C(a,a)

到直线3x+4y+5=0

的距离d=|7a+5|5=r2鈭�3=2a2鈭�4a+1

即可求圆C

的方程；

(2)

分类讨论；求出直线PAPB

的方程，可得MN

的坐标，即可证明结论．

本题考查圆的方程，考查直线的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．【解析】(1)

解：知点C

在线段AB

的中垂线y=x

上，故可设C(a,a)

圆C

的半径为r

．

隆脽

直线3x+4y+5=0

被圆C

所截得的弦长为23

且r=a2+(a鈭�2)2

隆脿C(a,a)

到直线3x+4y+5=0

的距离d=|7a+5|5=r2鈭�3=2a2鈭�4a+1

隆脿a=0

或a=170

．

又圆C

的圆心在圆x2+y2=2

的内部；隆脿a=0

圆C

的方程x2+y2=4

．

(2)

证明：当直线PA

的斜率不存在时；|AN|?|BM|=8

．

当直线PA

与直线PB

的斜率存在时；

设P(x0,y0)

直线PA

的方程为y=y0鈭�2x0x+2

令y=0

得M(2x02鈭�y0,0)

．

直线PB

的方程为y=y0x0鈭�2(x鈭�2)

令x=0

得N(0,2y02鈭�x0)

．

隆脿|AN|鈰�|BM|=(2鈭�2y02鈭�x0)(2鈭�2x02鈭�y0)=4+4[y0x0鈭�2+x0y0鈭�2+x0y0(x0鈭�2)(y0鈭�2)]

=4+4隆脕y02鈭�2y0+x02+x0y0(x0鈭�2)(y0鈭�2)=4+4隆脕4鈭�2y0鈭�2x0+x0y0(x0鈭�2)(y0鈭�2)=4+4隆脕4鈭�2y0鈭�2x0+x0y04鈭�2y0鈭�2x0+x0y0=8

故|AN|?|BM|

为定值为8

四、计算题(共3题，共9分)19、略

【分析】【分析】过点O作OC⊥AB，垂足为C，可得AC=4，再由勾股定理得圆的半径，从而得出直径．【解析】【解答】解：如图；过点O作OC⊥AB，垂足为C；

∵∠AOB=90°；∠A=∠AOC=45°；

∴OC=AC；

∵CO=4；

∴AC=4；

∴OA==4；

∴⊙O的直径长为8．

故答案为：8．20、略

【分析】【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．【解析】【解答】解：根据题意得：x-4＞0；

解得：x＞4．

故答案为x＞4．21、解：原式=++﹣24×（﹣0.75）+5=0.3++﹣+5=5.55【分析】【分析】根据指数幂和对数的运算性质化简即可．五、证明题(共4题，共40分)22、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．23、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．24、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．25、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；