湖北省名校教研联盟2023-2024学年高三下学期4月联考数学试题（新高考卷）

湖北省名校教研联盟2023-2024学年高三下学期4月联考数学试题（新高考卷）姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某演讲比赛8位参赛选手的最终得分分别为92，88，95，93，90，97，94，96，其中位数为（）A．91.5 B．93 C．93.5 D．942．已知集合M={−1,0,1,A．{2，3} B．{1，2，3} C．{−1,0} 3．设z=12−i，则A．25+i5 B．25−4．圆心为（2，1），且与直线x−2y+5=0相切的圆在x轴上的弦长为（）A．2 B．4 C．5 D．25．若底面半径为r，母线长为l的圆锥的表面积与直径也为l的球的表面积相等，则rlA．3−1 B．3−12 C．56．在△ABC中，tanA=52，AB=3，AC=4，则点AA．453 B．52 C．27．定义域均为R的函数f(x)，g(x)满足f(x)=g(x−1)，且f(x−1)=g(2−x)，则（）A．f(x)是奇函数 B．f(x)是偶函数C．g(x)是奇函数 D．g(x)是偶函数8．在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q，R分别为线段A．26 B．42 C．3二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．某次数学考试满分150分，记X，Y分别表示甲、乙两班学生在这次考试中的成绩，且X~N(90,A．甲班的平均分低于乙班的平均分B．甲班的极差大于乙班的极差C．成绩在[100，110]的人数占比乙班更高D．成绩在[90，100]的人数占比甲班更高10．设sin52°=tA．cos16°=1−2t2C．tan38°=1−t11．已知O为坐标原点，双曲线C：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的左顶点为A，右焦点为F，过A且平行于y轴的直线与C的一条渐近线交于点B，过B且平行于xA．|OD|2|OA|⋅|OF| C．|AD|2|BD|2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知向量a=(1,−1)，b=(213．已知抛物线C1：y2=2x，C2：y2=−4x的焦点分别为F1，F2，一条平行于x轴的直线与C1，C2分别交于点14．已知函数f(x)=2x3−3x2+3．设k为正数，对于任意x，若|f(x)|，四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．已知椭圆C：x2a2+y（1）求C的方程；（2）设过C的左焦点且斜率为2的直线与C交于M，N两点，求△PMN的面积．16．如图，四棱锥P−ABCD的底面是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB，E为PB的中点．（1）证明：DE⊥平面PAC；（2）若F为AB的中点，求二面角B−CE−F的大小．17．某商场为回馈顾客举行抽奖活动，顾客一次消费超过一定金额即可参加抽奖．抽奖箱里放有n(n=5,（1）当n=10时，记X为一次抽奖抽到“中奖”小球的个数，求X的分布列与期望；（2）商场规定参加抽奖的顾客一次抽奖只要抽到一个“中奖”小球即视为中奖，若使中奖概率不低于25%，求n的最大值．18．对于数列{an}，{bn}及常数p，若满足an+1=b（1）若{an}对{bn}关于0耦合，且（2）若{an}对{bn}关于1耦合，且（3）若存在p1，p2，使得{an}对{bn}关于p1耦合，且{19．“对称性”是一个广义的概念，包含“几何对称性”、“置换对称性”等范畴，是数学之美的重要体现．假定以下各点均在第一象限，各函数的定义域均为(0,+∞)．设点P(x1,y1)，P*(y1,x1)，Q(x2,y2)，规定‖P‖=x12+y12，且对于运算“⊗”，P⊗Q表示坐标为(x1x2（1）若点M(1,2)，‖N‖=5，且N~M，求（2）证明：若θ*(x)为θ(x)的镜像函数，A(x（3）已知函数f(x)=ex+x2−1，f*(x)为证明：f(‖R

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：把数据按从小到大的顺序排列可得：88，90，92，93，94，95，96，97，中位数是93+942故答案为：C.【分析】先将数据从小到大的顺序排列，再按照中位数的定义进行求解可求出中位数.2．【答案】D【解析】【解答】解：因为N={x|x>1}，所以∁R因为M={−1,所以M∩(∁故答案为：D.【分析】本题考查集合的补集，集合的交集运算.先根据集合补集的定义求出∁R3．【答案】B【解析】【解答】解：z=12−i=故答案为：B.【分析】本题考查复数的除法运算，共轭复数的定义.先利用复数的除法运算先求出复数z，再利用共轭复数的概念可求出z.4．【答案】B【解析】【解答】解：圆心(2,1)到直线x−2y+5=0的距离为|2−2+5|1所以圆的方程为(x−2)2令y=0，则x=0或4，故圆在x轴上的弦长为4，故答案为：B.【分析】圆心到直线的距离为圆的半径，利用点到直线的距离公式求出圆的半径，据此可写出圆的标准方程，令y=0，求出x，进而可求出圆在x轴上的弦长.5．【答案】D【解析】【解答】解：圆锥的表面积为πrl+πr2，球的表面积为故πrl+πr2=πl2故答案为：D.【分析】先利用圆锥表面积公式和球的表面公式可列出方程πrl+πr2=π6．【答案】A【解析】【解答】解：在△ABC中，由tanA=52，所以sin2由余弦定理有BC2=A设点A到边BC的距离为d，由三角形面积公式得：12sinA⋅AB⋅AC=故答案为：A.【分析】已知tanA=52，利用同角三角函数的基本关系可求出sinA,cosA，再利用余弦定理可求出BC，设点A到边7．【答案】D【解析】【解答】解：因为f(x−1)=g(2−x)，所以f(−x+1−1)=g(2−(−x+1))，即f(−x)=g(1+x)=g(x+2−1)=f(x+2)，所以f(x)关于直线x=1对称，因为f(x)=g(x−1)，所以g(x)关于x=0对称，即g(x)为偶函数.故答案为：D【分析】根据题意两个函数关系式可推出f(−x)=f(x+2)，据此可得f(x)关于直线x=1对称，进而推出g(x)关于x=0对称，可判断g(x)的奇偶性.8．【答案】A【解析】【解答】解：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，在平面CDD1C设RE=x(0≤x≤2)，显然RE⊥DE四边形CERF为矩形，于是RF=CE=2−x,由RE//CC1，得RE⊥平面ABCD，由RF//则PR=RE2+EP2=x2+EP而EP=DEsinπ4同理QR=RF2+FQ2，当RF=2−x确定后，FQ最小，而FQ=CF⋅sinπ4因此PR+3QR=62x+3求导得f'(x)=当0≤x<1时，f'(x)<0，当1<x≤2时，f'(则f(x)min=f故答案为：A【分析】过R作RE⊥CD于E，作RF⊥CC1于F，利用直线与平面垂直的判定可证明RF⊥平面BCC1B1，设RE=x，利用勾股定理可得：PR=x2+EP2，当x确定后，EP最小时，PR最小，进而推出PR=62x；利用勾股定理可得：QR=RF2+FQ9．【答案】A,C【解析】【解答】解：A，甲班的平均分为90分，乙班的平均分为100分，甲班平均分低于乙班，A正确；B，甲班的方差大于乙班，但不能认为甲班的极差一定大于乙班，B错误；C和D，甲班的平均分为90分，乙班的平均分为100分，且乙班方差小，成绩分布更集中，故甲班成绩在区间[90,100]的人数占比低于乙班，且低于乙班成绩在区间故答案为：AC.【分析】先根据题意中的正态分布求出甲班和乙班的平均分，据此可判断A选项；再求出方差，根据方差越小，数据越集中，据此可判断C和D选项；根据极差的定义，据此可判断B选项.10．【答案】B,C【解析】【解答】解：A，cos76°=cosB，sin104°=2sin52°cos52°=2t1−C，tan38°=sinD，sin64°=cos26°，1−1−若cos26°=sin226°故答案为：BC.【分析】根据三角函数的诱导公式可得：cos76°=−cos104°=-−cos(2×52°)，利用二倍角的余弦公式进行展开计算，可判断A选项；sin104°=sin(2×52°)，利用二倍角的正弦公式进行展开计算，可判断B选项；利用同角三角函数的基本关系和诱导公式化简可得：tan38°=cos52°sin52°，代入数据进行计算可判断C选项；利用三角函数的诱导公式可得：sin64°=cos26°，又11．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：A.设C的半焦距为c，离心率为e，则有A(−a,0)，渐近线方程为y=±bax，令x=−a不妨设B(−a,b)，当AD⊥DF时，故∠DAO+∠ADO=∠ODF+∠ADO=90°，即∠DAO=∠ODF，故△ADO∽△DFO，所以|OD||FO|可知|OD|2=|OA|⋅|OF|，B和C，因为△ADO∽△AFD，所以|AD||AF|故|AD|2因为△FOD∽△FDA，所以|FD||AF|=|FO|则|DF|2|AD|2D，|AD|2=a2+b2故c2+b2+即e2−e−1=0，解得故答案为：BCD【分析】利用三角形相似可推出|OD||FO|=|AO||OD|，据此可求出|OD|2|OA|⋅|OF|=1，判断A选项.由△ADO∽△AFD和△FOD∽△FDA利用相似三角形的性质可推出|AD|2=|OA|⋅|AF|，|FD|12．【答案】1【解析】【解答】解：因为a=(1,−1)，b所以a⋅(故答案为：1.【分析】先求出a→13．【答案】3【解析】【解答】解：设A(x1,y1)，B(x又由抛物线的定义可知|AF1|=当|AF1|=|BF2|时，x1所以|F1F故四边形ABF2F故答案为：32【分析】根据题意可得推出：yA=yB，利用抛物线的焦半径公式，可求出xA14．【答案】(【解析】【解答】解：由题意可知，函数f(x)导函数为f'令f'(x)>0令f'(x所以函数f(x)在(−∞,0)所以f(x)的极大值为f(0)=3函数|f(x)|的图象如图②所示，令|f(x所以当x<−1或−12<x<2或x>2当−1<x<−12时，所以−1≤x≤−12或x=2时，因为k为正数，且|f(x)|向左平移如图③所示，当k=12时，|f(x+k即|f(x所以|f(x)|向左平移k≥1所以k的取值范围为：k≥1故答案为：[1【分析】先求出导函数f'(x)，令f'(x)>0，和f'(x)15．【答案】（1）解：设C的半焦距为c，则ca故b2将P(1,−233)代入C的方程有1a所以C的方程为x2（2）解：由（1）可知C的左焦点为(−1,故过左焦点且斜率为2的直线为l：y=2将l与C的方程联立x23+设M(x1,y1)，故|MN|=3且P到l的距离d=|所以△PMN的面积为|MN|⋅d2【解析】【分析】（1）根据离心率公式可得ca=33，将点坐标代入椭圆方程，再根据椭圆的关系式，可列出方程组，解方程组可求出（2）依题意求出过C的左焦点且斜率为2的直线方程，将直线方程与椭圆方程进行联立，利用弦长公式可求出弦长|MN|，设P到l的距离为d，利用三角形的面积公式可得S△PMN16．【答案】（1）解：方法1：如图，连接BD，交AC于点G，因为ABCD是正方形，故BD⊥AC，又因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，故PD⊥AC，由于BD∩PD=D，所以AC⊥平面PDB，因为DE⊂平面PDB，故DE⊥AC．取线段PA的中点H，连接DH，EH，因为E为PB的中点，则EH∥AB．又因为AB⊥AD，AB⊥PD，且PD∩AD=D，故AB⊥平面PAD，且EH⊥平面PAD，所以EH⊥PA．因为DH⊥PA，且DH∩EH=H，故PA⊥平面DEH，PA⊥DE．由于PA∩AC=A，所以DE⊥平面PAC．方法2：以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立坐标系，设|AB|=2，则A(2,0,0)，C(0,所以PA=(2,0,−2)设平面PAC的法向量为k=(x0不妨取x0=1，则所以DE⊥平面PAC．（2）解：以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立坐标系，设|AB|=2，则B(2,2,0)，C(0,所以BC=(−2,0,0)设平面BCE与平面CEF的法向量分别为m=(x1,y1,不妨取y1=1，x2=1，则所以cos⟨因为⟨m,n【解析】【分析】（1）方法1：如图，连接BD，交AC于点G，取线段PA的中点H，连接DH，EH，因为E为PB的中点，利用平面与平面垂直的性质可推出AC⊥平面PDB，进而推出DE⊥AC，根据题意，利用直线与平面垂直的判定可证明EH⊥平面PAD，进而推出EH⊥PA，利用直线与平面垂直的判定定理可证明结论.

方法2：以D为坐标原点建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出对应向量，求出平面PAC的法向量k→，据此可得k（2）以D为坐标原点建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出对应向量，求出平面BCE与平面CEF的法向量，利用空间向量的夹角计算公式可求出二面角B−CE−F的大小.17．【答案】（1）解：当n=10时，抽奖箱里标有“中奖”字样小球2个，未标有“中奖”字样小球8个，一次抽奖，

可能取出0个标有“中奖”小球，或者1个标有“中奖”小球，1个未标有“中奖”小球，

或者2个标有“中奖”小球，

所以X的可能取值为0,1,2，

P(X=0)=C82C10X012P28161E(x)=0×（2）解：抽奖箱里标有“中奖”字样小球2个，未标有“中奖”字样小球n−2个，

参加抽奖的顾客一次抽奖只要抽到一个“中奖”小球即视为中奖，

包含抽到1个标有“中奖”小球，1个未标有“中奖”小球，或2个标有“中奖”小球，两种情况，

所以参加抽奖的顾客中奖概率为P=C21Cn−21+C22Cn−20Cn2=4n−6n【解析】【分析】本题考查超几何分布.

（1）根据题意，X的可能取值为0,（2）先求出中奖概率P=4n−6n2−n，根据中奖概率不低于25%18．【答案】（1）解：若{an}对{bn所以an+2=b因为a1=1，故an=1所以a=(1（2）解：若{an}对{bn所以an+2=bn+1+1=2又因为a1=b故当n为奇数时，an+1=(a所以当n为偶数时，bn当n为偶数时，an+1=(a所以当n为奇数时，bn综上an=2（3）解：由题设可知，an+1=bn+p1（ⅰ）若p1=0，则an+1=bn，bn+1（ⅱ）若p1≠0，由上得an+1假设p2=p12，则bn=0①