2024-2025学年江苏省无锡市高二上学期期中考试数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年江苏省无锡市高二上学期期中考试数学检测试卷一、单选题1．求长轴长是短轴长的倍，且过点的椭圆的标准方程（

）A． B．C．或 D．2．已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（

）A． B． C． D．3．已知圆关于直线对称，则实数（

）A．1或 B．1 C．3 D．或34．已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．5．已知动点在椭圆上，，，则的最小值为（

）A．5 B． C．2 D．16．已知圆和圆，则圆和圆的公切线条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．47．已知圆，直线，则（

）A．直线恒过定点B．直线与圆有三个交点C．当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于D．过直线的平行线上一动点作圆的一条切线，切点为，则8．在三棱锥中，为的重心，，若交平面于点，且，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．二、多选题9．关于空间向量，以下说法正确的是（

）A．若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则B．若空间中任意一点，有，则四点共面C．若空间向量满足，则与夹角为钝角D．若空间向量，则在上的投影向量为10．已知椭圆分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（

）A．椭圆离心率为B．C．若，则的面积为D．最大值为11．如图所示四面体中，，，，且，，为的中点，点是线段上动点，则下列说法正确的是（

）A．；B．当是靠近的三等分点时，，，共面；C．当时，；D．的最小值为．三、填空题12．过两点的直线l的倾斜角为，求的值为．13．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左､右焦点分别为，若为椭圆上一点，14．在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是．四、解答题15．在中，边，上的高所在直线的方程分别为与，点的坐标为.(1)求边的高所在直线的一般式方程；(2)求边的中线所在直线的斜率.16．已知直线与椭圆相交于不同的两点.(1)求实数的取值范围；(2)若，其中为坐标原点，求实数的值.17．已知直线，半径为的圆与相切，圆心在轴上且在直线的上方.(1)求圆的方程；(2)设过点的直线被圆截得的弦长等于，求直线的方程.18．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，且分别为的中点．

(1)求证：平面；(2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值；(3)在平面内是否存在点，满足？若存在，请求出点的轨迹长度；若不存在，请说明理由．19．古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆.已知点到的距离是点到的距离的2倍.(1)求点的轨迹的方程；(2)过点作直线，交轨迹于，两点，，不在轴上.（i）过点作与直线垂直的直线，交轨迹于，两点，记四边形的面积为，求的最大值；（ii）设轨迹与轴正半轴的交点为，直线，相交于点，试证明点在定直线上，求出该直线方程.答案：题号12345678910答案CDCDDCCCABDBCD题号11答案BCD1．C【分析】分析可知，，对椭圆的焦点位置进行分类讨论，将点的坐标代入椭圆方程，求出的值，即可得出椭圆的标准方程.【详解】由题意可知，，若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的标准方程为，将点的坐标代入椭圆方程可得，解得，此时，椭圆的标准方程为；若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的标准方程为，将点的坐标代入椭圆方程可得，解得，此时，椭圆的标准方程为.综上所述，椭圆的标准方程为或.故选：C.2．D【分析】分析可知，，根据空间向量共线的坐标表示可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出的值.【详解】因为是直线的方向向量，是平面的法向量，且，则，则，所以，，解得，，因此，.故选：D.3．C【分析】根据圆方程可得，确定或，再根据圆关于直线对称可得圆心在直线上即可求解.【详解】因为是圆的方程，所以，解得或，又因为圆的圆心为，且圆关于直线对称，所以，即，解得，（舍）或，故选：C.4．D【分析】由得，然后两边平方，结合向量数量积的运算求向量的夹角.【详解】设与的夹角为，由，得，两边同时平方得，所以1，解得，又，所以.故选：D5．D【分析】利用椭圆定义转化为，即求的最小值，根据三角形性质，当三点共线得答案.【详解】，为一个焦点，设另一焦点为，且，因为，所以在椭圆外部，所以，即求的最小值，由于，当三点共线时取到最小值，此时，，所以的最小值为1.故选：D6．C【分析】先判断圆与圆的位置关系，再求解公切线条数即可.【详解】我们将圆的一般方程化为标准方程，得到，故它的圆心为，半径，由题意得，半径，则由两点间距离公式得，故两圆圆心距为5，满足，故两圆外切，圆和圆的公切线条数为3，故C正确.故选：C7．C【分析】将直线的方程化为，由可求出直线所过定点的坐标，可判断A选项；判断定点与圆的位置关系，可判断B选项；求出与直线平行且距离为的直线方程，并判断所求直线与圆的位置关系，可判断C选项；求出的值，分析可知，当直线与直线垂直时，PC取最小值，结合勾股定理可判断D选项.【详解】对于A选项，直线的方程可化为，由可得，所以，直线恒过定点，A错；对于B选项，因为，则点在圆内，所以，直线与圆有两个交点，B错；对于C选项，当时，直线的方程为，设与直线平行且与直线的距离为的直线的方程为，由平行线间的距离公式可得，解得，圆心为C−2,0，圆的半径为，圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为，所以，直线、都与圆相交，所以，当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于，C对；对于D选项，因为直线与直线平行，则，解得，即点在直线上，连接，则，由勾股定理可得，当直线与直线垂直时，PC取最小值，且，则，D错.故选：C.8．C【分析】利用空间向量的四点共面的定理，得出系数的关系，再借助基本不等式求出最小值.【详解】∵，∴．∵，∴．∵四点共面，∴，即．∵，当且仅当时，等号成立，∴的最小值为1．故选：C9．ABD【分析】对于A，根据条件，利用线面位置判断的向量法，即可求解；对于B，利用空间向量共面定理，即可求解；对于C，取，即可判断选项C的正误；选项D，根据条件，利用投影向量的定义，即可求解.【详解】对于选项A，因为，，则，所以，故选项A正确，对于选项B，因为，得到，所以，即，所以共面，故选项B正确，对于选项C，当时，，此时与夹角不为钝角，所以选项C错误，对于选项D，，所以在上的投影向量为，故选项D正确，故选：ABD.10．BCD【分析】由椭圆方程得到的值，根据离心率的定义可判断A，根据椭圆的定义可判断B，根据勾股定理和椭圆的定义可得到，从而由三角形面积公式可判断C，由对勾函数可判断D.【详解】由椭圆方程可知，，，，所以椭圆的离心率，故A错误；由椭圆定义知，故B正确；又，因为，所以，，解得：，所以的面积为，故C正确；因为，即，设，由对勾函数的性质可得函数在上单调递减，在上单调递增，且，所以，所以，故D正确.故选：BCD.11．BCD【分析】以为基底，表示出相关向量，可直接判断A的真假，借助空间向量共面的判定方法可判断B的真假，利用空间向量数量积的有关运算可判断CD的真假.【详解】以为基底，则，，,.对A：因为.所以，故A错误；对B：当是靠近的三等分点，即时，，又，所以.故，，共面.故B正确；对C：因为，所以：，所以，故，故C正确；对D：设，.因为.所以，.当时，有最小值，为：，故D正确.故选：BCD12．.【分析】根据倾斜角计算出直线的斜率，再根据坐标形式下斜率的计算公式求解出的值.【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，又，整理得，解得或，当时，，不符合，当时，，符合，综上.故答案为:13．【分析】由内切圆半径的计算公式，利用等面积法表示焦点三角形的面积，得到方程，即可得到离心率的方程，计算得到结果.【详解】由题意，可知为椭圆通径的一半，故，的面积为，又由于的内切圆的半径为，则的面积也可表示为，所以，即，整理得：，两边同除以，得，所以或，又椭圆的离心率，所以椭圆的离心率为.故答案为.14．【分析】求出外接球半径，再由向量数量积运算得出，分析范围即可得解.【详解】设正方体外接球的球心为，半径为，则，即，所以，，当与正方体的侧面或底面垂直时，的长度取最小值，即最小值为1；当与正方体的顶点重合时，的长取最大值，即最大值为.所以，故.故15．(1)；(2)【分析】（1）由两条高线所在直线方程联立求得垂足坐标后，再计算直线的斜率得直线方程；（2）由垂直得出直线的斜率，从而可得直线方程，联立方程组分别求得两点坐标后，由中点坐标公式计算出中点坐标，然后计算斜率．【详解】（1）由，解得，因此垂足为，所以高所在直线的斜率为，直线方程为，即；（2）因为边，上的高所在直线的方程分别为与，所以，，直线方程为，即，直线方程为，即，由，得，即，由得，即，所以的中点的坐标为，所以．16．(1)或(2)或【分析】（1）联立直线与椭圆方程，消得到，利用，即可求解；（2）设，根据违达定量，利用（1）结果，得到，进而有，根据题设有，即可求解.【详解】（1）由，消得到，由题知，整理得到，解得或，所以实数的取值范围为或.（2）设，由（1），根据韦达定理得到，所以，又，所以，得到，又，所以，得到，整理得到，解得或，所以实数的值为或.17．(1)(2)或【分析】（1）设圆心的坐标为，根据题意可得出，利用点到直线的距离求出的值，可得出圆心坐标，即可得出圆的方程；（2）利用勾股定理可求得圆心到直线的距离为，然后对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出直线的斜率，综合可得出直线的方程.【详解】（1）解：设圆心的坐标为，因为圆心在直线上方，则，可得，因为半径为的圆与相切，则，因为，解得，所以，圆心为原点，故圆的方程为.（2）解：由勾股定理可得，圆心到直线的距离为，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合乎题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，由题意可得，解得，此时，直线的方程为.综上所述，直线的方程为或.18．(1)证明见解析(2)(3)存在；【分析】（1）利用线面垂直的判定直接证明即可；（2）利用向量法求得线面角的正弦值即可；（3）推出点的轨迹是半径为的一个圆，求出圆的周长即可.【详解】（1）

（法一）如图：连接，中，为等边三角形．为中点，，且，底面为菱形，所以，为等边三角形．为中点，，且，，平面，平面，

（法二）如图：连接，中，为等边三角形，为中点，，且，底面为菱形，，为中点，，在中，由余弦定理得：，即，平面平面（2）

由（1）知：，如图：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．，分别为的中点，，，，，设平面的一个法向量为，则．则，所以，取，则，平面的一个法向量为．平面的一个法向量为，则，平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则．即直线与平面所成角的正弦值为．（3）（3）（法一）存在点，使．理由如下：点在以线段中点为球心，2为半径的球面上．，设平面的一个法向量为，则．则，则，取，则．平面的一个法向量为．点到平面的距离为．，记，在平面内存在点，且点的轨迹是半径为的一个圆，即点的轨迹长度为．（3）（法二）存在点，使．理由如下：点在以线段中点为球心，2为半径的球面上．是的中点点到平面的距离是到平面的距离的．设点到平面的距离为，连接，在中，由余弦定理得：即，，即，，．，即点到平面的距离为，点到平面的距离为．，记，

在平面内存在点，且点的轨迹是半径为的一个圆，即点的轨迹长度为．19．(1)(2)（i）7（ii）证明见解析，【分析】（1）设，根据两点距离公式建立方程，整理即可求解；（2）易知直线的斜率存在，设直线方程为，利用点到直线的距离公式和几何法求弦长表示.（i）结合点线距公式、基本不等式和三角形面积公式，分类讨论当、时S的取值范围即可；（ii）设Px1,y1，Qx2,y2，直线【详解】（1）设点，由题意可得，即，化简得，所以点的轨