2024-2025学年北京市东城区高一上学期期末考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市东城区高一上学期期末考试数学试题一、单选题：本大题共10小题，共50分。1.已知集合M={x∣−3<x<0},N={x∣−1≤x<4}，则M∩N=(

)A.{x∣−1≤x<0} B.{x∣x>−3}

C.{x∣−3<x<4} D.{x∣x<4}2.下列函数中，与函数f(x)=x有相同图象的是(

)A.f(x)=lnex B.f(x)=elnx3.下列函数中，是奇函数的是(

)A.f(x)=3x+13x B.f(x)=x−4.已知sinα−π6=3A.35 B.−35 C.45.如图，函数f(x)的图象为折线段ABC，则不等式fx≥x−22的解集是(

)A.[−2,0]∪[3,4] B.(−∞,0]∪[3,+∞)

C.(0,3) D.0,36.已知α∈R，则“α∈0,π2”是“sin(π−α)=A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.设a=0.41.6,b=0.4A.a<b<c B.b<c<a C.b<a<c D.a<c<b8.将函数fx的图象向右平移1个单位长度，所得图象与函数gx=xA.−6 B.−2 C.2 9.已知x,y∈R，则(

)A.log22x−1+2y−1≤x+y10.已知函数f(x)=12x−1,x<0ax−x2,x≥0，其中a∈R.若f(x)在(−1,t)A.(−1,0] B.(0,2] C.(2,4] D.(4,+∞)二、填空题：本大题共5小题，共25分。11.函数f(x)=1x−3的定义域为

12.已知a,b,c∈R，命题p：若a>b>c，则ab2<cb2.能说明p为假命题的一组a，b，c的值为a=

，b=

，13.已知函数f(x)为R上的奇函数，且在[0,+∞)上单调递增，f(2)=1，若−1≤f(3x−1)≤0，则x的取值范围是

．14.已知α∈[0,2π)，若点(sinα−cosα,tanα−sin15.已知fx是定义在R上的函数，若∃T∈R，且T≠0，使得∀x∈R，都有fx+T=Tfx，则称函数f①函数fx=x具有性质②函数fx=sin③若函数fx具有性质P，且fx是偶函数，则④若函数fx具有性质P，且fx是奇函数，则T,0是其中所有正确结论的序号是

．三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(1)计算求值：827(2)解关于x的不等式：(ⅰ)2x−3(ⅱ)x217.已知函数f(x)=sin2x+(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)当x∈−π6,18.在某种药物研究试验中发现其在血液内的浓度y(单位：毫克/毫升)与时间t(单位：小时)满足函数关系y=alnt+1,0≤t≤2kt,t>2，其中a，k为大于0的常数．已知该药物在血液内的浓度是一个连续变化的过程，且在(1)直接写出a，k的值；(2)当该药物浓度不小于最大值一半时，称该药物有效．求该药物有效的时间长度T(单位：小时)．19.已知函数f(x)=loga(1)若f14=2(2)当0<a<1时，若函数g(x)=fx在a,2a上的最大值与最小值的差为12(3)设函数ℎ(x)=a−2x−f(x)，当5<a<6时，ℎ(x)的零点x0∈(m,m+1)m∈N20.已知函数f(x)=ex+x+3,x≤0,−x2(1)求m及f(−1)的值；(2)求证：∀x∈(−∞,1)，都有x+3<f(x)≤x+4；(3)若函数g(x)=|f(x)−(x+n)|(n∈R)在(−∞,1)上存在最大值，直接写出n的取值范围．21.已知集合A,B,A⊆Z,B⊆Z,A,B中都至少有3个元素，且A，B满足：①∀x,y∈A，且x≠y，总有|x+y|∈B；②∀x,y∈B，且x≠y，总有|x−y|∈A．(1)若集合B={1,2,3}，直接写出所有满足条件的集合A；(2)已知−1∈A，(ⅰ)若x,y∈A，且y>x>0，求证：y−x∈A．(ⅱ)求证：N∗⊆A．参考答案1.A

2.A

3.B

4.B

5.D

6.A

7.C

8.B

9.B

10.C

11.3,+∞

12.1(答案不唯一，满足a>b>c即可)

；

；

；0；−1

13.−114.π415.②③④

16.(1)原式=3(2)(ⅰ)因为2x−3x−1>1，可得等价于x−2x−1>0，解得x>2或所以不等式的解集为xx2或(ⅱ)因为x2<ax(a∈R)，即令xx−a=0，解得x=0或若a>0，不等式解集为x|0<x<a；若a=0，不等式解集为⌀；若a<0，不等式解集为x|a<x<0．

17.(1)因为f(x)=sin所以f(x)的最小正周期T=2π令2kπ−π2≤2x+所以f(x)的单调递增区间kπ−π(2)因为x∈−π6,π当2x+π6=π2，即x=当2x+π6=−π6或2x+π6=7π

18.(1)因为该药物在血液内的浓度是一个连续变化的过程，函数y=alnt+1,0≤t≤2k所以a>0，aln所以a=2，k=4ln(2)由(1)y=令y≥ln若0≤t≤2，则2lnt+1≥若t>2，则4ln3t所以该药物有效的时间长度T为4−3−1

19.(1)因为f14=lo且a>0,a≠1，所以a=1(2)因为0<a<1，当x∈(0,1)时，logax>0可知g(x)=fx在(0,1)内单调递减，在且g(a)=1，g(1)=0，若函数g(x)=fx在a,2a上的最大值与最小值的差为12，可得2a<1可知g(x)在a,2a上单调递减，则logaa−lo所以a的值为14(3)因为ℎ(x)=a−2x−logax又因为y=a−2x,y=−logax可知ℎ(x)在0,+∞内单调递减，且a−4>1,log可得ℎ2则ℎ(x)的唯一零点x0∈(2,3)，所以

20.(1)∵函数f(x)=ex+x+3,x≤0,−x2+mx+4,0<x<1∴f(x)=e故f(−1)=e(2)证明：由(1)知f(x)=当x≤0时，∵0<e∴x+3<e当0<x<1时，∵0<x∴−1<−x2<0综上，∀x∈(−∞,1)，都有x+3<f(x)≤x+4．(3)由(1)知g(x)=f(x)−(x+n)当x≤0时，∵0<ex≤1当0<x<1时，∵0<x2<1当n≥4时，g(x)=由于函数y=−ex−3+n在(−∞,0]上单调递减，函数y=故函数g(x)=f(x)−(x+n)=−当n≤3时，g(x)=由于函数y=ex+3−n在(−∞,0]上单调递增，函数y=−故当x=0时，函数g(x)=f(x)−(x+n)=e当3<n<4时，不妨设方程g(x)=0的两根分别为x1(xg(x)=|f(x)−(x+n)|={易知函数g(x)在(−∞,x1)和(0,x2要使函数g(x)=f(x)−(x+n)在(−∞,1)上存在最大值，需使g(0)≥n−33<n<4，即4−n≥n−33<n<4综上，若函数g(x)=|f(x)−(x+n)|(n∈R)在(−∞,1)上存在最大值，n的取值范围为(−∞,7

21.(1)因为B={1,2,3}，又∀x,y∈B，且x≠y，总有|x−y|∈A，所以3−1∈A,3−2∈A，即1∈A,2∈A，设t∈A,t≠1,t≠2，由∀x,y∈A，且x≠y，总有|x+y|∈B，可得t+1∈B,所以t=0或t=−3或t=−4，但−3+−4所以满足条件的集合A有0,1,2，−3,1,2，−3,0,1,2，−4,1,2；(2)(ⅰ)又−1∈A，x,y∈A，y>x>0，A⊆Z，由①知，y+−1=y−1∈B，由②知，y−1−x−1(ⅱ)因为B中至少有3个元素，B⊆Z，不妨设B=p,q,r，其中p<q<r，p,q,r则q−p,r−p,所以A中至少存在两个正整数，不妨设m,n∈N∗，m,n∈A，m<n，又由①知，m−1=m+−1∈B，n−1=n+−1由②知，n+m−m−1=n+1∈A，故由m,n∈