北京去年高考数学试卷

北京去年高考数学试卷一、选择题

1.下列哪个函数的图像是一条直线？

A.\(y=x^2+2x+1\)

B.\(y=2x-3\)

C.\(y=\sqrt{x}\)

D.\(y=\frac{1}{x}\)

答案：B

2.已知等差数列的前三项分别是1,3,5，则该数列的公差是多少？

A.2

B.3

C.4

D.5

答案：A

3.在直角坐标系中，点A(2,3)关于原点的对称点坐标是？

A.(2,-3)

B.(-2,3)

C.(-2,-3)

D.(2,3)

答案：C

4.若等比数列的第三项为8，公比为2，则该数列的第一项是多少？

A.1

B.2

C.4

D.8

答案：A

5.下列哪个方程表示圆的方程？

A.\(x^2+y^2=1\)

B.\(x^2+y^2=4\)

C.\(x^2-y^2=1\)

D.\(x^2-y^2=4\)

答案：B

6.在一个三角形中，如果三个角的度数分别是30°，60°，90°，那么这个三角形是？

A.等边三角形

B.等腰三角形

C.直角三角形

D.梯形

答案：C

7.若二次方程\(x^2-5x+6=0\)的两个根分别是2和3，那么该方程的判别式是多少？

A.1

B.4

C.9

D.16

答案：B

8.下列哪个数是有理数？

A.\(\sqrt{2}\)

B.\(\pi\)

C.\(0.101001\)

D.\(0.3333\)

答案：D

9.若平行四边形的对角线互相垂直，那么该平行四边形是？

A.矩形

B.菱形

C.平行四边形

D.正方形

答案：B

10.已知函数\(f(x)=2x+3\)，那么函数\(f(x+1)\)的图像在x轴上平移了多少个单位？

A.1个单位

B.2个单位

C.3个单位

D.4个单位

答案：B

二、判断题

1.在任何等差数列中，任意两个相邻项的差都是常数，这个常数称为公差。（）

答案：正确

2.一个角的补角一定小于该角。（）

答案：错误

3.在直角坐标系中，所有点的坐标都是实数对。（）

答案：正确

4.如果一个函数的图像是一条水平线，那么这个函数的导数不存在。（）

答案：错误

5.在等比数列中，如果首项为正，公比为负，那么数列的项将无限地交替正负。（）

答案：正确

三、填空题

1.若函数\(f(x)=ax^2+bx+c\)在x=1处有极值，则\(a\)的值应为______，\(b\)的值应为______。

答案：\(a\neq0\)，\(b=0\)

2.在直角坐标系中，点\(A(-2,3)\)和点\(B(4,-5)\)之间的距离是______。

答案：\(\sqrt{(-2-4)^2+(3-(-5))^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\)

3.若二次方程\(x^2-6x+9=0\)的两个根相等，则该方程的判别式为______。

答案：0

4.在一个等差数列中，如果首项是2，公差是3，那么第10项的值是______。

答案：\(2+(10-1)\times3=2+27=29\)

5.若等比数列的首项是3，公比是\(\frac{1}{2}\)，那么第5项的值是______。

答案：\(3\times\left(\frac{1}{2}\right)^4=3\times\frac{1}{16}=\frac{3}{16}\)

开篇直接输出。

四、简答题

1.简述一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)有两个实根的条件。

答案：一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)有两个实根的条件是判别式\(\Delta=b^2-4ac\)大于0。

2.解释等差数列和等比数列在数列理论中的意义。

答案：等差数列在数列理论中描述的是一种特殊的数列，其中任意相邻两项的差是常数；等比数列则描述的是另一种特殊的数列，其中任意相邻两项的比是常数。这两种数列在数学分析、工程计算、金融数学等领域有着广泛的应用。

3.描述在直角坐标系中，如何确定一个点关于原点的对称点。

答案：在直角坐标系中，一个点\((x,y)\)关于原点的对称点坐标是\((-x,-y)\)，即横坐标和纵坐标都取相反数。

4.解释函数\(f(x)=x^3-3x\)在区间\((0,1)\)内是否有极值点，并说明理由。

答案：函数\(f(x)=x^3-3x\)在区间\((0,1)\)内有极值点。首先计算一阶导数\(f'(x)=3x^2-3\)，令\(f'(x)=0\)得到\(x=1\)。因为\(f'(x)\)在\((0,1)\)内由负变正，根据费马定理，\(x=1\)是\(f(x)\)的极小值点。

5.举例说明在现实世界中，等比数列和等差数列如何应用。

答案：等差数列在现实世界中的应用举例：一个银行账户每月存款100元，连续存款12个月，形成的数列是等差数列。等比数列在现实世界中的应用举例：银行提供的年利率为5%，连续复利的情况下，一年后的本金和利息总和形成等比数列。

五、计算题

1.计算下列函数的极值点：\(f(x)=x^3-6x^2+9x\)。

答案：首先计算一阶导数\(f'(x)=3x^2-12x+9\)，令\(f'(x)=0\)得到\(x^2-4x+3=0\)，因式分解得\((x-1)(x-3)=0\)，所以\(x=1\)或\(x=3\)。然后计算二阶导数\(f''(x)=6x-12\)，代入\(x=1\)和\(x=3\)得到\(f''(1)=-6\)和\(f''(3)=6\)。因为\(f''(1)<0\)，所以\(x=1\)是极大值点；因为\(f''(3)>0\)，所以\(x=3\)是极小值点。

2.已知等差数列的前三项分别是2,5,8，求该数列的前10项和。

答案：等差数列的公差\(d=5-2=3\)，首项\(a_1=2\)。前10项和\(S_{10}=\frac{10}{2}\times(2+(2+9\times3))=5\times29=145\)。

3.在直角坐标系中，点\(A(1,-3)\)和点\(B(4,5)\)之间的中点坐标是多少？

答案：中点坐标\(M\)的横坐标是\(\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{1+4}{2}=2.5\)，纵坐标是\(\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{-3+5}{2}=1\)。所以中点坐标是\(M(2.5,1)\)。

4.解下列方程：\(2x^2-4x+1=0\)。

答案：使用求根公式\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)，其中\(a=2\)，\(b=-4\)，\(c=1\)。代入得\(x=\frac{4\pm\sqrt{16-8}}{4}=\frac{4\pm\sqrt{8}}{4}=\frac{4\pm2\sqrt{2}}{4}=1\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\)。

5.已知等比数列的首项是4，公比是\(\frac{1}{3}\)，求第7项的值。

答案：等比数列的第n项公式是\(a_n=a_1\timesr^{(n-1)}\)，其中\(a_1=4\)，\(r=\frac{1}{3}\)，\(n=7\)。代入得\(a_7=4\times\left(\frac{1}{3}\right)^{6}=4\times\frac{1}{729}=\frac{4}{729}\)。

六、案例分析题

1.案例分析题：某班级学生进行一次数学考试，成绩分布呈现正态分布，平均分为70分，标准差为10分。请分析以下情况：

a)估计该班级成绩在60分以下的学生比例。

b)如果该班级有100名学生，预计有多少名学生的成绩在90分以上。

答案：

a)在正态分布中，成绩在平均值以下的比例可以通过查找标准正态分布表得到。由于标准差为10分，60分以下相当于\((60-70)/10=-1\)个标准差。根据标准正态分布表，-1个标准差对应的累积概率约为0.1587。因此，成绩在60分以下的学生比例约为15.87%。

b)成绩在90分以上的学生比例可以通过查找标准正态分布表得到。90分相当于\((90-70)/10=2\)个标准差。根据标准正态分布表，2个标准差对应的累积概率约为0.0228。因此，成绩在90分以上的学生比例约为2.28%。如果班级有100名学生，预计有\(100\times0.0228=2.28\)名学生，由于学生数量必须是整数，我们可以预计有2名学生成绩在90分以上。

2.案例分析题：某商店销售一批商品，商品的售价呈等差数列，首项为100元，公差为10元。已知商店在一个月内销售了这批商品的前5项，总销售额为5000元。请分析以下情况：

a)计算这批商品的总数量。

b)如果商店决定提高售价，使得每件商品售价增加20%，请问新的总销售额将是多少？

答案：

a)设这批商品的总数量为n，根据等差数列的求和公式\(S_n=\frac{n}{2}\times(2a+(n-1)d)\)，其中\(a=100\)，\(d=10\)，\(S_n=5000\)。代入公式得\(5000=\frac{n}{2}\times(200+10(n-1))\)。解这个方程得到\(n=50\)。所以这批商品的总数量是50件。

b)如果每件商品售价增加20%，新的售价将是\(100\times(1+20\%)=120\)元。新的总销售额\(S_n'=50\times120=6000\)元。因此，新的总销售额将是6000元。

七、应用题

1.应用题：某公司计划在三年内投资建设一个工厂，投资额每年递增，第一年投资额为200万元，每年比上一年增加20%。求三年内总投资额。

答案：第一年投资额\(a_1=200\)万元，公比\(r=1.20\)。三年内总投资额\(S_3=a_1+a_1\timesr+a_1\timesr^2\)。代入得\(S_3=200+200\times1.20+200\times1.20^2=200+240+288=728\)万元。

2.应用题：一个圆柱形水桶，底面半径为10cm，高为20cm。求水桶的体积。

答案：圆柱体积公式\(V=\pir^2h\)，其中\(r=10\)cm，\(h=20\)cm。代入得\(V=\pi\times10^2\times20=2000\pi\)立方厘米。

3.应用题：一个班级有学生40人，其中女生人数是男生人数的1.5倍。求该班级女生和男生的人数。

答案：设男生人数为\(x\)，女生人数为\(1.5x\)。根据题意\(x+1.5x=40\)，解得\(x=16\)，所以男生人数为16人，女生人数为\(1.5\times16=24\)人。

4.应用题：一个工厂生产一批产品，每天生产数量呈等差数列，第一天生产10个，每天比前一天多生产5个。如果计划在10天内完成生产，求这批产品的总数。

答案：第一天生产数量\(a_1=10\)，公差\(d=5\)，天数\(n=10\)。等差数列前n项和公式\(S_n=\frac{n}{2}\times(2a_1+(n-1)d)\)。代入得\(S_{10}=\frac{10}{2}\times(2\times10+(10-1)\times5)=5\times(20+45)=5\times65=325\)。这批产品的总数是325个。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题

1.B

2.A

3.C

4.A

5.B

6.C

7.B

8.D

9.B

10.B

二、判断题

1.正确

2.错误

3.正确

4.错误

5.正确

三、填空题

1.\(a\neq0\)，\(b=0\)

2.10

3.0

4.29

5.\(\frac{3}{16}\)

四、简答题

1.一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)有两个实根的条件是判别式\(\Delta=b^2-4ac\)大于0。

2.等差数列和等比数列在数列理论中的意义：等差数列描述的是相邻两项之差为常数，等比数列描述的是相邻两项之比为常数。它们在数学分析、工程计算、金融数学等领域有着广泛的应用。

3.在直角坐标系中，一个点\((x,y)\)关于原点的对称点坐标是\((-x,-y)\)，即横坐标和纵坐标都取相反数。

4.函数\(f(x)=x^3-3x\)在区间\((0,1)\)内有极值点，因为\(f'(x)=3x^2-3\)在\((0,1)\)内由负变正，根据费马定理，\(x=1\)是\(f(x)\)的极小值点。

5.等差数列在现实世界中的应用举例：银行账户每月存款100元，连续存款12个月，形成的数列是等差数列。等比数列在现实世界中的应用举例：银行提供的年利率为5%，连续复利的情况下，一年后的本金和利息总和形成等比数列。

五、计算题

1.极大值点\(x=1\)，极小值点\(x=3\)。

2.前十项和为145。

3.中点坐标为\(M(2.5,1)\)。

4.根为\(x=1\pm\frac{\sqrt{