2025届江西省景德镇市高三第一次质检数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江西省景德镇市2025届高三第一次质检数学试题第I卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，，所以．故选：D．2.已知（为虚数单位），则在复平面内对应的点在第（）象限A.一 B.二 C.三 D.四【答案】D【解析】，∴对应的点为在第四象限.故选:D3.已知，，则的值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】因为，，所以，则．故选：B．4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以.故选：C.5.过点且与曲线相切的直线方程是（）A. B.C D.【答案】A【解析】，点不在曲线上，设切点为，则，解得：，得切点，则切线方程为：，故选：．6.函数的零点个数是（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】令，则有，要求函数的零点个数，即求与图象的交点个数，作出两函数的图象，如图所示：由此可得函数与图象有6个交点，所以函数的零点个数为6.故选：B．7.函数的定义域为，是奇函数，当时，则的解集是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】∵f2x+1∴，即关于1,0点对称．又函数的定义域为，故f1=0．当时，令，即，解得．根据对称性可知当时，．综上所述，的解集是．故选：B．8.甲烷是最简单的有机化合物，其分子式为，它是由四个氢原子和一个碳原子构成，甲烷在自然界分布很广，是天然气、沼气、煤矿坑道气及可燃冰的主要成分之一.甲烷分子是正四面体空间构型，如图，四个氢原子分别位于正四面体的顶点处，碳原子位于正四面体的中心处.若正四面体的棱长为1，则平面和平面位于正四面体内部的交线长度为（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】如图所示，分别取的中点，连结E，F，则由正四面体的性质，EF过正四面体的中心O，所以平面即平面，平面即平面，又因为平面，平面，所以平面和平面位于正四面体内部的交线为线段，又因为正四面体的棱长为1，则由勾股定理可得，所以在等腰三角形FAB中：．故选：A．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.函数为偶函数,且最小正周期为4B.若,,则往方向上的投影长为C.是抛物线上一点,,则的最小值为1D.已知两直线与,则“”是“,互相平行”的充分不必要条件【答案】BC【解析】对于A,∵,定义域为,,显然是奇函数,故A错误；对于B,往方向上的投影长为,故B正确；对于C,设Px0,y∴,即的最小值为,故C正确；对于D,∵互相平行,∴,解得或,经检验时两直线重合，∴“”为“互相平行”的充要条件,故D错误．故选:BC．10.在高三一次大型联考中，物理方向共有35万人参加，其中男生有20万人.现为了了解该次考试的数学成绩，用分层随机抽样的方法从中抽取350人，其中名男生的数学平均成绩为77分，名女生的数学平均成绩为70分.已知35万人的数学成绩，近似为样本均值，则下列正确的是（）参考数据：若，则，，A.B.总体是35万人C.样本均值73.5D.估计该次联考中物理方向数学成绩低于66分的约有7980人【答案】AD【解析】由分层随机抽样的特征可知：，故A正确；总体是35万考生的数学成绩，故B错误；根据分层随机抽样的均值知样本均值，故C错误；∵，，，∴小于66分的人数约为人，故D正确．故选：AD．11.已知，分别为双曲线的左、右顶点，离心率为，为双曲线上位于第一象限内任意一点，设，，的面积为，则下列说法正确的是（）A.的值随着的增大而减小B.是定值C.D.若，则【答案】ABD【解析】双曲线的左顶点为，右顶点为，渐近线为，在中，由正弦定理可知，显然均为锐角且随着的增大分别减小与增大，即随着的增大分别减小与增大且均为正数，∴的值随着的增大而减小，故A正确；因为，由于，∴，∴为定值，故B正确；因为，而，∴，故C错误；因为，，∴，又，∴，解得，则，又，∴，故D正确．故选：ABD．第II卷（非选择题）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知公比不为1的等比数列，且，，成等差，则________.【答案】【解析】由题知：∵成等差，∴，又是公比不为1的等比数列，∴，∴，．故答案为：．13.已知与，若存在实数的值使得两圆仅有一条公切线，则的最小值为________.【答案】【解析】因为，∴，半径为，因为，∴，半径为，若两圆仅有一条公切线，即两圆相内切，∴，由于，故，解得，即的最小值为，故答案为：.14.甲口袋装有1个黑球和2个白球，乙口袋装有2个黑球和1个白球，这些球除颜色外完全相同.第一步，从甲口袋中随机取一个球放入乙口袋；第二步，从乙口袋中随机取一个球放入甲口袋；第三步，从甲口袋中随机取出一个球并记录颜色.在第三步取出的是黑球的条件下，第一步从甲口袋中取的球是黑色的概率是________.【答案】【解析】第一次给出黑球且第二次给出黑球且第三次给出黑球的概率为，第一次给出黑球且第二次给出白球且第三次给出黑球的概率为，第一次给出白球且第二次给出黑球且第三次给出黑球的概率为，第一次给出白球且第二次给出白球且第三次给出黑球的概率为，∴在第三步取出的是黑球的条件下，第一步从甲口袋中取的球是黑色的概率．故答案为:．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）求函数的单调递减区间和对称中心；（2）在中，角，，所对的边分别是，，，若，且，求.解：（1），令，解得：，该函数的单调递减区间为：，令，解得，∴函数的对称中心坐标为，其中；（2）∵，∴，∵，∴，故，∴，∵，且，，∴，解得：，由余弦定理可知，．16.如图四棱锥，底面是边长为1的正方形，平面平面，，.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.（1）证明：取中点，连接，∵，故．∵平面平面，平面，∴平面，而平面，∴．又∵，，平面．∴平面．（2）解：由（1）可知，又，，平面，∴平面．如图以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系．∴，,设平面的法向量n1=则，令，得．设平面的法向量n1=则，令，得n2=0,1,1∴∵二面角钝角，∴二面角的余弦值为.17.已知为坐标原点，椭圆，是上一点，离心率.（1）求的方程；（2）斜率为的直线交于，两点，在以为直径的圆上，求的最大值.解：（1）由题意，解得，∴椭圆的方程为．（2）设直线为，设Ax1,y1,Bx联立，根据韦达定理可知，其中．∴，．∴，∴，令，∴，等号当且仅当，即时取到，满足∴，即的最大值为．18.已知函数，其中.（1）已知,若在定义域内单调递增,求的最小值；（2）求证：存在常数使得,并求出的值；（3）在（2）的条件下,若方程存在三个根,,,且,求的取值范围.解：（1）的定义域为,依题意可知当时,恒成立，即,因为,当且仅当,即时等号成立,故,解得,即的最小值为．（2），∵，∴，解得．所以存在常数使得，此时．（3）构造函数，则方程存在三个根,即函数函数存在三个零点．∵,∴．令,得,于是为的一个零点．若存在零点,且,由可知必存在相应的零点，且．∴必在上存在唯一零点．若恒成立,即成立,解得，此时在上单调递增，无零点；若,则,令,则,∴在上单调递增,故在上存在零点,当时,,单调递减,当x∈x0,+∞时,,单调递增．∵,即，解得，∴，即．综上所述，的取值范围是．19.第一组数据，其中，第二组数据，这个数互不相等，，分别为其中最大与第二大的数.先从第二组数据中剔除一个数（剩余数相对位置保持不变）得到一组新数据，若将该组数据中相邻两数对换位置称为一次对换，经过至少次对换得到最终数据，简记.若用直线拟合点列，相关系数.（1）第一组数据，第二组数据，若剔除10，经过后得到拟合最佳；若剔除8，经过得到最佳.求的值；（2）在一组互不相等的数的排列中，定义在的右边比其小的数的个数称为的逆序数.已知，的逆序数分别为，，剩余各数按相对顺序从大到小排列.若经过后将这个数从小到大顺序排列，求的所有可能取值；（3）若剔除后经过至少次对换后得到拟合效果最佳，相关系数为.剔除后经过至少次对换后得到拟合效果最佳，相关系数为.若，求证：为定值，并求出该定值.解：（1）第一次对换：，∴．第二次对换：，∴．故．（2）∵的逆序数为，∴必为这个数中的最大数．的逆序数为，则可能是这个数中第二大或者第三大的数．若是第二大的数，先将对换到末位需要次对换，再将对换到倒数第二位需要次对换，而后将其余各数对换到相应位置分别需要次对换，则；若是第三大的数，则只能是第二大的数，同理需要对换次，需要对换次，需要对换次，…，∴．综上所述，或．（3）先证明排序不等式，不妨假设，是的一个排列，，不妨假设，则，于是成立的充要条件为，于是经过若干次对换后得：．假设经过若干次对换后得到，其中，则．∵，其中与均为正常数，要使得拟合效果最佳，则．∵，不妨假设，则．设的所有逆序数之和为，反之，正序数之和为，由于这个数互不相等，则．∵剔除后要使得拟合效果最佳且，即尽可能大，则应将按从小到大的顺序排列．将中数按大数优先对换的原则，则将该组数按从小到大的顺序排列共需次对换，再将排最前面有次对换，故．∵剔除后要使得拟合效果最佳且，即尽可能小，则应将按从大到小的顺序排列．而中的数按小数优先对换的原则，则将该组数按从大到小的顺序排列共需要次对换，位置不变，故．∴．若，同理可得．综上所述，为定值．江西省景德镇市2025届高三第一次质检数学试题第I卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，，所以．故选：D．2.已知（为虚数单位），则在复平面内对应的点在第（）象限A.一 B.二 C.三 D.四【答案】D【解析】，∴对应的点为在第四象限.故选:D3.已知，，则的值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】因为，，所以，则．故选：B．4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以.故选：C.5.过点且与曲线相切的直线方程是（）A. B.C D.【答案】A【解析】，点不在曲线上，设切点为，则，解得：，得切点，则切线方程为：，故选：．6.函数的零点个数是（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】令，则有，要求函数的零点个数，即求与图象的交点个数，作出两函数的图象，如图所示：由此可得函数与图象有6个交点，所以函数的零点个数为6.故选：B．7.函数的定义域为，是奇函数，当时，则的解集是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】∵f2x+1∴，即关于1,0点对称．又函数的定义域为，故f1=0．当时，令，即，解得．根据对称性可知当时，．综上所述，的解集是．故选：B．8.甲烷是最简单的有机化合物，其分子式为，它是由四个氢原子和一个碳原子构成，甲烷在自然界分布很广，是天然气、沼气、煤矿坑道气及可燃冰的主要成分之一.甲烷分子是正四面体空间构型，如图，四个氢原子分别位于正四面体的顶点处，碳原子位于正四面体的中心处.若正四面体的棱长为1，则平面和平面位于正四面体内部的交线长度为（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】如图所示，分别取的中点，连结E，F，则由正四面体的性质，EF过正四面体的中心O，所以平面即平面，平面即平面，又因为平面，平面，所以平面和平面位于正四面体内部的交线为线段，又因为正四面体的棱长为1，则由勾股定理可得，所以在等腰三角形FAB中：．故选：A．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.函数为偶函数,且最小正周期为4B.若,,则往方向上的投影长为C.是抛物线上一点,,则的最小值为1D.已知两直线与,则“”是“,互相平行”的充分不必要条件【答案】BC【解析】对于A,∵,定义域为,,显然是奇函数,故A错误；对于B,往方向上的投影长为,故B正确；对于C,设Px0,y∴,即的最小值为,故C正确；对于D,∵互相平行,∴,解得或,经检验时两直线重合，∴“”为“互相平行”的充要条件,故D错误．故选:BC．10.在高三一次大型联考中，物理方向共有35万人参加，其中男生有20万人.现为了了解该次考试的数学成绩，用分层随机抽样的方法从中抽取350人，其中名男生的数学平均成绩为77分，名女生的数学平均成绩为70分.已知35万人的数学成绩，近似为样本均值，则下列正确的是（）参考数据：若，则，，A.B.总体是35万人C.样本均值73.5D.估计该次联考中物理方向数学成绩低于66分的约有7980人【答案】AD【解析】由分层随机抽样的特征可知：，故A正确；总体是35万考生的数学成绩，故B错误；根据分层随机抽样的均值知样本均值，故C错误；∵，，，∴小于66分的人数约为人，故D正确．故选：AD．11.已知，分别为双曲线的左、右顶点，离心率为，为双曲线上位于第一象限内任意一点，设，，的面积为，则下列说法正确的是（）A.的值随着的增大而减小B.是定值C.D.若，则【答案】ABD【解析】双曲线的左顶点为，右顶点为，渐近线为，在中，由正弦定理可知，显然均为锐角且随着的增大分别减小与增大，即随着的增大分别减小与增大且均为正数，∴的值随着的增大而减小，故A正确；因为，由于，∴，∴为定值，故B正确；因为，而，∴，故C错误；因为，，∴，又，∴，解得，则，又，∴，故D正确．故选：ABD．第II卷（非选择题）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知公比不为1的等比数列，且，，成等差，则________.【答案】【解析】由题知：∵成等差，∴，又是公比不为1的等比数列，∴，∴，．故答案为：．13.已知与，若存在实数的值使得两圆仅有一条公切线，则的最小值为________.【答案】【解析】因为，∴，半径为，因为，∴，半径为，若两圆仅有一条公切线，即两圆相内切，∴，由于，故，解得，即的最小值为，故答案为：.14.甲口袋装有1个黑球和2个白球，乙口袋装有2个黑球和1个白球，这些球除颜色外完全相同.第一步，从甲口袋中随机取一个球放入乙口袋；第二步，从乙口袋中随机取一个球放入甲口袋；第三步，从甲口袋中随机取出一个球并记录颜色.在第三步取出的是黑球的条件下，第一步从甲口袋中取的球是黑色的概率是________.【答案】【解析】第一次给出黑球且第二次给出黑球且第三次给出黑球的概率为，第一次给出黑球且第二次给出白球且第三次给出黑球的概率为，第一次给出白球且第二次给出黑球且第三次给出黑球的概率为，第一次给出白球且第二次给出白球且第三次给出黑球的概率为，∴在第三步取出的是黑球的条件下，第一步从甲口袋中取的球是黑色的概率．故答案为:．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）求函数的单调递减区间和对称中心；（2）在中，角，，所对的边分别是，，，若，且，求.解：（1），令，解得：，该函数的单调递减区间为：，令，解得，∴函数的对称中心坐标为，其中；（2）∵，∴，∵，∴，故，∴，∵，且，，∴，解得：，由余弦定理可知，．16.如图四棱锥，底面是边长为1的正方形，平面平面，，.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.（1）证明：取中点，连接，∵，故．∵平面平面，平面，∴平面，而平面，∴．又∵，，平面．∴平面．（2）解：由（1）可知，又，，平面，∴平面．如图以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系．∴，,设平面的法向量n1=则，令，得．设平面的法向量n1=则，令，得n2=0,1,1∴∵二面角钝角，∴二面角的余弦值为.17.已知为坐标原点，椭圆，是上一点，离心率.（1）求的方程；（2）斜率为的直线交于，两点，在以为直径的圆上，求的最大值.解：（1）由题意，解得，∴椭圆的方程为．（2）设直线为，设Ax1,y1,Bx联立，根据韦达定理可知，其中．∴，．∴，∴，令，∴，等号当且仅当，即时取到，满足∴，即的最大值为．18.已知函数，其中.（1）已知,若在定义域内单调递增,求的最小值；（2）求证：存在常数使得,并求出的值；（3）在（2）的条件下,若方程存在三个根,,,且,求的取值范围.解：（1）的定义域为,依题意可知当时,恒成立，即,因为,当且仅当,即时等号成立,故,解得,即的最小值为．（2），∵，∴，解得．所以存在常数使得，此时．（3）构造函数，则方程存在三个根,即函数函数存在三个零点．∵,∴．令,得,于是为的一个零点．若存在零点,且,由可知必存在相应的零点，且．∴必在上存在唯一零点．若恒成立,即成立,解得，此时在上单调递增，无零点；若,则,令,则,∴在上单调递增,故在上存在零点,当时,,单调递减,当x∈x0,+∞时,,单调递增．∵,即，解得，∴，即．综上所述，的取值范围是．19.第一组数据，其中，第二组数据，这个数互不相等，，分别为其中最