【模拟测试】高考数学考试试题（含答案）

高考模拟测试数学试题

时间：120分钟满分；150分

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合人={-4,-2,-1,0,1,2,4},B={A|X2-X-2>0},则AD"=（）

A.1-4.—2,4}B.{-4,—2,—1,2,4）

C.{-424}D.{-4,-2,124}

2.已知复数z=一二+3"则复数z在复平面内对•应的点位于

2+1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

3.记S,为等差数列{对}的前〃项和，已知S”=2，『+3〃，则数列{凡}的公差为（）

A.2B.4C.1D.—

2

4.已知函数/。）=3-'十夕3'是奇函数，则/（2）=（）

82828080

A.—B.------C.—D.------

9999

5.在新冠疫情的持续影响下，全国各地电影院等密闭式文娱场所停业近半年，电影行业面

临巨大损失.2011〜2020年上半年的票房走势如下图所示，则下列说法正确的是（）

上半年票房（亿元）―-增速供）

A.自2011年以来，每年上半年的票房收入逐年增加

B.自2011年以来，每年上半年的票房收入增速为负的有5年

c.2018年上半年的票房收入增速最大

D.2020年上半年的票房收入增速最小

6.已知点A（〃7,〃）在椭圆?+5=1上，则＞+"的最大值是（）

A.5B.4C.3D.2

7.己知（/-_!_]（1+以）的展开式中常数项系数为4,则〃=（）

IX）

A.-4B.IC.—D.-1

2

8.在长方体43co—A4CQ中，底面A88是正方形，AA,=3AB,E为CG的中点,

点尸在棱。。।上，RA尸=2。"，则异面直线AE与所成角的余弦值是（）

AV34口后「扃nV17

34341734

9.我国古代数学家赵爽利用弦图巧妙地证明了勾股定理，弦图是由四个全等直角三角形与

一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.如果内部小正方形的内切圆面积为外部大正

方形的外接圆半径为逑，直角三角形中较大的锐角为。，那么tan[=（）

22

C.-D.—

42

若上言，£=5m+7，则数列｛端的公

10.已知等比数列｛凡｝前八项和为s”,

比夕=（）

A.2B.-2C.—D.--

22

11.已知函数人幻平/二°：

若函数g（x）=/（x）-〃7有四个不同的零点

-x-4x+4,x＜（

xpx2,x3,x4,则X/2&X4的取值范围是（）

A.(0,4)B.(4,8)C.(0,8)D.

(0,+oo)

12.设E为双曲线C：4-力＞0)右焦点，直线/：x-2)，+c=0(其中c为双

a'b'

加线C的半焦距)与双曲线C为左、右两支分别交于M,N两点，若+磔)=0,

则双曲线C的离心率是()

A5R4后

A・D«--------

3333

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横

线上.

13.已知向量a,E满足|〃|=2/?|=4,且a•〃=—4百，则向量a,B的夹角是.

14.函数/(工)二月nx—f-1+1的图象在x=1处的切线方程是.

15.2020年10月II日，全国第七次人口普查拉开帷幕，某统计部门安排AB,CD,E尸六

名工作人员到四个不网区市县开展工作.每个地方至少需安排一名工作人员，其中A〃安

排到同一区市县工作，RE不能安排在同一区市县工作，则不司的分配方法总数为

种.

16.在三楂锥S-ABC中，NSB4=NS6=9O°,底面ABC是等边三角形，三棱锥

S—A8C的体积为G,则三棱锥S—A8C的外接球表面积的最小值是.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或

演算步骤.17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，

考生根据要求作答.

17.在锐角AA2c中，角AB,C的对边分别为出4gBe边上的高为正的面积

2

为5/5,〃sinAcosC+csinAcosB=y/3acosA.

(1)求。和角A；

(2)求AAbC的周长.

18.第31届世界大学生夏季运动会定于2021年8月18日—29日在成都举行，成都某机构

随机走访调查80天中的天气状况和当天到体育馆打乒乓球人次,整理数据如下表(单位:天)：

打乒乓球人次

[0,1001(100.2001(200,3001

天气状况

晴天21320

阴天4610

雨天645

雪天820

(1)若用样本频率作为总体概率，随机调查本市4天，设这4天中阴天的天数为随机变量X,

求X的分布列和数学期望.

⑵假设阴天和晴夭称为,’天气好"，雨天和雪天称为“天气不好”，完成下面的2x2列联表,

判断是否有99%的把握认为一天中到体育馆打乒乓球的人次与该市当天的天气有关?

人次”200人次＞200

天气好

天气不好

参考公式：K?=,其中〃=口十分十9十

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

参考数据:

Pg.k。）0.100.050.0100.001

k°2.7063.8416.63510.828

19.如图，PAJ_平面ABC。，四边形43co为直角梯形，AD=2BC=2AB=6.

AD/IBC,AB±BC.

⑴证明：PCLCD.

(2)若PC=/U),点E在线段C。上，且CE=2ED,求二面角A—PK—C的余弦值.

20.已知动点M到点尸(3,0)的距离比它到直线/:x+5=0的距离小2

(1)求动点M的轨迹£的方程

⑵过点F作斜率为攵(&*0)的直线r与轨迹E交于点A、3,线段AB的垂直平分线交X

四

轴于点N,证明:回|为定值

21.已知函数/*)=(工一。一1)。1+奴(jf>0).

(1)讨论外”单调性.

(2)当〃K2时，若/(x)无最小值，求实数〃的取值范围.

x=\-t

22.在直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为｛「(f为参数)以坐标原点为极点，以

y=2+t

1轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为

p2-2pcos。-6psin6+8=0,已知直线/与曲线。交于不同的两点M,N.

(1)求直线/的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

⑵设改2)'求高+高的值.

23.设函数/。)=|2%+3|一k-1|.

(1)求不等式/(幻>0解集：

(2)若/(x)的最小值是川，且。+沙+3。=2|〃?|,求/+〃+/的最小值.

答案与解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合人={7,-2,-1,0,1,2,4},£?={4V2-X-2>0),则AD8=()

A.{-4,-2,4}B.{-4,-2,-1,2,41

C.{-424}D.{-4,-2,l,2,4}

［答案］B

［解析］

［分析］

由一元二次不等式求出集合B={x|xW-l或x?2},再利用集合交集的定义求出即可.

［详解］在集合8中，由/一工一220,解得XW—1或XN2,所以8={x|x4T或x22),

且集合4={-4,-2,-1,0,1,2,4},..4门8={-4,-2,-1,2,4}.

故选：B

2.己知复数z=3+3，，则复数z在复平面内对应的点位于

2+i

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

［答案］A

I解析］

［分析］

根据复数运算求出z,写出复数在复平面内对应的点的坐标，即可判断象限.

［详解］解：因为z=-^-+3i=2-i+3i=2+2i,

2+z

所以复数z在复平面内对应的点为Z(2,2),位于第•象限.

故选：A.

［点睛］与复数的几何意义相关问题的•股步骤：

(1)进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式：

(2)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复。十从与复平面上的点(4〃)

----对应.

3.记5〃为等差数列{4}的前♦〃项和，已知S,,=2〃2+3〃，则数列{凡}的公差为()

A.2B.4C.1D.—

2

［答案］B

［解析J

［分析］

根据等差数列的前〃项和公式，结合题设条件，即可求解.

［详解］设等差数列｛q｝的公差为"，

由等差数列的求和公式，可得Sn=H"―%~-d=万■，厂+(4-5")〃，

又因为S.=2〃2+3〃，所以4=2,可得"=4.

故选：B.

4.已知函数/(1)=3-'+丈3、是奇函数，则/⑵=()

［答案］D

［解析］

［分析］

根据/(x)是奇函数，利用奇偶性的定义，求得a即可.

［详解］因为/(外是奇函数，

所以/(-X)=-/(x)成立,即3、+a•3r=-(3-v+«-3V)成立，

即(1+4乂3-'+3")=0成立，

所以。二一1,

所以/(2)=3"-32=-］.

故选：D

5.在新冠疫情的持续影响下，全国各地电影院等密闭式文娱场所停业近半年，电影行业面

临巨大损失.2011〜2020年上半年的票房走势如下图所示，则下列说法正确的是()

2011201220132014201520162017201820192020

■上半年票房（亿元）―"增速供）

A.自2011年以来，每年上半年的票房收入逐年增加

B.自2011年以来，每年上半年的票房收入增速为负的有5年

C.2018年上半年的票房收入增速最大

D.2020年上半年票房收入蹭速最小

［答案］D

［解析J

［分析］根据图表，对A、B、C、D四个选项一一验证即可.

［详解］由图易知自2011年以来，每年上半年的票房收入相比前一年有增有减，增速为负的

有3年，故A,B错误；

2017年上半年的票房收入增速最大，故C错误：

2020年上半年的票房收入增速最小，故D正确.

故选：D

6.已知点4（〃?,〃）在椭圆?+］=1上，则加2十〃2的最大值是（）

A.5B.4C.3D.2

［答案］B

［解析］

［分析］由己知条件得出〃，=4一2/，利用椭圆的有畀性得出OK,』42，由此可求得

2+〃2的取值范围，即可得解

［详解］由题意可得工+£=1,则〃P=4-2",故"Z2+〃2=4-〃2.

42

因为一夜《〃4夜，所以0W/42，所以2W4-/44，即24"?2+〃2《4.

因此，〃，+〃2的最大值4.

故选：B.

7.已知（1+〃。的展开式中常数项系数为4,则。二（

A.-4

［答案］D

［解析］

［分析］将原式变形为卜一_£）+依卜__［）,再写出［2—，）的通项，即可得到展开式

中常数项，从而求出参数的值：

［详解］解：x2-"!•］（1+=x2-—1+ax（x2--

其中k—J展开式的通项为却=墨（x2广,卜［J=C；尸，㈠），

所以（1+奴）展开式中常数项为盘工2（一］_）〃r=-4a=4,解得〃二一1.

故选：D

8.在长方体48co—AqCQ中，底面A8c。是正方形，=3AB,E为CG的中点,

点尸在棱。仅上，且。尸=2£）尸，则异面直线AE与CT所成角的余弦值是（）

A.巫B.叵C.叵D.晅

34341734

I答案］B

［解析］

［分析］

在棱。，上取一点G,使得。。=6。。，连接4GGE,易得EG//CF,则NAEG或

其补角是异面直线AE与C厂所成的角,结合余弦定理即可得解.

［详解］如图，在棱。鼻上取一点G,使得RD=6RG,连接AG,GE,

由题意易得四边形CKG尸为平行四边形，则EG//CF,

故ZAEG或其补角是异面直线AE与CF所成的角，

设43=2,则AA=6,

从而AE=\l21+22+?r=Vl7,£G=>/22+22=272,AG=V22+52=x/29♦

在△4£G中，由余弦定理可得

=A炉十芯-4=17+8-29=734

cosZAEG

2AEEG~2xV17x2x/2-34

则异面直线AE与CF所成角的余弦值是典.

34

故选：B

9.我国古代数学家赵爽利用弦图巧妙地证明了勾股定理，弦图是由四个全等直角三角形与

一个小正方形拼成的一个大正方形血图).如果内部小正方形的内切圆面积为?外部大正

方形的外接圆半径为逑，直角三角形中较大的锐角为々，那么tan二=()

22

［答案］D

［解析］

分析］

先求出大正方形与小正方形的边长，利用勾股定理求出直角三角形的直角边，再求。的正

弦值与余弦值，然后根据商的关系与二倍角公式可得答案.

［详解］因为小正方形的内切圆而枳为三，所以内切圆半径为!，小正方形的边K为1：

42

因为大正方形的外接圆半径为吐，所以大正方形的对角线长为56，其边长为5,

2

设直角三角形短的直角边为x,则长的直角边为x+1.

由勾股定理得/+。+1了=25,解得x=3,

43

所以sina=—,cosa=-,

.a6.aa

sin—2sin—cos—

则出让==二一2—I

2a，a

cos—2cos"

22

4

sina51

ZZ------------,

cosa+132

一+1

5

故选：D.

［点睛］关键点睛：解答本题的关键是利用勾股定理求出直角二角形的直角边，从而求出。的

正弦值与余弦值，再根据三角函数恒等变换解答.

io.已知等比数列｛凡｝的前〃项和为s“，若茅=||,竽=黑+，则数列｛为｝的公

m43'

比夕=()

A.2B.-2C.—D.--

22

［答案］C

［解析J

［分析］

用q和q表示出己知条件后可解得4.

［详解］由已知^工1,

52*%(W)=33

m-5

Sq(lW)32

则《m',，解得1.

J__〃L4

aq5m+7

故选：c.

|log2x|,.r>(),

II.已知函数/")=若函数g(幻=/(X)-加有四个不同的零点

-X2-4X+4,X<0.

人］,42，入3，大4»则七毛毛“'』的取住L抢围是()

A.(0,4)B.(4,8)C.(0,8)D.

(0,+8)

［答案］A

［解析］

［分析］

将函数g(x)=.f(x)-，〃有四个不同的零点，转化为函数/(X)的图象与直线)'=〃?有四个不

网的交点，利用数形结合法求解.

［详解］函数g。)有四个不同的零点等价于函数/(X)的图象与直线y=机有四个不同的交

点.

画出f(x)的大致图象，如图所示.

由图可知〃ze(4,8).不妨设M<X2<X3<X4，

则-4<演<一2<%<0,且再+々.

所以占二一再一4,

所以xyx2=x((一大-4)=一(%+2『+4w(0,4),

则0vx3Vl<匕，

因为现2切=陲2式|，

J^TlU-log2x3=log2x4,

_,

^rl^log2x3=log2x4,

所以匕鹏=1,

所以凡•占•天•Z=%-x2e（0,4）.

故选：A

12.设居为双曲线C：1-£=1（〃>0力>0）右焦点，直线/：x-2y+c=0（其中c为双

a-b~

曲线。的半焦距）与双曲线。为左、右两支分别交于M,N两点，若丽•（询+物）=（）,

则双曲线C的离心率是（）

A.』B,1C.巫D.迪

3333

［答案］C

［解析］

［分析］设双曲线C的左焦点为E，如图，取线段MN的中点儿连接利用已知得出

眼周=|"|,由双曲线的定义结合勾股定理求出I”4I和图，利用直线/的斜率列出方

程，求出双曲线的离心率.

1详解］设双曲线C的左焦点为人，如图，取线段MN的中点H,连接”工，则

初十可=2屈.

因为丽•（用0+乔）=0,所以就.及后=0,即MNJ.E",则四目=|”|.

设|M周二因周二”因为|M周一|“曰=加闻一.周二2m

所以|M；|-1|+1"6|一|吗|二|附；1TM£|=|MV|=4〃，则|MH|=|NH|=2a,

从而I"/"=/〃，故I"用=—m~=>!nv—46/2>解得nr=2a2+2c2-

因为直线/的斜率为!，所以tan4HF\F、=熙=\，整理得口】=

2~\HF\V2a?+2c22(r+c-4

即3c2=5/，则*=|，故6=,=半.

故选:C

［点睛］关健点点睛：本题考查双曲线的离心率和双曲线的定义，考查平面向量数量积的应用，

解决本题的关键点是取线段MN的中点从连接“玲，利用已知等式得出|M/S|=|N周，进

而可由双曲线的定义和勾股定理求出|H"I和利用直线/的斜率为;列方程解出离

心率，考查学生数形结合能力和计算能力，属于中档题.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横

线上.

13.已知向量24满足|吊=2/；|=4,且£不=-46，则向量的夹角是_______.

［答案当

6

［解析］

［分析］

一一CI•h

利用公式cos〈a,份==尸求出两向量夹角的余弦值即可求得两向量夹角.

1。1闻

［详解］由题意可得cosas〉=f^=n^=-^,

\a\\b\4x22

又〈2,5〉e［。.乃］,则向量2万的夹角是苧.

6

故答案为：空

O

14.函数/(工)二工1111-丁-1+1的图象在工=1处的切线方程是

［答案］3x+y-2=0

［解析］

［分析］

先求导得/'(x)=lnx-3f,进而得〃1)二-3,/⑴二一1，再根据点斜式方程书写直线方

程即可.

［详解］由题意可得/(X)=lnx-3x2,

则/(l)=lnl-3=-3,/(l)=lxlnl-l-l+l=-l,

故所求切线方程为y+1=-3所-1),即3x+y-2=0.

故答案为：3x+y-2=0.

15.2020年10月11日，全国第七次人口普查拉开帷幕,某统计部门安排尸六

名工作人员到四个不同的区市县开展工作.每个地方至少需安排一名工作人员，其中A8安

排到同一区市县工作，。,七不能安排在同一区市县工作，则不司的分配方法总数为

种.

［答案1216

［解析］

［分析］

分两步完成，第一步将6名工作人员分成4组，要求A5同一组，RE不在同一组，共9

种分组方法，第二步在将分的四组分配到四个区市县有用=24种，进而得总的分配方法有

9x24=216种

［详解］第一步，将6名工作人员分成4组，要求AB同一组，不在同一组.

若分为3,I,I,I的四组，48必须在3人组，则只需在C,RE,产中选一人和A8同一

组，故有C：=4种分组方法，

若分为2,2,1,1的四组，48必须在2人组，故只需在中选两人构成一组，

同时减去2E在同一-组的情况，故有C；-l=5种分组方法，

则一共有5+4=9种分组方法；

第二步，将分好的四组全排列，分配到四个区市县，有A：=24种.

故总的分配方法有9x24=216种.

故答案为：216.

［点睛］本题考查分组分配问题，解题的关键在于根据题意，分两步完成，先将6名工作人员

分成4组使其满足条件，再分配到四个县区，考查运算求解能力，是中档题.

16.在三棱锥S—A4C中，NSA4=NSC4=90'，底面A8C是等边三角形，三棱锥

S-A8C的体积为J5，则三棱锥S-ABC的外接球表面积的最小值是.

［答案］12兀

［解析］

［分析］

由条件可得SA是三棱锥S-A8C的外接球的一条直径，设三棱锥底面边长和高分别为小

/?.，根据体积公式可得=12,再由球心到底面的距离、求半径和底面外接圆半径的勾股

关系，得到代23,进而得解.

［详解］设三棱锥外接球的球心为O,三棱锥底面边长和高分别为mh.

由/SBA=NSCA=90°,可知SA是三棱锥S-ABC的外接球的一条直径，

所以。为SA的中点，

则球心到底面ABC的距离为d=2.底面ABC的外接圆半径为「，则r=.

23

则K》一冉A《R《C.=—3X~4~,即a%=12.

设三棱锥S-ABC的外接球半径为R,

l(II1n22J2121/2422h；

贝UR=r+d——QH—h=—+—=—+—H—23，

34h4/?/:4

2h2

当且仅当±=',即力=2时等号成立，

h4

故三棱锥S-ABC的外接球表面积为4万4212〃.

故答案为：12/r.

［点睛］解决与球有关的组合体的方法与策略：

1、一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转化为平面问题，从而寻找

几何体个元素的关系，结合球的截面的性质和/?2=r+［2,在行求解；

2、若球而上四点RA民C中「4夕反夕。两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造

长方体或正方体确定球的直径解决外接球向题.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或

演算步骤.17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，

考生根据要求作答.

17.在锐角△A8C中，角AB,C的时边分别为a/,c,8c边上的高为的面积

2

为5/5,〃sinAcosC+csinAcosB=JiocosA.

⑴求。和角A：

(2)求△ABC的周长.

［答案］(l)a=2,A=—；(2)iz+Z?+c=6.

3

［解析］

［分析］

⑴由AA8c面积为J5，求得。=2,在由题设条件和正弦定理，化简得到

sinA=J5cosA，进而得到tan4=J5，即可求得A的大小；

(2)由余弦定理和面积公式，列出方程组，求得久c•的值，进而求得AABC的周长.

［详解］(1)由AA8c中，8。边上的高为立〃，且面积为e，可得Lx立/=6，解

222

得。=2.

因为加inAcosC+csin4cosB=Gacos4，

可得sin8sinAcosC+sinCsinAcos8=sinAcosA，

因为Aw(0,7r),可得sinA工0,所以sin8cosc+sinCeos8=GeosA，

所以sinA=J5cosA，所以ianA=G，

又由Ae((),;r),所以A=三.

3

(2)由余弦定理可得"=b2+c2-2/?ccosA=h2+c2-bc=4<①，

因为AA8c的面积为G，所以L/"sinA=^^c=G，所以bc=4,②，

24

联立①解得〃=c=2,所以故△月片C的周长为。+/?+c=6.

［点睛］方法规律总结：对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，

利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三

角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用.

18.第31届世界大学生夏季运动会定于2021年8月18日一29日在成都举行，成都某机构

随机走访调查80天中的天气状况和当天到体育馆打乒乓球人次，整理数据如下表(单位:天):

打乒乓球人次

[0,1(X)](100.200](200,300]

天气状况

晴天21320

阴天4610

雨天645

雪天820

(1)若用样本频率作为总体概率，随机调查本市4天，设这4天中阴天的天数为随机变量X,

求X的分布列和数学期望.

⑵假设阴天和晴天称为“天气好”，雨天和雪天称为“天气不好”，完成下面的2x2列联表,

判断是否有99%的把握认为一天中到体育馆打乒乓球的人次与该市当天的天气有关?

人次”200人次＞200

天气好

天气不好

参考公式：K?=,其中〃=口十分十9十

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

参考数据:

Pg.k。)0.100.050.0100.001

k°2.7063.8416.63510.828

［答案］(1)分布列答案见解析，数学期望：1;(2)列联表答案见解析，有99%的把握认为•天

中到体育馆打兵乓球的人次与该市当天的天气有关.

［解析］

(|、

［分析］⑴由题意先求得随机变量X的可能取值，再得~84..由此可求得分布列和

分布列的期望：

(2)由已知数据得出列联表，由K?公式计算出R2,判断可得结论.

［详解］解：⑴由题意可知随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4.

设一天为阴天的概率为P，则-=4+才0=!，故X~6(4，!.

804I4J

P(X=0)=C：x(j\0(381P(X=l)=C；x(H27

X

a25664

SG川丁嗡…)y毋肌］

P(X=4)=C：x(升］|「=一

则X的分布列为

X01234

81272731

p

2566412864256

故EX=4x，=l.

4

(2)

人次”200人次＞200

天气好2530

入气不好205

则"0x(25x5_30x叽8335.

55x25x45x35

因为8.335〉6.635,所以有99%的把握认为一天中到体育馆打乒乓球的人次与该市当天的

天气有关.

［点睛］求随机变量概率分布列的步骤：

(I)找出随机变量的所有可能取值；

(2)求出取各值时的概率；

(3)列成表格：

(4)检验分布列.

注意分析随机变量是否满足特殊的分布列，如：两点分布，超几何分布，二项分布，正态分

布.

19.如图，%_L平面48CD,四边形A8CD为直角梯形，AD=2BC=2AB=6,

ADfIBC,ABA.BC.

D

/・*1

-----------V

⑴证明：PCVCD.

(2)若〃C=A。，点七在线段(7。上，且CE=2ED,求二面角A—Hs-C的余弦值.

［答案］(1)证明见解析；(2)叵.

13

［解析］

［分析］

(1)易知AC_LC£),再根据Q4_L平面ABC。，得到AP_LCO,利用线面垂直的判定定理

证得CO_L平面APC即可.

(2)以A为原点，分别以丽，而，丽的方向为x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系

A—M，Z,分别求得平面APE的一个法向量为3=(x，x，zJ和平面PCE的一个法向量为

fn=(x„y2,z2),设二面角人一心一。为依然后由cos6="旦求解.

|〃||加|

［详解］(1)如图所示：

由题意易知4c=疗式=3夜•

作C”_LAO,垂足为从则“=。"=3,

所以6=存7¥=30・

因为AO2=AC2+C£>2,

所以AC_LCZX

因为PAJ_平面ABCD.CDu平面ABCD,

所以A产_LCD.

因为ACu平面APCAPu平面APC,且ACC|AP=A，

所以CO_L平面APC.

因为PCu平面APC,

所以CO_L~C.

(2)因为PC=AO=6,AC=30，且尸AJ.AC,所以AP=辰匚/=3叵

以A为原点，分别以AA,A力,4户的方向为x，户z轴的正方向，建立如图所示的空间直角

坐标系A-Q，Z.

则A(0,0,0),F(l,5,0),C(3,3,0),P(0,0,36，

从而返二(1,5,0),AP=(0,0,3^),CE=(-2,2,0),CP=(一3,-3,3啦).

设平面APE的一个法向量为f?=(xp,y1,z1).

小衣=3生=0,

令％=5,得〃=(5,-1,0).

n-AE=%+5V[=0,

设平面PCE的一个法向量为团=(公,必，z?)，

m-CP=-3X-3y2+3x/2z=0,

22令占=1,得标=(1,L®

m-CE=-2X2+2y2=0,

设二面角A—PE—C为e,由图可知。为锐角，

则c°s*®=F=叵.

In||m|V26x213

［点睛］方法点睛：求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，

然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是

锐角还是钝角.

20.已知动点M到点尸(3,0)的距离比它到直线7:x+5=O的距离小2

(1)求动点M的轨迹£的方程

⑵过点尸作斜率为％(Aw。)的宜线/'与轨迹E交于点A、8,线段A3的垂直平分线交工

轴十点/V,证明：锵为定值

\FN\

［答案］(l)V=i2x：(2)证明见解析.

［解析］

［分析］(1)本题首先可根据题意得出动点M到点尸(3,0)的距离与到直线4：x+3=O距离

相等，然后根据抛物线的定义即可得出结果；

⑵本题可设直线/'的方程为工=)+3,8(%,%)，G为线段的中点，然

后通过联立直线方程与抛物线方程得出司+9=12r+6,并求出G点坐标，再然后写出

....\AB\

线段AA的垂直平分线的方程，并写出N点坐标,最后求出|FN|、以及鬲，即可

证得结论.

［详解］⑴因为动点M到点尸(3,0)的距离比它到直线/：工+5=0的距离小2,

所以动点M到点产(3,0)的距离与到直线/1：x+3=0距离相等,

由抛物线的定义可知，轨迹七是以b(3,0)为焦点、以直线工=-3为准线的抛物线,

故点M的轨迹E的方程为y2=12x.

(2)设直线/'的方程为无=)+3,

联立jy2A2x‘整理得)'-12)-36=0,

设A(x，yJ、3(%,%)，G为线段A8的中点，

则y+)'2=12f，%+毛=«/+%)+6=12?+6,G(6〃+3,67),

线段AB的垂直平分线的方程为)-6r=T(x—6/一3),N(6/+9,(),

22

|/W|=6r+9-3=6r+6,\AB\=xl+x2+6=\2t+\2,瑞=2,

出

故回|为定值.

［点睛］关键点点睛：本题考查动点的轨迹方程以及抛物线与直线的相关问题的求解，考查抛

物线的定义以及韦达定理的应用，能否求出N点坐标是解决本题的关键，考查直线方程的

求法，考查中点坐标的相关性质，考查计算能力，是中档题.

21.己知函数/(不)=(1一。一1)。1——x2+ax(x>0).

2

⑴讨论/")的单调性.

(2)当。42时，若/(力无最小值，求实数〃的取值范围.

［答案］(1)当心0时，/(X)在(0,1)上单调递减，在(1,+?)上单调递增;

当0<〃<1时，/(X)在(4,1)上单调递减，在(0,4)和(1,+?)上单调递增;

当々=1时，/(力在(0,+?)上单调递增；

当4>1时，/(元)在(1,4)上单调递减，在(0』),(。,y)上单调递增.

［解析］

［分析］

(1)对)(X)求导，然后对〃分类讨论分别得出/次勾所对应的3的取值范围即为函数的单调

增区间，所对应的X的取值范围即为函数的单调减区间，

⑵结合⑴中的单调性结论对函数的最小值进行讨论对于第四种情况，得出关于。的不等式

后，需要构造新的函数分析求解.

［详解懈:

(1)因为/(X)=(x-a-l)eA-1-+ar(.r>0),所以/*(%)=(x-6/)(^r-1-l)(x>0).

令/,x)=0，得x=〃或x=l.

①当aWO时，由得x>l；由四勾〈(),得0<xvl.

则/(x)在(()4)上单调递减，在(L+?)上单调递增；

②当Ocavl时，由得Ovxca或x>l：由得a<xvl.

则/(X)在(〃/)上单调递减，在(0,4)和(1,+?)上单调递增.

③当4=1时，/")3()恒成立，则/(X)在((),+?)上单调递增.

④当〃>1时，由制勾>(),得Ovx<l或X>4;由用X)<0,得1<X<4.

则”X)在(1,4)上单调递减，在(0,1)和(6”)上单调递增.

综上，当440时，/(“在(0,1)上单调递减，在(L+?)上单调递增；

当0VQC1时，/(X)在(4,1)上单调递减，在((),〃)和(1,+?)上单调递增：

当”=1时，〃X)在(0,+?)上单调递增：

当"I时，/(力在(1,。)上单调递减，在(0J)和(。，+8)上单调递增.

(2)0当心0时，由⑴可知/(X)在(0,1)上单调递减，在(1,+?)上单调递增，

则/(“有最小值"1)=［，故心0不符合题意.

②当