报告1-奇异摄动系统

奇异摄动系统刘蕾内容提要研究对象研究方法——边界层法研究内容研究现状未来的研究方向研究对象考察带有小电感L的系统：I设电容器的电容量为x，则：当小电感时，表示为：奇异摄动飞行器、直流电机等实际问题高增益反馈系统:奇异最优控制问题引入：设：摄动问题摄动理论是研究这类问题的渐近展开解法及解的性质，它可以求得满足所需精度要求的近似解析解。摄动问题的定义-R.E.ÓMalley若摄动问题的解能表示成的幂级数其中，是问题（）的解，且上述展开对是一致收敛的，则称为正则摄动问题。否则，就称为奇异摄动问题。边界层法起源：Prandtl研究流体力学问题时提出的奇异摄动匹配法问题的解分为两部分外解（不受边界层影响）边界层校正项（由边界层影响确定）考察下列线性奇异摄动问题：对应的问题：当非奇异时，可以得到：进一步可以得到：其中得到跳跃（边界层）设该问题的解具有如下形式：外解边界层校正项外解满足：边界层校正项满足：在边界层内，引入新的时间变量：记：则：此时解得形式可以写为：幂级数展开：几点说明

对一切非奇异且是稳定矩阵的假设下，可依次唯一地确定奇异摄动问题外解、边界层校正解幂级数展开项的首项。奇异摄动理论把高阶含小参数的奇异摄动问题，化成低阶的不含小参数的问题来求解，并可以得到具有任意精度的解析解。多重时间尺度快慢系统依次引入解耦为：慢变化快变化研究内容线性奇异摄动系统性质：稳定性、分解、能控能观性、能稳能检性控制：最优控制、观测器设计、滤波器设计非线性奇异摄动系统多参数系统稳定性考察线性定常奇异摄动系统当非奇异时，它的稳定性与下述系统一致其中：定理3.2：如果系统的和均是稳定矩阵，则一定存在某个，系统对所有的是渐近稳定的。定理3.1：对于系统，如果非奇异且1）对每一个，存在相应的，使的所有特征值的实部为零，而的所有特征值具有负实部。2）对每一个，存在相应的，使的所有特征值的实部为零，而的所有特征值具有负实部。则一定存在某个，系统对所有的是渐近稳定的。快慢变分解慢子系统快子系统外解对的零次逼近边界层校正项对的零次逼近能控性转化为正常系统，应用能控性判据进行判断，由于存在小参数而使得判定很困难。换个角度，作如下变换：状态矩阵为对角阵，构造能控性矩阵基于快慢子系统分解的能控性慢子系统快子系统或强能控奇异摄动系统能控慢子系统能控快子系统能控奇异摄动系统强能控慢子系统能控快子系统能控广义系统强能控广义系统能控R能控脉冲能控能稳性定理：如果线性定常奇异摄动系统的慢子系统和快子系统都是能稳的，则必存在某个使得对所有的，系统是能稳的。慢子系统快子系统构造最优控制考虑性能指标：不失一般性，设：前提条件：原系统能稳能检慢子系统快子系统慢问题快问题构造原系统的反馈控制律其中便宜控制最优控制律得到分三种情况讨论当的渐近解。主要思路转化为正常系统来处理快慢变子系统分解后分别处理，组合控制非线性奇异摄动系统引入标量常参数记则t时间尺度时间尺度慢系统快系统对渐近幂级数展开的高阶项满足线性方程。因此，奇异摄动的边界层法在非线性系统中具有更大的优越性。系统的解：多参数系统一个慢变状态与个快变状态组成按单参数分解法得到整个系统的各级慢变、快变子系统。研究现状未来研究方向权重矩阵选取