数列题型及解题方法归纳总结

知识框架一、典型题的技巧解法

数列的分类1、求通项公式

胃1、数列的通项公式一函数角度理财（1）观察法.（2）由通推公式求通项.

的械含数列的递推关系对F由递推公式所偷定的数列的求解,通常可通过对通推公式的变换传化成等

差数列或等比数列向题。

等差数列的定义q-，*=〃（〃之2）⑴递推式为％”=%+d及％,产qa,（d,q为常数）

等差数列的通项公式心=q+（“-IH例】、已知瓜）满足—产4+2,而且a尸1,求小.

等差数列

等差数列的求和公式邑=±q+M）=”q+空三2/例1、解•：a..L&=2为常数二㈤）是苜项为1,公差为2的等差数列

+2（n-1）即a产2n-l

等差数列的性质q+q,=%+”«(，”+〃=p+q)

例2、己如｛qj满足％”=；4,，而q=2.求小二？

两个基

等比数列的定义上=/“N2）解,常数

本数列0.T

等比数列的通项公式““■卬广।

等比数列4"~44“一“"，...（、）是以2为苜项.公比为:的等比数列

数列(</*h

等比数列的求和公KS.1-q

，，卬q=I)•…2・6尸.£

等比数列的情历“."”=（，，，+"=P'*'<1）

公式法

分俎求和(2)递推式为4-产&+f(n)

储位相减求和例3、已知恒“｝中q=：•a„.,=«„+4-,•求。”.

数列

矍项求和24n~-1

求和

倒序梢加求和髀：由已知可知a--a,-------上----■,1-7-Z~।«)

家加索机(2/i+1X2/1-I)22n-12n+l

UI纳环妞讦明

-n=L2•….(n-1)•代入得(n*l)一等式累加,即(ar.)+(OJ-IU)♦…

分期付款

数列的应用J4i>

其他

掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、

求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可

能在高考中顺利地解决数列问翅。

★说明只要和f(1)+f(2)+…+f(n-l)是可求的，就可以由

a.产a"(n)以n=L2.•••,(n-1)代入.可祠•n-1个等式累加而求q,?4,引辅映列40弋八机.「沿彳后庠

(3)递推式为a^FpSn+q(p.q为常数)

例4、(巩｝中，％=1,对于n>l(n£N)有q=3ae+2.求凡.(5)递推式为%.：=叫.+叫

解法一：由己知递推式得a,”=3a,+2,a・=3a,共2・两式相减；--a=3(&-a-)

思路：改a„t2=网川+(fan,可以变形为：可公-aa”产^(.a,it-aaj.

因此数列｛a,「&｝是公比为3的等比数列，其首项为a；-a产(3X1+2)-1=4

.,.a.--a.=4•3-,•.&.k3&*2.*.3a.+2-a.-4-3"*即iu=2・3,-1

1则可从｛:Ml1解存。'。・

解法二：上法得展「&｝是公比为3的等比数列，于是缶a「a,-4,a「al-3.就是・（。+B）、・]・aBa..

a«-ax=4,3：,…，an-4,3"

把n-1个/•奇=4（，03♦海…+第一）/（[■邢）于是㈤「《>a•,是公比为B的等比数列.就转化为前面的类型.

.*.an=2•3n-l-l

【例】己知数列中.+!、,

(4)递推式为％i=p4+qn(p,q为常数)6(aj5・1,a1・2.3■

佛】已知⑺中,1,-j,Y)。木、.

胃解在的两边索以2F

=一2

2*(2工)+1,令b.=八a+P=P]a”3

f…卜…1

则%.小；如+L于是可将,=­

21

加一瓦,=；血一如)由上册的解法，得：2=3-2守然

在小♦5111tl.7aB两边感去j.得

4=争=乂》"・2(》・*i)(/•「/)

二(a..「是公比为・1,首项为a「a产1的等比数列.

会说明对于递推式、“=pa.+qL可两边除如3.得看=

q

•二、…如（•»f

2、错项相减法：适用于差比数列（如果｛4｝等差.｛4｝等比,那么｛a也｝

（6）递推式为与与&的关京式叫做差比数列）

即把好一项都乘以｛2｝的公比向后错项，再对应H次

此类型可陋

项和融，转化为等比数列求和.

【例7】设（、）前n项的和工=4・\・/・（。求ap与"的关系:

3、裂项相消法：即把包一项都拆成正负两项，使其正负抵涓,只余有第几

（2）试用n表示&。丁项，可求和.

适用于数列<」一1和广।一（其中｛%｝等差）

解（0由S「4・a「尸得

"・3JJ4+।,

可费项为：-）,

5M*「S“=（/—0*.|）+（尹—广）da„a„,

竟兀4向一向

1I

1

*22等差敷列前”项和的量值问题：

上式两边同乘以2"”得2"，.F2na.+2则（2'a.l是公箱为2的等差数列。

：

.2"a.=2*（n-1）-2=2n尸n1、苦等差数列｛《,｝的苜项4>0.公劳dvO.则前〃项和，，有最大做.

a50

（i）若已知通项4.则S.最大O,"人：

4.10

（ii）齐己知S.=p/+w.则当”取最靠近-&的#零自然数时£最

2P

数列求和的常用方法；大；

1、拆项分组法：即把何一项拆成几项.电新组合分成几组.转化为特殊数2.若等差数列｛q｝的苜项q<0,公差d>0,则前m项和S/i最小伯

列求和.

（i）若已知通顶见.购3最小'八：

1-0

⑵形如勺=丁片一^的递推数列都可以用倒数法求通项.

kJ+b

（ii）若已切S.="〃2+4〃，则当“取最靠近-4-的非零自然数时兄龈

2P（3）形如=a「的通排数列都可以用对数法求通

小；（7）（理科）数学归纳法

数列通项的求法：

⑴公式法：①等整数列通项公式：②等比数列通项公式.（»＞当遇到".“-a-=d或也•=〃时，分奇数项偶数项讨论.结果可

⑵已知Sn《叩q+的»••+%=〃"））求生，用作差法；4T

a_fSr（n=l）能是分段形式.

"”一区-5…（”22厂

数列求和的常用方法：

C1）公式法：①等差数列求和公式：②等比数列求和公式.

已知•0“=/（”）求a.•用作商法：。.=《/（〃），・.、？、•12＞分姐求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将••和式”中-网类项”

17（^）J用公dti市区卬外汁汁去糊

⑶倒序相加法；西和疝倒石尾距离相等的两用和有其共性或数列的通项。

⑶已知条件中设有还有时先求再求有时也可直接求生。

S”TTa“，S..4；阻仔数相关联.则常可考虑选用例序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是

（4）若=求a.用累加法：等差数列前〃和公式的推导方法）.

错位相成法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的

4=（4_%）+（%——»•.+（/一«!）（4

通项相乘构成.那么常选用错位相减法（这也是辱比数列前〃和公式的推导方

+《（”22＞。

法）,

⑸已知%£=”“）求外,用累乘法：耳=且_,也.…2q5N2）。（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项弟"的形式.[1相笠蹊分裂

4%*《后相关麻，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式由.：

।i；]=，一】■•②=X(A«

⑹已如递推美系求4,用构造法（构造等卷、等比数列）.M"+Dn〃+1n[n^k)kn

@….c

特别地，（1）形如%=“.=k*+N（人力为常政》的递-白

1111111

推数列都可以用待定系数法H化为公比为女的等比数列后，再求（：形

如a.=A”一+K的递推数列都可以除以K得到一个等差数列后•再求--------------------=—|----------------------------------]|&-----------=-----------------

“OJ+IMA+2)2m〃+1)(/»+1>(?»+2)(n+1)!”！(〃+1)!

@2(4+1-4n｝=i2<-J=<2=2(4-V/t-l)又S,=4,・・,{S}是等比数列，S.=4,

Vw+vw+1〃+B

1

二、解题方法:n22时，an=S„-Sn_j=........=3•4"

、登柒法

求数列通项公式的常用方法:4

1、公式法例如：数列｛aj中，a1=3,%=」：，求a.

a.n+1

2、由S“求用

(n=l时，a,=Sj.n>2^.a,=Sn-S,,.1)

3,求差(商)法

又ai=3./.aB=~

如；｛磊｝满足;a［+5a?+.......+=2m-5<I>n

5、等差型遏推公式

解：n=lilt.-^a=2x1+5..*.a=14

(t由a(,-a.।=f(n),a=a„,求/，用迭加法

一)

n*2时，；a|+*a?+.......+^yan-i=2n-l+5<2>n>2时，a2-3|=f(2)

;「⑶两边相加，得：

<I>—<2>?t?s=2

an-a(=f(2)+f(3)+........+f(n)

14<n=I)

•*.a„—1

2，“(nZ2).*.an=a0+f(2)+f(3)+.......+f(n)

［练习］［练习］

数列｛an｝满足Sn+Sn“=1an“，a1=4,求a.1

数列｛a.｝,a!-l.an-3*+a,_|(n>2),求a.

(a,=l(r-l))

(注意到其“=S.6-S.代入得：步=4

6,等比型递推公式

a“=ca11T+d(c、d为常数，c*()»c*I.d*0)

可转化为等比数列.iftaB+X=c(a..1+x)

为等差数列，—=L公差为:

=>an=caB.,*(c-l)xWa(2

令(c-l)x=d,x=—^―

c-I:.—=1+(□-1)•-=-(n+1)

.•,,0+白｝是首项为\+3］,(:为公比的等比数列

,.巴磊

2.数列求和问愚的方法

(IX应用公式法

等举、等比数列口J71接利用等差、等比数列的前n项和公式求和.另外记住以

［练习］卜公式对求和来说是有益的.

M2+3+……映/

数列｛aj满足如=9.3a.fcl+afl=4,求a.

1+3+5+……+(2n-l)=na

-+2、门,一+不=.2户2

7、倒数法6

1"+3*•…+«?・[岑如.

例如：a[=l.j•求九

【例例求教列1,《3+5〉，(7郎HD,<13+I5T7+19),…前e项的和.

解本理实际是求各奇数的和，在数列的前n项中,共分1+2-…F-1”("+I)

由己知得;

2u

«!•I个奇如

(4)、错位相减法

.,.li"；一个奇数为il“-n(n+DT]X2=n*nT

2如果一个数列是由一个等差敷外与一个等比数列对应项相乘构成的.可把和

因此所求数列的前n项的和为式的西端同乘以上面的等比敬列的公比，然后错位相而求和.

例11、求数列I,3x.5x=.(2n-Dxi前n项的和一

解设£=1+3+5、[+…+(2n-Dx1①

(2。\

4<2>x=O0t.S.=l.

(2)、分解传化法«3>当>工0且xHl时,在式①两边同乘以x得―x'+5-『1*,

对通项进行•分解、折台,转化为等差数列或等比数列求和.②

【例9]求和S=1•(n1-1>+2•<n-f)+3•(n:-3~)+…％<n:-n:)(3>②，得(l-x)S.=l+2x+2xi,+2x,+-+2x'r,-(2n-l)x\

解S=n?32+3+…n)-(l'+2”扑”・+«')

由公式知s.=1-口+须；7」•(&-】**]

■na•gn(n+1)(n+1),1-X1-X

241♦一—(Zn+Dx'+lZn。Dx^

■(F^P,

■(n+1)(n-0

(5)裂项法；

Cna-1)把通项公式整理成两项(式多项)差的形式，然后前后相消.

格见裂项方法：

⑶、倒序相加法

适用于给定式子中与苜末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒

着写的两个和式相加.然后求和-

例10、求和；S“=3C：+6c++3仁

例10、解SB=0.C；+3C；+6C；+—4-3WC；

又S.・3nC；*3(n-1)Cr+…+0C：

相加,且运用可得例12、求和---+-----+----+---------------

1-53.75・9(2«-lX2rt+3)

2S.・％(C；+C：+…+G),丸・2*

—.He1111

例3-------♦---------♦---------♦---------------------------------

1・53・75・9(2n-I)<2o+5)

:.S.=3n-2"

M1I'1】、

解、(2nT)(2»+3)彳兄丁寸才

2.方程思想

【例14】设等比数列瓜>前n项和为若"&=2工，求数列的公比q。

$•—[1—♦-------♦-------♦•••，--------------------+--------------------1分析木膻考直等比数列的基础知识及推理能力.

*41537592n-32n*l2n-l2nT

解：依题就可知q#l・

l.111,

r•・'如果q=l,则S产3a“S»=6aieS=9a”由此应推出eM与等比数列不

4LI32n72n*3」

必

n(4n»5)

Vq*l

*X2n*1X2n♦3)

.(14).小q，).一(卜丁)

注：在消项时一定注意消去了曜些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与

负项一样多.