北大版七升八数学试卷

北大版七升八数学试卷一、选择题

1.在直角坐标系中，点A（-2，3）关于原点的对称点是：

A.（2，-3）

B.（-2，-3）

C.（3，-2）

D.（-3，2）

2.下列函数中，函数y=2x+1在定义域内是增函数的是：

A.y=x²

B.y=|x|

C.y=x³

D.y=-x

3.若等差数列{an}中，a1=3，d=2，则第10项a10的值为：

A.19

B.20

C.21

D.22

4.在等比数列{bn}中，b1=1，q=2，则第5项b5的值为：

A.16

B.8

C.4

D.2

5.若三角形ABC的三个内角A、B、C的大小分别为30°、45°、105°，则cosB的值为：

A.√3/2

B.1/2

C.√2/2

D.√3/4

6.在平面直角坐标系中，点P（3，4）到直线2x-3y+6=0的距离为：

A.2

B.3

C.4

D.5

7.若等差数列{an}中，a1=1，d=-3，则第6项a6与第10项a10的差值为：

A.-9

B.-12

C.-15

D.-18

8.在平面直角坐标系中，点A（-2，3）关于直线y=x的对称点是：

A.（-2，3）

B.（3，-2）

C.（-3，2）

D.（2，-3）

9.若等比数列{bn}中，b1=2，q=1/2，则第4项b4与第8项b8的比值是：

A.2

B.1/2

C.1

D.1/8

10.若三角形ABC的三个内角A、B、C的大小分别为120°、60°、180°，则sinA的值为：

A.1/2

B.√3/2

C.√2/2

D.1

二、判断题

1.在实数范围内，对于任意的x，都有（x+1）²≥0。（）

2.若函数y=3x-2在定义域内是减函数，则其斜率k必须小于0。（）

3.等差数列的前n项和公式为Sn=n(a1+an)/2，其中an表示数列的第n项。（）

4.在平面直角坐标系中，点到直线的距离公式为d=|Ax+By+C|/√(A²+B²)，其中A、B、C是直线Ax+By+C=0的系数。（）

5.若等比数列{bn}中，b1=1，q=1，则该数列是常数数列。（）

三、填空题

1.已知等差数列{an}中，a1=5，公差d=3，则第10项a10的值为______。

2.函数y=2x+3与y=4x-5的交点坐标为______。

3.在三角形ABC中，已知a=5，b=7，c=8，则sinA的值为______。

4.若等比数列{bn}中，b1=8，q=1/2，则第4项b4与第8项b8的差值为______。

5.在平面直角坐标系中，点P（2，-3）到直线3x+4y-12=0的距离为______。

二、判断题

1.两个平行四边形的对角线互相垂直，则这两个平行四边形是矩形。（）

2.若一个三角形的三边长分别为3、4、5，则该三角形是等腰三角形。（）

3.在直角坐标系中，一条过原点的直线与x轴、y轴所围成的三角形是等边三角形。（）

4.两个圆相切，则它们的圆心距等于两圆半径之和或之差。（）

5.若一个数列的前n项和为Sn，且Sn的极限存在，则该数列必定收敛。（）

三、填空题

1.在直角坐标系中，点A（2，-3）关于x轴的对称点是______。

2.若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增，则对于任意的x1,x2∈[a,b]，当x1<x2时，有______。

3.等差数列{an}中，若a1=5，d=2，则第n项an的表达式为______。

4.在等比数列{bn}中，若b1=8，q=1/2，则第n项bn的表达式为______。

5.若一个三角形的内角分别为30°、60°、90°，则该三角形的边长比为______。

四、解答题

1.已知函数f(x)=2x²-3x+1，求f(x)在区间[1,3]上的最大值和最小值。

2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，d=2，求Sn的表达式。

3.已知等比数列{bn}的前n项和为Sn，若b1=4，q=1/2，求Sn的表达式。

4.在直角坐标系中，已知点A（-2，3）和点B（4，-1），求直线AB的方程。

5.已知三角形ABC的三个内角A、B、C的大小分别为30°、45°、105°，求sinA、cosB、tanC的值。

五、计算题

1.计算等差数列{an}的前10项和，其中a1=3，公差d=2。

2.已知函数f(x)=x³-6x²+9x-1，求f(x)在区间[0,3]上的极值。

3.在直角坐标系中，点P（2，-3）到直线2x+y-5=0的距离是多少？

4.解方程组：2x-3y=5，x+4y=2。

5.已知等比数列{bn}的前5项和为S5=31，且b1=3，求该数列的公比q。

六、案例分析题

1.案例背景：某学校在组织一次数学竞赛时，要求参赛者解决以下问题：在三角形ABC中，已知AB=6，BC=8，且角BAC为直角。请计算三角形ABC的周长。

案例分析：

（1）分析三角形ABC的性质，确定其类型。

（2）根据勾股定理，计算AC的长度。

（3）求出三角形ABC的周长。

2.案例背景：某班级的学生在进行数学学习时，遇到了以下问题：已知数列{an}的前三项分别为1，-2，3，且数列的公比q=2。请找出数列{an}的前10项。

案例分析：

（1）根据数列的前三项和公比q，推导出数列{an}的通项公式。

（2）利用通项公式，计算数列{an}的前10项。

（3）分析数列{an}的性质，如数列的增减性、是否有极限等。

七、应用题

1.应用题：某商品原价为100元，连续两次降价，每次降价幅度为10%。请问两次降价后的售价是多少？

2.应用题：一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c（a>b>c），且长方体的体积V=a*b*c=192立方厘米。如果长方体的表面积S=2*(ab+bc+ac)=192平方厘米，求长方体的长a的值。

3.应用题：某公司计划投资一个项目，预计该项目在5年内每年都能带来稳定的收入。已知第1年的收入为10000元，之后每年收入比上一年增加2000元。请问5年内公司从该项目总共能获得多少收入？

4.应用题：一个学校组织了一次数学竞赛，共有100名学生参加。竞赛结束后，成绩按照从高到低排列，前25%的学生获得了一等奖，接下来的25%的学生获得了二等奖，剩下的学生中获得三等奖。如果一等奖有5个名额，二等奖有8个名额，请问获得三等奖的学生有多少人？

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题

1.A

2.C

3.A

4.A

5.B

6.C

7.C

8.B

9.C

10.A

二、判断题

1.√

2.√

3.×

4.√

5.√

三、填空题

1.19

2.(1/2,3/2)

3.√3/2

4.0

5.3

四、简答题

1.最大值为f(3)=2*3²-3*3+1=14，最小值为f(1)=2*1²-3*1+1=0。

2.Sn=n/2*(2a1+(n-1)d)=n/2*(2*1+(n-1)*2)=n/2*(2+2n-2)=n²。

3.Sn=b1*(1-q^n)/(1-q)=4*(1-(1/2)^n)/(1-1/2)=8*(1-(1/2)^n)。

4.直线AB的斜率为(-1/2)，通过点A（-2，3），所以方程为y=(-1/2)x+1/2。

5.sinA=1/2，cosB=√2/2，tanC=sinC/cosC=√3。

五、计算题

1.S10=n/2*(2a1+(n-1)d)=10/2*(2*3+(10-1)*2)=5*(6+18)=5*24=120。

2.极值点在f'(x)=0时取得，f'(x)=3x²-12x+9，令f'(x)=0得x=1或x=3。计算f(1)和f(3)得极小值为0，极大值为14。

3.距离公式d=|Ax+By+C|/√(A²+B²)=|2*2+1*(-3)-5|/√(2²+1²)=|4-3-5|/√5=2/√5。

4.通过代入法或消元法解方程组得x=2，y=1/2。

5.q=(b2/b1)=(3/8)=1/2，所以q=1/2。

六、案例分析题

1.分析：三角形ABC是直角三角形，AC为斜边，根据勾股定理AC=√(AB²+BC²)=√(6²+8²)=√(36+64)=√100=10。周长为AB+BC+AC=6+8+10=24。

2.分析：根据体积公式V=a*b*c=192，可以得到a*b*c=192。根据表面积公式S=2*(ab+bc+ac)=192，可以得到ab+bc+ac=96。联立这两个方程，可以解得a=8，b=6，c=4。

知识点总结：

1.选择题考察了基础数学概念的理解和运用，包括实数、函数、数列、几何图形等。

2.判断题考察了学生对基础概念和定理的掌握程度，