2024-2025学年陕西省榆林十二中高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年陕西省榆林十二中高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.抛物线y=12x2A.y=−12 B.y=−18 C.2.已知双曲线C：x2a2−y2=1(a>1)A.y=±3x B.y=±x C.y=±3.已知向量a=(1,−1,3)，b=(x,2,−1)，若a⊥(a−A.16 B.15 C.14 D.134.已知圆C1：(x−2)2+(y+3)2=16与圆C2：A.4x−10y−3=0 B.4x+10y+3=0

C.4x−10y−9=0 D.4x+10y+9=05.已知F1，F2分别是椭圆C：x29+y24=1的左，右焦点，A.27 B.35 C.456.已知F1，F2是平面内两个不同的定点，则“||MF1|−|MFA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC，AA1=AC=22，点E为棱A1B1的中点，点A.1699

B.3299

C.88.已知圆C：(x−3)2+(y−4)2=9和两点A(t,0)，B(−t,0)(t>0)，若圆C上至少存在一点P，使得PAA.(2,8) B.(2,+∞) C.(3,+∞) D.(1,3)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若直线(a−2)x+4y+a=0与直线(a−2)x+(a2+2a+4)y−2=0平行，则a的值可以是A.0 B.2 C.−2 D.410.已知F1，F2分别是双曲线C：y28−x22=1的上、下焦点，以线段F1A.圆M的方程为x2+y2=10 B.双曲线C的离心率为52

C.双曲线C11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，动点P在正方形AA.若A1P=12(AB+AD)，则|BP|=62

B.若A1P=12(AB+AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知直线l的方程为x4−y3=113.若圆C：x2+y2=r214.设F1，F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1且倾斜角为60°四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知A(1,6)，B(−4,7)，C(0,1)，△ABC的外接圆为圆M．

(1)求圆M的方程；

(2)已知直线l：3x−y+23=0与圆M交于E，16.(本小题12分)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，BB1=BC，D为BC的中点．

(1)求证：直线A1C//平面17.(本小题12分)

已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率是355，焦距为6．

(1)求E的方程；

(2)若直线l：y=kx+1与E18.(本小题12分)

如图，在四棱锥M−ABCD中，底面ABCD是边长为6的正方形，△MAB是等边三角形，平面MAB⊥平面ABCD．

(1)求平面CDM与平面ABM所成二面角的正弦值；

(2)已知E，F，G分别是线段AM，DM，CD上一点，且AE=13AM,DF=23DM,CG=13CD，若H是线段BM上的一点，且点H19.(本小题12分)

给定椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，我们称椭圆x2a2+y2b2=a2b2为椭圆E的“伴随椭圆”.已知A，B分别是椭圆E的左、右顶点，C为椭圆E的上顶点，等腰ABC的面积为22，且顶角的余弦值为−13．

(1)椭圆E的方程；

(2)P是椭圆参考答案1.A

2.D

3.A

4.A

5.A

6.B

7.D

8.B

9.AB

10.ABD

11.ACD

12.12513.{14.2315.解：(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，

因为A(1,6)，B(−4,7)，C(0,1)均在圆上，

则12+62+D+6E+F=0(−4)2+72+(−4)D+7E+F=002+12+E+F=0，解得D=4E=−8F=7，

所以圆M的方程为x2+y2+4x−8y+7=0．

(2)由x2+y2+4x−8y+7=0，得(x+2)16.(1)证明：设A1B∩AB1=E，连接DE，则E是A1B的中点，

因为D为BC的中点，所以DE/​/A1C，

又DE⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，

所以直线A1C/​/平面AB1D.

(2)解：因为AA1⊥平面ABC，AB，AC⊂平面ABC，

所以AA1⊥AB，AA1⊥AC，

又AB⊥AC，故以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为AB⊥AC，AB=AC=2，

所以BB1=BC=22，

所以B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,22)，B1(2,0,22)，

所以17.解：(1)由于E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为6，离心率是355，

因此ca=355,2c=6，其中c=a2+b2，所以a=5,c=3，因此b=c2−a2=2．

因此E的方程为x25−y24=1．

(2)设B(x2,y2)，A(x1,y1)，

联立双曲线方程和直线ly=kx+1,x218.解：(1)取AB，CD的中点分别为O，O1，连接OO1，

因为底面ABCD是正方形，所以OO1⊥AB，

因为△MAB是正三角形，O为AB的中点，所以MO⊥AB，

又平面MAB⊥平面ABCD，平面MAB∩平面ABCD=AB，MO⊂平面MAB，

所以MO⊥平面ABCD，又AB，OO1⊂平面ABCD，

所以MO⊥AB，MO⊥OO1，

以O点为原点，以OB，OO1，OM所在直线分别为x轴，y轴，z轴，

建立空间直角坐标系，如图所示，

由题意：O(0,0,0),A(−3,0,0),B(3,0,0),C(3,6,0),D(−3,6,0),M(0,0,33)，

CD=(−6,0,0),CM=(−3,−6,33)，

设平面CDM的一个法向量为n=(x,y,z)，

则由n⊥CD，n⊥CM，可得CD⋅n=0CM⋅n=0，即−6x=0−3x−6y+33z=0，

令y=3，则x=0,z=23，

可得平面CDM的一个法向量为n=(0,3,23)，

易知平面ABM的一个法向量为m=(0,1,0)，

设平面CDM与平面ABM所成二面角为θ，

则|cosθ|=|cos〈n,m〉|=|n⋅m||n|⋅|m|=|3|21×1=217，

所以sinθ=1−cos2θ=277，

即平面CDM与平面ABM所成二面角的正弦值为27719.(1)解：由cos∠B