【八年级上册数学浙教版】第10讲 勾股定理与勾股定理逆定理-【专题突破】（原卷版）

第第页第10讲勾股定理与勾股定理逆定理考点一勾股定理【知识点睛】直角三角形勾股定理在Rt△ABC中，两直角边的平方和=斜边的平方，即常见变形：；；注意事项：当直角三角形的给出的两边没有说明是什么边长时，利用勾股定理求长度时通常需要分类讨论直角三角形求长度其他常用相关性质有：直角三角形斜边上的中线=½斜边长等腰三角形的两腰长相等；等腰三角形的“三线合一”中垂线的性质定理；勾股定理常见面积模型图形结论总结当分别以直角三角形的三边为边（或底边、半径）做规则的正方形、等边三角形、等腰直角三角形、半圆时，均满足两直角边所做图形的面积和等于斜边所做图形的面积【类题训练】1．直角三角形的两条边长a，b满足，则其斜边长为（）A．5 B． C．4或5 D．或52．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝3，BC＝4，CD是△ABC的中线，则AD的长为（）A．2 B．2.5 C．4 D．53．如图，在3×3的正方形网格中，若小正方形的边长是1，则任意两个格点间的距离不可能是（）A．2 B．2 C． D．4．我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明．古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．5．如图，有一个水池，水面是一边长为8尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池的一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度是（）尺．A．7.5 B．8 C． D．96．为预防新冠疫情，学校大门入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离AB＝2.3米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为1.7米的学生CD正对门缓慢走到离门0.8米处时（即BC＝0.8米），测温仪自动显示体温，此时人头顶到测温仪的距离AD等于（）A．1.0米 B．1.25米 C．1.2米 D．1.5米7．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4．若S1＝48，S2+S3＝135，则S4＝（）A．183 B．87 C．119 D．818．如图Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝10，点F是BA延长线上一点，过点F作FD∥BC，交CA延长线于点D，点E是CD的中点，若BF＝12，DF＝5，则EF的长是（）A．3 B．5 C．6.5 D．69．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，若AC+BC＝3.5，AB＝2.5，则CD的长为（）A．1 B．1.2 C．1.25 D．1.510．代数学家赵爽为了证明勾股定理，构造了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图，大正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，若∠ADE＝∠AED，AD＝4，则△ADE的面积为（）A．24 B．6 C．2 D．211．勾股定理在平面几何中有着不可替代的重要地位，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，如图1是由边长均为1的小正方形和Rt△ABC构成，可以用其面积关系验证勾股定理，将图1按图2所示“嵌入”长方形LMJK，则该长方形的面积为（）A．60 B．100 C．110 D．12112．如图，将一副三角尺叠放在一起，若AB＝2cm，则AF的长为cm．13．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，若AD＝3，BC＝5，则AB2+CD2＝．14．如图，一架梯子AB斜靠在某个胡同竖直的左墙上，顶端在点A处，底端在水平地面的点B处，保持梯子底端B的位置不变，将梯子斜靠在竖直的右墙上，此时梯子的顶端在点E处．已知顶端A距离地面的高度AC为2米，BC为1.5米．（1）梯子的长为米；（2）若顶端E距离地面的高度EF比AC多0.4米，则胡同的宽CF为米．15．如图，已知，∠MON＝∠BAC＝90°，且点A在OM上运动，点B在ON上运动，若AB＝8，AC＝6，则OC的最大值为．16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，，，分别以Rt△ABC的三条边AC、AB、BC为直径画半圆，则两个月牙形图案的面积之和（阴影部分）为．17．在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原由，C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3km，CH＝2.4km，BH＝1.8km．求原来的路线AC的长．18．如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，E为BC边上一点，且CE＝2，AE＝2．（1）求AB的长；（2）点F为AB边上的动点，当△BEF为等腰三角形时，求AF的长．19．如图，在△DEF中，∠D＝90°，DE＝16cm，EF＝20cm，P，Q是△DEF的边上的两个动点，其中点P从点E开始沿E→D方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点D开始沿D→F→E方向运动，且速度为每秒2m，它们同时出发，设出发的时间为ts．（1）DF＝cm．（2）当点P在边EF的垂直平分线上时，t＝s．（3）当点Q在边EF上时，求使△DFQ成为等腰三角形的运动时间．考点二勾股定理的逆定理【知识点睛】勾股定理的逆定理在△ABC中，若两边的平方和=第三边的平方，则该△为直角三角形即在△ABC中，若，则△ABC为直角三角形，且∠C为直角【类题训练】1．以下列各组线段为边作三角形，不能作出直角三角形的是（）A．3，7，8 B．6，8，10 C．1，2， D．0.3，0.4，0.52．如图，小正方形的边长均为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ACB的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．90°3．如图，某海域有相距10海里的两个小岛A和C，甲船先由A岛沿北偏东70°方向走了8海里到达B岛，然后再从B岛走了6海里到达C岛，此时甲船位于B岛的（）A．北偏东20°方向上 B．北偏西20°方向上 C．北偏西30°方向上 D．北偏西40°方向上4．如图，正方形网格中每一个小正方形的边长为1，小正方形的顶点为格点，点A，B，C为格点，点D为AC与网格线的交点，则∠ADB﹣∠ABD＝．5．如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，AD＝12，CD＝13，则四边形ABCD的面积是．6．如图，点A、B、C在正方形网格点上，则∠ABC+∠ACB＝．7．如图，方格中的点A、B、C、D、E称为“格点”（格线的交点），以这5个格点中的3点为顶点画三角形，共可以画个直角三角形．8．如图，点B为x轴上的一个动点，点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（4，1），CE⊥x轴于E点，当点B的坐标为时，△ABC为直角三角形．9．如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，满足条件的格点C有个．10．如图所示，四边形ABCD，∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m．（1）求四边形ABCD的面积；（2）如图2，以A为坐标原点，以AB、AD所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系，点P在y轴上，若S△PBD＝S四边形ABCD，求P的坐标．11．在一次“探究性学习”中，老师设计了如下数表：n23456…a22﹣132﹣142﹣152﹣162﹣1…b4681012…C22+132+142+152+162+1…（1）观察上表，用含n（n＞1，且n为整数）的代数式表示a，b，