2025届广东省大湾区高三12月模拟联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省大湾区2025届高三12月模拟联考试题一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一是合题目要求的.1.设集合.则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】或，，所以.故选：C.2.已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】在复平面内对应的点为，∴在复平面内对应的点位于第一象限.故选：A.3.如图，某双曲线笔简的轴截面曲线部分为一条离心率为且焦距为的双曲线的一部分.忽略笔筒的厚度，该笔筒中间最窄处的直径为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依题意可得，所以，所以该笔筒中间最窄处的直径为.故选：B.4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】〖祥解〗.故选：A.5.已知向量，若，则实数的值为（）A.4 B.或1 C. D.4或【答案】B【解析】将两边平方，得，由得，即，解得或1.故选：B.6.已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】注意到函数图象在0,+∞上连续不间断，因为在0,+∞上均单调递增，则在0,+∞上单调递增.对于A，.因函数在0,+∞上单调递增，所以，则在上无零点，故A错误；对于B，因为在0,+∞上单调递减，则，结合，故在上存在零点，故正确；对于CD，由于在0,+∞上单调递增，，可知C､D都是错误的.故选：B.7.已知随机变量服从正态分布服从二项分布，则（）A. B.C.， D.【答案】D【解析】，故AB错误；，故C错误；根据正态分布的对称性可得，故D正确.故选:D.8.已知，其中相邻的两条对称轴的距离为，且经过点，则关于的方程在上的不同解的个数为（）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】A【解析】由已知相邻两条对称轴距离为，可得，又，可得，由函数经过点，则，即，又，可得，所以，因为函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，所以在函数有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，由图可知，两函数图象有6个交点，故选：A.二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.为了弘扬奥运会中我国射击队顽强拼博的布斗精神，某校射击兴趣小组组织了校内射击比赛，得到8名同学的射击环数为：6，6，7，8，9，9，9，10（位：环），则这组样本数据的（）A.极差为4 B.平均数是8C.75%分位数是9 D.方差为4【答案】ABC【解析】将这组数据从小到大排序，得，这组数据的极差为，故A正确；平均数为，故B正确；因为，所以第75%分位数为，故C正确；方差，故D错误.故选：ABC10.设函数，则（）A.有三个零点B.是的极小值点C.的图象关于点中心对称D.当时，【答案】BC【解析】对于A，令，解得或，所以有两个零点，故A选项错误；对于B，由，令，解得或，当或时，f'x>0，即在和1,+∞上单调递增，当时，f'x<0，即在-1,1所以是的极小值点，故B选项正确；对于C，因为，则的图象关于点中心对称，故C选项正确；对于D，当x∈-1,1时，单调递减，则当时，单调递减，又当时，，所以，故D选项错误；故选：BC.11.曲线上任点，满足点到定点的距离与到定直线的距离之和为6，则下列说法中正确的有（）A.曲线经过原点B.曲线关于轴对称C.曲线上点的横坐标的取值范围为D.直线被曲线截得的线段长为【答案】ABD【解析】设点Px,y，因为点到定点的距离与到定直线的距离之和为6，所以，当时，得，两边同平方，得；当时，得，两边同平方，得，对于A，如图，曲线过原点，A正确；对于B，由图易知，两段抛物线弧均关于轴对称，故曲线关于轴对称，B正确；对于C，若点Px,y在上，得，所以，若点Px,y在上，同理得，C错误；对于D，由，得或（舍去），由，得或（（舍去），故与曲线交于点，则，可得，D正确.故选：ABD.三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.二项式的展开式中的系数是__________.【答案】【解析】的展开式的通项为.令，则，故的系数是.故答案为：6013.在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为，母线长最短，最长，则斜截圆柱的体积为__________【答案】【解析】将如图所示的相同的两个几何体拼接为圆柱，则圆柱底面半径为，高为，体积为，则该几何体的体积为圆柱体积的一半，即.故答案为：14.若直线（为常数）与曲线，曲线均相切，则__________.【答案】【解析】因为，所以，设直线与fx=lnx的切点为，则切线方程为，即，又因为，所以解得，所以切线方程为，因为，所以，设直线与的切点为，所以①，又因为切点在直线上，所以②，由①和②可得，所以，解得.故答案为：四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､运用过程及演算步骤.15.在中，内角的对边分别为.已知.（1）求角的大小；（2）已知.求的面积.解:（1）因为，即，解得或.因为在中，，所以.（2）在中，由余弦定理，得，整理得，由，解得，所以的面积为.16.如图，在三棱柱中，侧面是边长为2的菱形，其对角线交于点.且平面.（1）求证：平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.（1）证明：因为四边形是菱形，所以，又因为平面，且平面，所以.又平面，所以平面.（2）解：方法1，由，四边形为菱形，，则是边长为2的等边三角形.所以.因为平面，则以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.则，则，设平面的一个法向量为n=x,y,z则，取，则，故，易知平面的一个法向量为，则平面与平面夹角的余弦值，故平面与平面夹角的余弦值为；方法2，由，四边形为菱形，，则是边长为2的等边三角形，所以，所以.取中点，连接，在等腰直角中，且，由勾股定理得.因为，则，.注意到，平面平面，所以平面与平面的夹角即为.在中，，则，即，故平面与平面夹角的余弦值为.17.已知函数.（1）判断函数的单调性；（2）若恒成立，求的值.解:（1）函数的定义域为，当时，恒成立，在上单调递增.当时，由，得，由，得，则函数上单调递减，在上单调递增.综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）知，当时，在上单调递增，由，知当时，，不符合题意；当时，函数在上单调递减，在上单调递增，故，由恒成立，得恒成立，令，求导得，当时，，当时，，于是函数在上单调递增，在上单调递减，所以，故恒成立，因此，所以.18.已知椭圆的焦点为，为椭圆上一点且的周长为.（1）求椭圆的方程.（2）若直线过点交椭圆于两点，且线段的垂直平分线与轴的交点（i）求直线的方程；（ii）已知点，求的面积.解:（1）根据题意有，解得，所以椭圆的方程为.（2）（i）若直线的斜率不存在，其垂直平分线与轴重合，不符合题意；不妨设直线的方程为的中点为，设，与椭圆方程联立有，整理得，直线过椭圆焦点，必有，则，所以，由题意知，即，解得，即，整理得直线的方程为或（ii）由弦长公式可知，由直线的对称性，知点到两条直线的距离相同，即，所以的面积为.19.已知数列是由正整数组成的无穷数列.若存在常数，对任意的成立，则称数列具有性质.（1）若，请判断数列是否具有性质；（2）若数列满足，求证：“数列具有性质”是“数列为常数列”的充要条件；（3）已知数列中，且.若数列只有性质，求数列的通项公式.解:（1），对于，故，所以数列不具有“性质”.（2）先证“充分性”：当数列具有“性质”时，有，又因为，所以，进而有，结合有，即“数列为常数列”；再证“必要性”：若“数列为常数列”，则有，即“数列具有”性质.（3）首先证明：，因为具有"性质，所以，当时，有，又因为，且，所以有，进而有，所以，结合可得，然后利用反证法证明：，假设数列中存在相邻的两项之差大于2，即存在满足：或，进而有，又因为，所以，依此类推可得：，矛盾，所以有，综上有，结合可得，经验证，该通项公式满足，所以.广东省大湾区2025届高三12月模拟联考试题一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一是合题目要求的.1.设集合.则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】或，，所以.故选：C.2.已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】在复平面内对应的点为，∴在复平面内对应的点位于第一象限.故选：A.3.如图，某双曲线笔简的轴截面曲线部分为一条离心率为且焦距为的双曲线的一部分.忽略笔筒的厚度，该笔筒中间最窄处的直径为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依题意可得，所以，所以该笔筒中间最窄处的直径为.故选：B.4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】〖祥解〗.故选：A.5.已知向量，若，则实数的值为（）A.4 B.或1 C. D.4或【答案】B【解析】将两边平方，得，由得，即，解得或1.故选：B.6.已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】注意到函数图象在0,+∞上连续不间断，因为在0,+∞上均单调递增，则在0,+∞上单调递增.对于A，.因函数在0,+∞上单调递增，所以，则在上无零点，故A错误；对于B，因为在0,+∞上单调递减，则，结合，故在上存在零点，故正确；对于CD，由于在0,+∞上单调递增，，可知C､D都是错误的.故选：B.7.已知随机变量服从正态分布服从二项分布，则（）A. B.C.， D.【答案】D【解析】，故AB错误；，故C错误；根据正态分布的对称性可得，故D正确.故选:D.8.已知，其中相邻的两条对称轴的距离为，且经过点，则关于的方程在上的不同解的个数为（）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】A【解析】由已知相邻两条对称轴距离为，可得，又，可得，由函数经过点，则，即，又，可得，所以，因为函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，所以在函数有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，由图可知，两函数图象有6个交点，故选：A.二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.为了弘扬奥运会中我国射击队顽强拼博的布斗精神，某校射击兴趣小组组织了校内射击比赛，得到8名同学的射击环数为：6，6，7，8，9，9，9，10（位：环），则这组样本数据的（）A.极差为4 B.平均数是8C.75%分位数是9 D.方差为4【答案】ABC【解析】将这组数据从小到大排序，得，这组数据的极差为，故A正确；平均数为，故B正确；因为，所以第75%分位数为，故C正确；方差，故D错误.故选：ABC10.设函数，则（）A.有三个零点B.是的极小值点C.的图象关于点中心对称D.当时，【答案】BC【解析】对于A，令，解得或，所以有两个零点，故A选项错误；对于B，由，令，解得或，当或时，f'x>0，即在和1,+∞上单调递增，当时，f'x<0，即在-1,1所以是的极小值点，故B选项正确；对于C，因为，则的图象关于点中心对称，故C选项正确；对于D，当x∈-1,1时，单调递减，则当时，单调递减，又当时，，所以，故D选项错误；故选：BC.11.曲线上任点，满足点到定点的距离与到定直线的距离之和为6，则下列说法中正确的有（）A.曲线经过原点B.曲线关于轴对称C.曲线上点的横坐标的取值范围为D.直线被曲线截得的线段长为【答案】ABD【解析】设点Px,y，因为点到定点的距离与到定直线的距离之和为6，所以，当时，得，两边同平方，得；当时，得，两边同平方，得，对于A，如图，曲线过原点，A正确；对于B，由图易知，两段抛物线弧均关于轴对称，故曲线关于轴对称，B正确；对于C，若点Px,y在上，得，所以，若点Px,y在上，同理得，C错误；对于D，由，得或（舍去），由，得或（（舍去），故与曲线交于点，则，可得，D正确.故选：ABD.三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.二项式的展开式中的系数是__________.【答案】【解析】的展开式的通项为.令，则，故的系数是.故答案为：6013.在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为，母线长最短，最长，则斜截圆柱的体积为__________【答案】【解析】将如图所示的相同的两个几何体拼接为圆柱，则圆柱底面半径为，高为，体积为，则该几何体的体积为圆柱体积的一半，即.故答案为：14.若直线（为常数）与曲线，曲线均相切，则__________.【答案】【解析】因为，所以，设直线与fx=lnx的切点为，则切线方程为，即，又因为，所以解得，所以切线方程为，因为，所以，设直线与的切点为，所以①，又因为切点在直线上，所以②，由①和②可得，所以，解得.故答案为：四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､运用过程及演算步骤.15.在中，内角的对边分别为.已知.（1）求角的大小；（2）已知.求的面积.解:（1）因为，即，解得或.因为在中，，所以.（2）在中，由余弦定理，得，整理得，由，解得，所以的面积为.16.如图，在三棱柱中，侧面是边长为2的菱形，其对角线交于点.且平面.（1）求证：平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.（1）证明：因为四边形是菱形，所以，又因为平面，且平面，所以.又平面，所以平面.（2）解：方法1，由，四边形为菱形，，则是边长为2的等边三角形.所以.因为平面，则以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.则，则，设平面的一个法向量为n=x,y,z则，取，则，故，易知平面的一个法向量为，则平面与平面夹角的余弦值，故平面与平面夹角的余弦值为；方法2，由，四边形为菱形，，则是边长为2的等边三角形，所以，所以.取中点，连接，在等腰直角中，且，由勾股定理得.因为，则，.注意到，平面平面，所以平面与平面的夹角即为.在中，，则，即，故平面与平面夹角的余弦值为.17.已知函数.（1）判断函数的单调性；（2）若恒成立，求的值.解:（1）函数的定义域为，当时，恒成立，在上单调递增.当时，由，得，由，得，则函数上单调递减，在上单调递增.综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）知，当时，在上单调递增，由，知当时，，不符合题意；当时