2025届辽宁省大连市滨城高中联盟高三上学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省大连市滨城高中联盟2025届高三上学期期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数，则其共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】复数，所以复数的共轭复数，故复数在复平面内对应的点的坐标，在第四象限.故选：D．2.若且，则的最小值为（）A.2 B. C. D.4【答案】B【解析】因为，则，当，即，联立，得，时等号成立.所以的最小值为.故选：B3.圆台的上下底面半径分别为1和4，轴截面的两条对角线互相垂直，则这个圆台的体积是（）A. B.24π C. D.【答案】C【解析】如图，圆台的轴截面为，上下底面圆的圆心分别为，设与相交于点，因为为等腰梯形，且，，，则圆台的高，所以这个圆台的体积为.故选：C.4.下列选项中，p是q充要条件的是（）A.p：或，q：两条直线与平行B.p：直线与曲线有两个不同交点，C.在圆外部，D.p：直线与圆相离，【答案】B【解析】对于A，若两条直线与平行，所以，解得或，但是当时，两直线重合，所以，则p是q的必要不充分条件，故A错误；对于B，，可得，，所以，表示圆心为0,1，半径的圆的上半部分，如图所示：直线恒过点，一般式为，因为直线与曲线有两个不同的交点，所以圆心到直线的距离小于半径，即，解得，当时，左边圆上的端点为，此时斜率为，所以，所以p是q的充要条件，故B正确；对于C，圆半径，即，所以，因为在圆外部，所以，解得，综上，所以p是q的充分不必要条件，故C错误；对于D，圆化为标准式为：，圆心为0,1，半径为，若直线与圆相离，则圆心到直线的距离为，两边平方化简得，综上，所以p是q的充分不必要条件，故D错误；故选：B.5.，，则（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】因为，，所以，解得，，所以，所以，故选：C.6.函数，若在上有且只有四个零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，得.由于，所以.又因为在上有且只有四个零点，所以，解得.故选：A.7.已知圆，圆．若圆上存在点，过点作圆两条切线，切点为，，使得，则的取值范围（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，圆的半径为，圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，使得，则，在中，，又圆的半径等于，圆心坐标，，，，由，解得：，则的取值范围为.故选：D.8.直线是曲线和的公切线，则（）A. B. C.或 D.【答案】C【解析】对于，设切点为，求导得，则在该点处的斜率为，则切线方程为：，即，对于，设切点为，求导得，则在该点处的斜率为，则切线方程为：，即，因为是公切线，所以，即，所以，即，所以即或，解得或，当时，此时，，所以当时，此时，，所以，所以或，故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题中，正确的命题是（）A.若，则为等腰三角形B.若，则C.若，，则面积最大值为3D.，角B的平分线BD交AC边于D，且，则的最小值为12【答案】BCD【解析】对于A：若，根据正弦定理则，即，因为，所以或即或，所以为等腰三角形或直角三角形，A错误；对B，因为，则，，则根据正弦定理有，故B正确；对C，设，.则，，所以，当时，三角形的面积取得最大值，故C正确；对D，由题意可知，，由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，即，因此，当且仅当，即时取等号，即的最小值为，则D正确.故选：BCD.10.已知椭圆的左右两个焦点分别为、，左右两个顶点分别为、，P点是椭圆上任意一点（与不重合），，则下列命题中，正确的命题是（）A. B.的最大面积为C.存在点P，使得 D.的周长最大值是【答案】ABD【解析】对A，由题知，，则，设Px0,则，A正确；对B，易知当点为短轴端点时，的面积最大，最大值为，B正确；对C，，则，C错误；对D，由椭圆定义可知，，所以，又，所以，当三点共线，且在线段上时，等号成立，D正确.故选：ABD11.如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱BD，，的中点，N点在线段上运动，则下列说法正确的是（）A.平面B.三棱锥的体积不是定值C.三棱锥的外接球的表面积是D.当直线和所成角最小时，线段长为【答案】ACD【解析】对于A，取中点，连接，由于分别为棱BD的中点，所以有，且，又因为，且，所以，且，则四边形是平行四边行，即，又因为平面，平面，所以平面，故A正确；对于B，由于，平面，平面，所以平面，而N点在线段上运动，、则点N到平面的距离不变，而为的中点，所以三角形的面积是定值，即三棱锥的体积是定值，故B错误；对于C，由直角三角形的外接圆心是点，再取的中点为，则平面，即三棱锥的外接球的球心在上，所以设，由棱长为2的正方体可知，，，又因为，所以，解得：，即三棱锥的外接球的表面积为，故C正确；对于D，建立如图以为原点的空间直角坐标系，可知：，设点的坐标为，则，所以有令，则，因，所以，即则上式二次函数在递减，在递增，所以在有最小值，即，故上式有最大值，即，此时线和所成角最小，所以此时，则，故D正确；故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知椭圆和椭圆的离心率分别为和，若，则________．【答案】或.【解析】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，则，，，所以椭圆的离心率，又，所以，设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，则，所以，所以，当椭圆的焦点在轴上时，，所以，当椭圆的焦点在轴上时，，所以，所以或.故答案为：或.13.如图，在五棱锥中，底面ABCDE，，，，，，则平面与平面的夹角的余弦值为________．【答案】【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，因为，，所以,则，假设平面的一个法向量为，则，令，则，所以，假设平面的一个法向量为，则，令，则，所以，假设平面与平面的夹角为，则，故答案为：14.已知函数，若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值为________．【答案】【解析】设，则其定义域为，且，故为奇函数.而，且仅在时，所以为增函数.同时，不等式可化为，即.而是奇函数，故原不等式又等价于，再根据是增函数，知这等价于.当x>0时，这可化为，故条件即为对任意x∈0,+∞成立.①一方面，在条件中取x=1，即可得到，从而一定有；②另一方面，当时，我们证明对任意的，都有.首先，代入，然后两边同乘正数，可知该不等式等价于.设，则，故对有，对有.从而在上递减，在上递增，所以对均有.这就意味着，所以从而由即可得到.这就证明了不等式对恒成立，从而原条件一定满足.综合①②两方面，可知的最大值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数，中的三个内角，，的对边长分别为，，，．（1）求角的大小；（2）若为锐角三角形，，求周长的取值范围．解:（1），由，则，则，即，又B∈0,π，故；（2）由正弦定理可得，，则，由为锐角三角形，，则有，解得，则，由在上单调递增，故，，，故，故，即周长的取值范围为.16.如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，，E，F分别是SC，BD的中点．（1）求证：∥平面SAB；（2）求三棱锥的体积；（3）求直线AD与平面BED所成角的正弦值．解:（1）连接，因为ABCD是菱形，F是BD的中点，可知是的中点，且E是SC的中点，则∥，又因为平面SAB，平面SAB，所以∥平面SAB.（2）取的中点，连接，因为，则，又因为，，平面，所以平面，且平面，可知，且点为的中点，则，结合题意可知：，又因为，在中，可得，且，可知，由平面，平面，可知平面平面，且平面平面，过点作平面的垂线，垂足为，由面面垂直的性质可知，则，，所以三棱锥的体积.（3）以为坐标原点，分别为轴，平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，可得，设平面BED的法向量为，则，令，则，可得，则，所以直线AD与平面BED所成角的正弦值为.17.已知函数，恒有．（1）求实数a的值；（2）证明：对任意的，有．解:（1）由可得，当时，因为，所以，即，所以函数在上单调递增，当时，，，不满足恒成立，当时，令，即，解得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以在处取得最小值，，因为恒成立，所以，令，则，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以在处取得最大值，所以得解为.（2）由（1）可知，则，，，要证，即证，化简右边可得，则只需证，进一步化简得，化简可得，因为，所以，则成立.18.已知椭圆C的两个焦点，，过点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，的周长等于16.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过点的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线，的斜率分别为，.（i）求证：为定值；（ii）求面积的最大值.解:（1）由题意可得椭圆焦点在x轴上，且，所以椭圆的方程为.（2）（i）证明：由题意可知直线斜率存在，当直线斜率为0时，显然，所以；当直线斜率不为0时，设直线方程为，联立，则，设Ax1,所以，因为，所以.综上，为定值0.（ii）由（i）可得，所以，所以，当且仅当即时等号成立，所以面积的最大值为.19.新定义：在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是一个函数图象，即对于，直线与函数的图象至多有一个交点，则称为“旋转函数”．（1）判断函数是否为“旋转函数”并说明理由；（2）判断函数是否为“旋转函数”并说明理由；（3）已知函数是“旋转函数”，求的最大值．解:（1）函数不是“旋转函数”，理由如下：如果是“旋转函数”，即和最多一个交点，显然，当时，两条直线重合，有无数个交点，与“旋转函数”的定义矛盾，所以：不是“旋转函数”.（2）由题意可知,与函数的图象最多1个交点才能是“旋转函数”.设,.由得,由得,即在单调递减,在单调递增.其中,当时,和有两个交点，所以不是“旋转函数”（3）由题意,与最多一个交点,其中,即与图象最多一个交点，所以在上是单调函数，，，因为，所以，所以在上恒成立,,所以，即解得,即的最大值为.由于，则在上不可能恒成立，此时在上不是单调函数，则不是“旋转函数”，不满足题意.综上：的最大值为.辽宁省大连市滨城高中联盟2025届高三上学期期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数，则其共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】复数，所以复数的共轭复数，故复数在复平面内对应的点的坐标，在第四象限.故选：D．2.若且，则的最小值为（）A.2 B. C. D.4【答案】B【解析】因为，则，当，即，联立，得，时等号成立.所以的最小值为.故选：B3.圆台的上下底面半径分别为1和4，轴截面的两条对角线互相垂直，则这个圆台的体积是（）A. B.24π C. D.【答案】C【解析】如图，圆台的轴截面为，上下底面圆的圆心分别为，设与相交于点，因为为等腰梯形，且，，，则圆台的高，所以这个圆台的体积为.故选：C.4.下列选项中，p是q充要条件的是（）A.p：或，q：两条直线与平行B.p：直线与曲线有两个不同交点，C.在圆外部，D.p：直线与圆相离，【答案】B【解析】对于A，若两条直线与平行，所以，解得或，但是当时，两直线重合，所以，则p是q的必要不充分条件，故A错误；对于B，，可得，，所以，表示圆心为0,1，半径的圆的上半部分，如图所示：直线恒过点，一般式为，因为直线与曲线有两个不同的交点，所以圆心到直线的距离小于半径，即，解得，当时，左边圆上的端点为，此时斜率为，所以，所以p是q的充要条件，故B正确；对于C，圆半径，即，所以，因为在圆外部，所以，解得，综上，所以p是q的充分不必要条件，故C错误；对于D，圆化为标准式为：，圆心为0,1，半径为，若直线与圆相离，则圆心到直线的距离为，两边平方化简得，综上，所以p是q的充分不必要条件，故D错误；故选：B.5.，，则（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】因为，，所以，解得，，所以，所以，故选：C.6.函数，若在上有且只有四个零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，得.由于，所以.又因为在上有且只有四个零点，所以，解得.故选：A.7.已知圆，圆．若圆上存在点，过点作圆两条切线，切点为，，使得，则的取值范围（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，圆的半径为，圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，使得，则，在中，，又圆的半径等于，圆心坐标，，，，由，解得：，则的取值范围为.故选：D.8.直线是曲线和的公切线，则（）A. B. C.或 D.【答案】C【解析】对于，设切点为，求导得，则在该点处的斜率为，则切线方程为：，即，对于，设切点为，求导得，则在该点处的斜率为，则切线方程为：，即，因为是公切线，所以，即，所以，即，所以即或，解得或，当时，此时，，所以当时，此时，，所以，所以或，故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题中，正确的命题是（）A.若，则为等腰三角形B.若，则C.若，，则面积最大值为3D.，角B的平分线BD交AC边于D，且，则的最小值为12【答案】BCD【解析】对于A：若，根据正弦定理则，即，因为，所以或即或，所以为等腰三角形或直角三角形，A错误；对B，因为，则，，则根据正弦定理有，故B正确；对C，设，.则，，所以，当时，三角形的面积取得最大值，故C正确；对D，由题意可知，，由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，即，因此，当且仅当，即时取等号，即的最小值为，则D正确.故选：BCD.10.已知椭圆的左右两个焦点分别为、，左右两个顶点分别为、，P点是椭圆上任意一点（与不重合），，则下列命题中，正确的命题是（）A. B.的最大面积为C.存在点P，使得 D.的周长最大值是【答案】ABD【解析】对A，由题知，，则，设Px0,则，A正确；对B，易知当点为短轴端点时，的面积最大，最大值为，B正确；对C，，则，C错误；对D，由椭圆定义可知，，所以，又，所以，当三点共线，且在线段上时，等号成立，D正确.故选：ABD11.如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱BD，，的中点，N点在线段上运动，则下列说法正确的是（）A.平面B.三棱锥的体积不是定值C.三棱锥的外接球的表面积是D.当直线和所成角最小时，线段长为【答案】ACD【解析】对于A，取中点，连接，由于分别为棱BD的中点，所以有，且，又因为，且，所以，且，则四边形是平行四边行，即，又因为平面，平面，所以平面，故A正确；对于B，由于，平面，平面，所以平面，而N点在线段上运动，、则点N到平面的距离不变，而为的中点，所以三角形的面积是定值，即三棱锥的体积是定值，故B错误；对于C，由直角三角形的外接圆心是点，再取的中点为，则平面，即三棱锥的外接球的球心在上，所以设，由棱长为2的正方体可知，，，又因为，所以，解得：，即三棱锥的外接球的表面积为，故C正确；对于D，建立如图以为原点的空间直角坐标系，可知：，设点的坐标为，则，所以有令，则，因，所以，即则上式二次函数在递减，在递增，所以在有最小值，即，故上式有最大值，即，此时线和所成角最小，所以此时，则，故D正确；故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知椭圆和椭圆的离心率分别为和，若，则________．【答案】或.【解析】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，则，，，所以椭圆的离心率，又，所以，设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，则，所以，所以，当椭圆的焦点在轴上时，，所以，当椭圆的焦点在轴上时，，所以，所以或.故答案为：或.13.如图，在五棱锥中，底面ABCDE，，，，，，则平面与平面的夹角的余弦值为________．【答案】【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，因为，，所以,则，假设平面的一个法向量为，则，令，则，所以，假设平面的一个法向量为，则，令，则，所以，假设平面与平面的夹角为，则，故答案为：14.已知函数，若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值为________．【答案】【解析】设，则其定义域为，且，故为奇函数.而，且仅在时，所以为增函数.同时，不等式可化为，即.而是奇函数，故原不等式又等价于，再根据是增函数，知这等价于.当x>0时，这可化为，故条件即为对任意x∈0,+∞成立.①一方面，在条件中取x=1，即可得到，从而一定有；②另一方面，当时，我们证明对任意的，都有.首先，代入，然后两边同乘正数，可知该不等式等价于.设，则，故对有，对有.从而在上递减，在上递增，所以对均有.这就意味着，所以从而由即可得到.这就证明了不等式对恒成立，从而原条件一定满足.综合①②两方面，可知的最大值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数，中的三个内角，，的对边长分别为，，，．（1）求角的大小；（2）若为锐角三角形，，求周长的取值范围．解:（1），由，则，则，即，又B∈0,π，故；（2）由正弦定理可得，，则，由为锐角三角形，，则有，解得，则，由在上单调递增，故，，，故，故，即周长的取值范围为.16.如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，，E，F分别是SC，BD的中点．（1）求证：∥平面SAB；（2）求三棱锥的体积；（3）求直线AD与平面BED所成角的正弦值．解:（1）连接，因为ABCD是菱形，F是BD的中点，可知是的中点，且E是SC的中点，则∥，又因为平面SAB，平面SAB，所以∥平面SAB.（2）取的中点，连接，因为，则，又因为，，平面，所以平面，且平面，可知，且点为的中点，则，结合题意可知：，又因为，在中，可得，且，可知，由平面，平面，可知平面平面，且平面平面，过点作平面的垂线，垂足为，由面面垂直的性质可知，则，，所以三棱锥的体积.（3）以为坐标原点，分别为轴，平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，可得，设平面BED的法向量为，则，令，则，可得，则，所以直线AD与平面BED所成角的正弦值为.17.已知函数，恒有．（1）求实数a的值；（2）证明：对任意的，有．解: