2024届内蒙古鄂尔多斯市西四旗高三上学期期末综合模拟数学试题（理）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1内蒙古鄂尔多斯市西四旗2024届高三上学期期末综合模拟数学试题（理）一、选择题1.集合，则间的关系是（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，，则，，，选项A、C、D错误，B正确.故选：B.2.设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为z在复平面内对应的点为，所以，则，又，所以，即.故选：C．3.已知符号函数，则“”是“”的（

）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，则同号，所以或，即或，即，所以“”是“”的充要条件.故选：A4.已知单位向量与单位向量的夹角为，则（

）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】，故.故选：D.5.教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应不超过.经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（参考数据：）（

）A.11分钟 B.13分钟 C.15分钟 D.17分钟【答案】B【解析】由题意得，当时，，将其代入解析式，解得，故解析式为，令，解得，化简得，结合，可得，所以该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为13分钟.故选：B.6.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能为（）A.1.2 B.1.3 C.1.4 D.1.5【答案】D【解析】由题意得，正方体的正视图的面积最小为（为正方体的一个面），正方体的正视图的面积最大为（为正方体的对角面），所以正方体正视图的面积取值范围为，无法取得1.5.故选：D.7.执行如图所示的程序框图，若输入的，则（）A.输出的的最小值为，最大值为5 B.输出的的最小值为，最大值为6C.输出的的最小值为，最大值为5 D.输出的的最小值为，最大值为6【答案】D【解析】作出不等式组表示的可行域，如图，联立可得，联立可得，由图可知，当直线过点时，取得最大值5，当直线过点时，取得最小值，因为，且，所以输出的最小值为，最大值为6.故选：D8.函数的最小值为（

）A. B. C.0 D.1【答案】B【解析】因为，所以函数的最小值为.故选：B.9.已知数列，且，则数列的前2023项之和为（

）A.2 B.3 C.2023 D.2024【答案】A【解析】数列中，，且，所以令，得，令，得，同理可得，所以，所以数列的前2023项之和等于数列的第1项，等于2.故选：A10.已知，是椭圆的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，为等腰直角三角形，且，则C的离心率为（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图所示，由椭圆，得到左顶点，又由过点且斜率为的直线，可得方程为，因为为等腰直角三角形，且，可得，代入直线，可得，整理得，所以椭圆的离心率为.故选：A.11.已知函数，若方程在区间上恰有3个实根，则的取值范围是（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，由，即，在区间上恰有3个实根，则，解得.故选：D12.若过点可以作三条直线与曲线：相切，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】设一个切点为，则由，可得该点处的切线方程，当经过点时，有，即，则过点切线的条数即为方程的解的个数.设，则，当或时，当时，，所以在，上单调递减，在上单调递增.当时，，当时，，又由，，可得时，有三个解，故选：D.二、填空题13.已知双曲线：的焦距为8，则双曲线的焦点到渐近线的距离为________.【答案】【解析】由题意可知：，且焦点在x轴上，则，不妨设其中一个焦点为，渐近线为，即，所以双曲线的焦点到渐近线的距离为.故答案为：.14.德国大数学家高斯被誉为数学界的王子.在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，此方法也称为高斯算法.现有函数，则=_______.【答案】【解析】由函数，可得，令，两式相加，可得，所以.故答案为：.15.下列四个命题中为真命题的是_________.（写出所有真命题的序号）①若随机变量服从二项分布，则其方差；②若随机变量服从正态分布，且，则；③已知一组数据的方差是3，则的方差是6；④对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是.【答案】①②④【解析】对于①，若随机变量服从二项分布，则其方差，故①正确；对于②，若随机变量服从正态分布，且，则，故②正确；对于③，已知一组数据的方差是3，则的方差是，故③错误；对于④，对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则，则，即实数的值是，故④正确.故答案为：①②④16.已知都在球的球面上，且平面．在球内任取一点，则该点落在三棱锥内的概率为______．【答案】【解析】由题可知，所以，如图设外接圆的圆心为，连接取中点为，连接，则平面，因为，所以，所以四边形为矩形，所以，在中，，由正弦定理得，所以球O的半径，所以，所以在球内任取一点，则该点落在三棱锥内的概率为故答案为：三、解答题（一）必考题17.在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足______．（1）求C；（2）点D在边AB上，且，，求．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．解：（1）选条件①：由，可得，由正弦定理得，因为，所以，所以，故，又，于是，即，因为，所以．选条件②：由题意知，由正弦定理得，所以，由余弦定理得，又，所以．（2）由（1）得，故，在中，由正弦定理得，又，所以，在中，，因为，故，即，故．又由（1）知，所以，解得，可得．18.为了检查工厂生产的某产品的质量指标，随机抽取了部分产品进行检测，所得数据统计如下图所示.（注：产品质量指标达到130及以上为优质品）；（1）求的值以及这批产品的优质率；（2）以本次抽检的频率作为概率，从工厂生产的所有产品中随机抽出件，记这件中优质产品的件数为，求的分布列与数学期望.解：（1）因为，所以，产品质量指标超过130的频率为，所以这批产品的优质率为；（2）因为抽到产品为优质产品的频率为0.25，以频率作为概率，所以每件产品为优质产品的概率为，所以4件产品中优质产品的件数，则，，所以，，，，，所以的分布列为01234P.19.如图，在中，分别为的中点，为的中点，，.将沿折起到的位置，使得平面平面，如图．（1）求证：．（2）线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．（1）证明：，分别为中点，，即，为中点，，又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，.（2）解：取中点，连接，，为中点，，即，，；则以坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，假设在线段上存在点，使得直线和所成角的余弦值为，设，则，，，整理可得：，解得：，存在满足题意的点，此时.20.在平面直角坐标系中，已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2.（1）求曲线的方程；（2）已知是曲线上一点，是曲线上异于点的两个动点，设直线、的倾斜角分别为，且，则直线是否经过定点？若是，请求出该定点，若不是，请说明理由.解：（1）设为曲线上任意一点，依题意，点到点的距离与到直线的距离相等，所以点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线的方程为；（2）由（1）可得，当直线､中其中一条的斜率不存在时，不妨设，，易得，直线的直线为，与联立，可得，故直线的方程为；当直线､的斜率都存在时，设直线､的斜率分别为，设，所以，同理可得，因为，所以，所以，即，所以，所以，即，由题意，斜率不为0，设方程为，联立，消整理得，所以，，，所以，即，所以，令，得，，此时有定点，当直线､中其中一条的斜率不存在时，直线过，符合题意.综上所述，直线经过定点21.已知函数.（1）当时，求在区间上的最值；（2）若有两个不同的零点，证明：.（1）解：当时，，.由，得；由，得，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.因为，，所以在区间上的最大值为0，最小值为.（2）证明：.当时，在上单调递减，不可能有两个零点，舍去；当时，所以，由，得，所以在上单调递增；由，得，所以在上单调递减.所以当时，取得极大值，极大值为，为满足题意，必有，得.因为是两个不同的零点，所以，两式相减得.设，要证，只需证，即证.设，只需证，设，则，所以在上为增函数，从而，所以成立，从而（二）选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系中，射线l的方程为，曲线C的方程为．以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求射线l和曲线C的极坐标方程；（2）若射线l与曲线C交于点P，将射线绕极点按逆时针方向旋转交C于点Q，求的面积．解：（1）将代入得，所以，所以射线l的极坐标方程为,将代入得,所以曲线C的极坐标方程为;（2）由题可知，可以设，，则，，所以,所以.[选修4—5：不等式选讲]23.已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若函数的最小值为，且（，）.求证：（1）解：因为，所以不等式等价于或或，解得或或，综上可得不等式的解集为.（2）证明：由（1）可得，当且仅当时取得，所以，又，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以原不等式成立.

内蒙古鄂尔多斯市西四旗2024届高三上学期期末综合模拟数学试题（理）一、选择题1.集合，则间的关系是（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，，则，，，选项A、C、D错误，B正确.故选：B.2.设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为z在复平面内对应的点为，所以，则，又，所以，即.故选：C．3.已知符号函数，则“”是“”的（

）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，则同号，所以或，即或，即，所以“”是“”的充要条件.故选：A4.已知单位向量与单位向量的夹角为，则（

）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】，故.故选：D.5.教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应不超过.经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（参考数据：）（

）A.11分钟 B.13分钟 C.15分钟 D.17分钟【答案】B【解析】由题意得，当时，，将其代入解析式，解得，故解析式为，令，解得，化简得，结合，可得，所以该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为13分钟.故选：B.6.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能为（）A.1.2 B.1.3 C.1.4 D.1.5【答案】D【解析】由题意得，正方体的正视图的面积最小为（为正方体的一个面），正方体的正视图的面积最大为（为正方体的对角面），所以正方体正视图的面积取值范围为，无法取得1.5.故选：D.7.执行如图所示的程序框图，若输入的，则（）A.输出的的最小值为，最大值为5 B.输出的的最小值为，最大值为6C.输出的的最小值为，最大值为5 D.输出的的最小值为，最大值为6【答案】D【解析】作出不等式组表示的可行域，如图，联立可得，联立可得，由图可知，当直线过点时，取得最大值5，当直线过点时，取得最小值，因为，且，所以输出的最小值为，最大值为6.故选：D8.函数的最小值为（

）A. B. C.0 D.1【答案】B【解析】因为，所以函数的最小值为.故选：B.9.已知数列，且，则数列的前2023项之和为（

）A.2 B.3 C.2023 D.2024【答案】A【解析】数列中，，且，所以令，得，令，得，同理可得，所以，所以数列的前2023项之和等于数列的第1项，等于2.故选：A10.已知，是椭圆的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，为等腰直角三角形，且，则C的离心率为（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图所示，由椭圆，得到左顶点，又由过点且斜率为的直线，可得方程为，因为为等腰直角三角形，且，可得，代入直线，可得，整理得，所以椭圆的离心率为.故选：A.11.已知函数，若方程在区间上恰有3个实根，则的取值范围是（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，由，即，在区间上恰有3个实根，则，解得.故选：D12.若过点可以作三条直线与曲线：相切，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】设一个切点为，则由，可得该点处的切线方程，当经过点时，有，即，则过点切线的条数即为方程的解的个数.设，则，当或时，当时，，所以在，上单调递减，在上单调递增.当时，，当时，，又由，，可得时，有三个解，故选：D.二、填空题13.已知双曲线：的焦距为8，则双曲线的焦点到渐近线的距离为________.【答案】【解析】由题意可知：，且焦点在x轴上，则，不妨设其中一个焦点为，渐近线为，即，所以双曲线的焦点到渐近线的距离为.故答案为：.14.德国大数学家高斯被誉为数学界的王子.在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，此方法也称为高斯算法.现有函数，则=_______.【答案】【解析】由函数，可得，令，两式相加，可得，所以.故答案为：.15.下列四个命题中为真命题的是_________.（写出所有真命题的序号）①若随机变量服从二项分布，则其方差；②若随机变量服从正态分布，且，则；③已知一组数据的方差是3，则的方差是6；④对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是.【答案】①②④【解析】对于①，若随机变量服从二项分布，则其方差，故①正确；对于②，若随机变量服从正态分布，且，则，故②正确；对于③，已知一组数据的方差是3，则的方差是，故③错误；对于④，对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则，则，即实数的值是，故④正确.故答案为：①②④16.已知都在球的球面上，且平面．在球内任取一点，则该点落在三棱锥内的概率为______．【答案】【解析】由题可知，所以，如图设外接圆的圆心为，连接取中点为，连接，则平面，因为，所以，所以四边形为矩形，所以，在中，，由正弦定理得，所以球O的半径，所以，所以在球内任取一点，则该点落在三棱锥内的概率为故答案为：三、解答题（一）必考题17.在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足______．（1）求C；（2）点D在边AB上，且，，求．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．解：（1）选条件①：由，可得，由正弦定理得，因为，所以，所以，故，又，于是，即，因为，所以．选条件②：由题意知，由正弦定理得，所以，由余弦定理得，又，所以．（2）由（1）得，故，在中，由正弦定理得，又，所以，在中，，因为，故，即，故．又由（1）知，所以，解得，可得．18.为了检查工厂生产的某产品的质量指标，随机抽取了部分产品进行检测，所得数据统计如下图所示.（注：产品质量指标达到130及以上为优质品）；（1）求的值以及这批产品的优质率；（2）以本次抽检的频率作为概率，从工厂生产的所有产品中随机抽出件，记这件中优质产品的件数为，求的分布列与数学期望.解：（1）因为，所以，产品质量指标超过130的频率为，所以这批产品的优质率为；（2）因为抽到产品为优质产品的频率为0.25，以频率作为概率，所以每件产品为优质产品的概率为，所以4件产品中优质产品的件数，则，，所以，，，，，所以的分布列为01234P.19.如图，在中，分别为的中点，为的中点，，.将沿折起到的位置，使得平面平面，如图．（1）求证：．（2）线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．（1）证明：，分别为中点，，即，为中点，，又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，.（2）解：取中点，连接，，为中点，，即，，；则以坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，假设在线段上存在点，使得直线和所成角的余弦值为，设，则，，，整理可得：，解得：，存在满足题意的点，此时.20.在平面直角坐标系中，已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2.（1）求曲线的方程；（2）已知是曲线上一点，是曲线上异于点的两个动点，设直线、的倾斜角分别为，且，则直线是否经过定点？若是，请求出该定点，若不是，请说明理由.解：（1）设为曲线上任意一点，依题意，点到点的距离与到直线的距离相等，所以点的