2025年中考数学复习新题速递之命题与证明（2024年9月）

第1页（共1页）2025年中考数学复习新题速递之命题与证明（2024年9月）一．选择题（共20小题）1．（2024春•句容市期中）下列命题中是假命题的是（）A．对角线互相垂直平分的平行四边形是正方形 B．一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形 C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形2．（2024春•思明区校级期中）下列命题中，是真命题的是（）A．带根号的数就是无理数 B．坐标平面内所有的点都在四个象限内 C．内错角相等 D．一个二元一次方程有无数多解3．（2024•铜梁区校级开学）下列命题为假命题的是（）A．对顶角相等 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．垂线段最短 D．同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行4．（2023秋•潍城区期末）下列命题的逆命题是真命题的是（）A．若a+b＝0，则a2＝b2 B．若a﹣b＝0，则a2＝b2 C．若|a|﹣|b|＝0，则a2＝b2 D．若a＞b，则|a|＞|b|5．（2023秋•南阳期末）给出下列命题：①平方根与立方根相等的数只有0；②任意一个无理数的绝对值都是正数；③﹣3没有立方根；④有一个角是60°的三角形是等边三角形．其中真命题的个数为（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个6．（2024•东莞市校级一模）下列命题中真命题是（）A．一个角的补角一定大于这个角 B．两点之间，直线最短 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．相等的角是对顶角7．（2023秋•港南区期末）对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”能说明它是假命题的反例是（）A．∠1＝∠2＝45° B．∠1＝40°，∠2＝50° C．∠1＝50°，∠2＝50° D．∠1＝40°，∠2＝40°8．（2024春•禹城市校级月考）下列说法中，正确的个数有（）①实数和数轴上的点是一一对应的；②22③过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；④“同位角相等”为真命题；⑤立方根等于本身的数是1和0；⑥81的平方根是±9．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．（2024春•济宁期中）下列命题是真命题的是（）A．相等的角是对顶角 B．若数a、b满足a2＝b2，则a＝b C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D．垂线段最短10．（2024春•中江县月考）已知关于x，y的方程组x+3y=4-①当a＝﹣2时，方程组的解x，y的值互为相反数；②无论a取什么实数，x+2y的值始终不变；③x，y都为自然数的解有4对；④若x≤1，则1≤y≤4．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11．（2024春•灯塔市期末）下列命题的逆命题正确的是（）A．对顶角相等 B．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 C．两直线平行，同旁内角互补 D．全等三角形的对应角相等12．（2023秋•雅安期末）下列命题中真命题是（）A．有理数和数轴上的点一一对应 B．三角形的一个外角大于任何一个内角 C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．一次函数的图象是一条直线13．（2024春•江北区校级月考）下列命题中假命题的个数为（）①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线；④垂直于同一条直线的两条直线垂直．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个14．（2024春•襄州区期末）下列命题是假命题的是（）A．直线a，b，c在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c B．直线外一点与已知直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 C．点P（﹣5，3）与点Q（﹣5，﹣3）到x轴的距离相等，到y轴的距离也相等 D．同位角相等15．（2024春•温州期末）用反证法证明命题“在同一平面内，若直线a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（）A．a∥c B．a与b不平行 C．b∥c D．a⊥b16．（2024春•通河县期末）下列命题中是真命题的是（）A．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．无限不循环小数是无理数 D．过一点有且只有一条直线与这条直线平行17．（2024•岳阳楼区校级开学）下列命题中，真命题是（）A．平行四边形的对角线相等 B．矩形的对角线互相垂直 C．多边形的外角和为360° D．三角形的外角等于两个内角之和18．（2024•宝安区校级模拟）下列命题中，正确的是（）A．顺次连接平行四边形四边的中点所得到的四边形是矩形 B．若甲、乙两组数据的方差S甲2=0.39，C．线段AB的长度是2，点C是线段AB的黄金分割点且AC＜BC，则AC=5D．二次函数y=x2+3x+19．（2023秋•大渡口区期末）下列命题中，是真命题的是（）A．同位角相等 B．同旁内角互补 C．内错角相等 D．对顶角相等20．（2023秋•郸城县期末）能说明命题“任何数a的平方都大于0．”是假命题的一个反例可以是（）A．a＝﹣2 B．a＝0 C．a=12 D．a

2025年中考数学复习新题速递之命题与证明（2024年9月）参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．（2024春•句容市期中）下列命题中是假命题的是（）A．对角线互相垂直平分的平行四边形是正方形 B．一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形 C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形【考点】命题与定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；正方形的判定．【专题】多边形与平行四边形；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】A【分析】根据平行四边形以及特殊平行四边形的判定定理逐项判断即可．【解答】解：对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形，故A是假命题，符合题意；一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形，故B是真命题，不符合题意；两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故C是真命题，不符合题意；对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故D是真命题，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了平行四边形以及特殊平行四边形的判定定理，掌握相关定理内容是解题关键．2．（2024春•思明区校级期中）下列命题中，是真命题的是（）A．带根号的数就是无理数 B．坐标平面内所有的点都在四个象限内 C．内错角相等 D．一个二元一次方程有无数多解【考点】命题与定理；实数；二元一次方程的解；点的坐标；同位角、内错角、同旁内角．【专题】实数；一元二次方程及应用；平面直角坐标系；线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】D【分析】根据无理数的概念，坐标系中点的特点，平行线的性质，二元一次方程的解逐一进行判断即可．【解答】解：A．带根号的数不一定是无理数，比如4=2B．坐标平面内所有的点不一定都在四个象限内，也可能在坐标轴上，原命题为假命题，故此选项不符合题意；C．两直线平行，内错角相等，原命题为假命题，故此选项不符合题意；D．一个二元一次方程有无数多解，原命题为真命题，故此选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查判断命题的真假，掌握无理数的概念，坐标系中点的特点，平行线的性质，二元一次方程的解是解题的关键．3．（2024•铜梁区校级开学）下列命题为假命题的是（）A．对顶角相等 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．垂线段最短 D．同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【考点】命题与定理；对顶角、邻补角；垂线段最短；同位角、内错角、同旁内角；平行公理及推论；平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识．【答案】B【分析】根据对顶角相等、行线的性质、垂线段最短、平行公理判断即可．【解答】解：A、对顶角相等，是真命题，不符合题意．B、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项是假命题，符合题意．C、垂线段最短，是真命题，不符合题意．D、同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是真命题，不符合题意．故选：B．【点评】本题考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．4．（2023秋•潍城区期末）下列命题的逆命题是真命题的是（）A．若a+b＝0，则a2＝b2 B．若a﹣b＝0，则a2＝b2 C．若|a|﹣|b|＝0，则a2＝b2 D．若a＞b，则|a|＞|b|【考点】命题与定理；绝对值；有理数的乘方．【专题】实数；推理能力．【答案】C【分析】分别写出原命题的逆命题，然后判断正误即可．【解答】解：A．逆命题为若a2＝b2，则a+b＝0，是假命题，不符合题意；B．逆命题为若a2＝b2，则a﹣b＝0，是假命题，不符合题意；C．逆命题为若a2＝b2，则|a|﹣|b|＝0，是真命题，符合题意；D．逆命题为若|a|＞|b|，则a＞b，是假命题，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了命题与定理的知识，熟练写出原命题的逆命题进行判断是解题的关键．5．（2023秋•南阳期末）给出下列命题：①平方根与立方根相等的数只有0；②任意一个无理数的绝对值都是正数；③﹣3没有立方根；④有一个角是60°的三角形是等边三角形．其中真命题的个数为（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【考点】命题与定理；平方根；立方根；无理数；实数的性质；等边三角形的性质．【专题】实数；等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】B【分析】根据平方根和立方根的概念、绝对值、等边三角形的判定定理判断即可．【解答】解：①平方根与立方根相等的数只有0，是真命题；②任意一个无理数的绝对值都是正数，是真命题；③﹣3有立方根，故本小题命题是假命题；④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故本小题命题是假命题；故选：B．【点评】本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．6．（2024•东莞市校级一模）下列命题中真命题是（）A．一个角的补角一定大于这个角 B．两点之间，直线最短 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．相等的角是对顶角【考点】命题与定理．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】C【分析】根据线段的性质、平行线的判定、对顶角和补角判断．【解答】解：A、一个角的补角不一定大于这个角，原命题是假命题；B、两点之间，线段最短，原命题是假命题；C、平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题；D、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题；故选：C．【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．7．（2023秋•港南区期末）对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”能说明它是假命题的反例是（）A．∠1＝∠2＝45° B．∠1＝40°，∠2＝50° C．∠1＝50°，∠2＝50° D．∠1＝40°，∠2＝40°【考点】命题与定理．【专题】线段、角、相交线与平行线；数感．【答案】A【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子，逐项判断即可．【解答】解：A、∠1＝∠2＝45°满足∠1+∠2＝90°，但不满足∠1≠∠2，满足题意；B、∠1＝40°，∠2＝50°满足命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”，不符合题意；C、∠1＝50°，∠2＝50°不满足命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”，不符合题意；D、∠1＝40°，∠2＝40°不满足命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”，不符合题意；故选：A．【点评】考查了命题与定理的知识，理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键．8．（2024春•禹城市校级月考）下列说法中，正确的个数有（）①实数和数轴上的点是一一对应的；②22③过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；④“同位角相等”为真命题；⑤立方根等于本身的数是1和0；⑥81的平方根是±9．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】命题与定理；平方根；立方根；实数与数轴；同位角、内错角、同旁内角；平行公理及推论；平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】B【分析】根据平行线的判定和性质，立方根的定义，实数的性质一一判断即可．【解答】解：①实数和数轴上的点是一一对应的，故①说法正确．②22是无理数，不是分数；故②③过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故③说法正确．④“同位角相等”，成立的条件是平行线．故“同位角相等”是假命题，④说法错误．⑤立方根等于本身的数是1和0，还有﹣1．故⑤说法错误．⑥81的平方根是±3．故⑥说法错误．综上所述：正确说法有①③，共2个，故选：B．【点评】本题考查了命题、平行线的判定和性质，立方根的定义，实数的性质等知识，属于中考常考题型．9．（2024春•济宁期中）下列命题是真命题的是（）A．相等的角是对顶角 B．若数a、b满足a2＝b2，则a＝b C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D．垂线段最短【考点】命题与定理；对顶角、邻补角；垂线段最短；同位角、内错角、同旁内角．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】D【分析】利用对顶角的定义、数的平方运算、平行的性质以及垂线段的性质、逐项判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B、若数a、b满足a2＝b2，则a＝b或a＝﹣b，故原命题错误，是假命题，不符合题意；C、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；D、垂线段最短，故原命题正确，符合题意；故选：D．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．10．（2024春•中江县月考）已知关于x，y的方程组x+3y=4-①当a＝﹣2时，方程组的解x，y的值互为相反数；②无论a取什么实数，x+2y的值始终不变；③x，y都为自然数的解有4对；④若x≤1，则1≤y≤4．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】命题与定理；一元一次方程的解；二元一次方程组的解．【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；推理能力．【答案】C【分析】①先求出方程组的解x=1+2ay=1-a，把a＝﹣2代入求出x、y②把x=1+2ay=1-a代入x+2y③方程组变形为x+2y＝3，再确定方程的解即可；④根据x≤1和x＝1+2a求出a≤0，求出﹣3≤a≤0，再求出1﹣a的范围即可．【解答】解：解方程组x+3y=4-ax-y=3a①当a＝﹣2时，x＝1+2×（﹣2）＝﹣3，y＝1﹣（﹣2）＝3，所以x、y互为相反数，故①正确；②∵x=1+2ay=1-a∴x+2y＝2a+1+2﹣2a＝3，∴无论a取什么实数，x+2y的值始终不变；故②正确；③将方程组x+3y=4-ax-y=3a可变形为x+2y∴x，y都为自然数的解为x=1y=1，x=3y=0，共2对，故④∵x≤1，∴x＝1+2a≤1，即a≤0，∴﹣3≤a≤0，∴3≥﹣a≥0，∴4≥1﹣a≥1，∵y＝1﹣a，∴1≤y≤4，故④正确；综上，正确的结论有3个，故选：C．【点评】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，一元一次方程的解，解不等式组等知识点，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．11．（2024春•灯塔市期末）下列命题的逆命题正确的是（）A．对顶角相等 B．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 C．两直线平行，同旁内角互补 D．全等三角形的对应角相等【考点】命题与定理．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】C【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可．【解答】解：A、逆命题为：相等的角为对顶角，错误，不符合题意；B、逆命题为如果两个数的平方相等，那么这两个数也相等，错误，不符合题意；C、逆命题为同旁内角互补，两直线平行，正确，符合题意；D、逆命题为对应角相等的三角形全等，错误，不符合题意．故选：C．【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．12．（2023秋•雅安期末）下列命题中真命题是（）A．有理数和数轴上的点一一对应 B．三角形的一个外角大于任何一个内角 C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．一次函数的图象是一条直线【考点】命题与定理；数轴；一次函数的图象；同位角、内错角、同旁内角；三角形内角和定理；三角形的外角性质．【专题】一次函数及其应用；线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．【答案】D【分析】正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据实数与数轴、三角形外角的定义和性质、平行线的性质、一次函数的图象与性质逐项分析判断即可．【解答】解：A．实数和数轴上的点一一对应，故该命题是假命题，不符合题意；B．三角形的一个外角大于任何与它不相邻的内角，故该命题是假命题，不符合题意；C．两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故该命题是假命题，不符合题意；D．一次函数的图象是一条直线，该命题是真命题，符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查了命题的真假判断、实数与数轴、三角形外角的定义和性质、平行线的性质、一次函数的图象与性质等知识，解题的关键是要熟悉所学的定义、性质定理及判定定理．13．（2024春•江北区校级月考）下列命题中假命题的个数为（）①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线；④垂直于同一条直线的两条直线垂直．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【考点】命题与定理；直线的性质：两点确定一条直线；垂线；平行公理及推论．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】B【分析】根据相关教材中相关性质定理对上述命题进行判断，即可解题．【解答】解：①在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题；③把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线，原命题是真命题；④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．原命题是假命题；综上所述，其中假命题的个数为3个，故选：B．【点评】本题主要考查了命题的真假判断，掌握正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题是关键．14．（2024春•襄州区期末）下列命题是假命题的是（）A．直线a，b，c在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c B．直线外一点与已知直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 C．点P（﹣5，3）与点Q（﹣5，﹣3）到x轴的距离相等，到y轴的距离也相等 D．同位角相等【考点】命题与定理；坐标与图形性质；垂线；垂线段最短；同位角、内错角、同旁内角；平行线的判定．【专题】平面直角坐标系；线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】D【分析】利用平行线的判定方法、垂线段的性质、点的坐标特点及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、直线a，b，c在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c，正确，是真命题，不符合题意；B、直线外一点与已知直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，正确，是真命题，不符合题意；C、点P（﹣5，3）与点Q（﹣5，﹣3）到x轴的距离相等，到y轴的距离也相等，正确，是真命题，不符合题意；D、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．15．（2024春•温州期末）用反证法证明命题“在同一平面内，若直线a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（）A．a∥c B．a与b不平行 C．b∥c D．a⊥b【考点】反证法；垂线；平行线的判定．【专题】反证法；线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】B【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．【解答】解：反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设a与b不平行，即a与b相交，故选：B．【点评】本题考查的是反证法、两直线的位置关系，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．16．（2024春•通河县期末）下列命题中是真命题的是（）A．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．无限不循环小数是无理数 D．过一点有且只有一条直线与这条直线平行【考点】命题与定理；实数；对顶角、邻补角；点到直线的距离；同位角、内错角、同旁内角；平行公理及推论．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】C【分析】根据点到直线的距离定义对①进行判断；根据平行线性质对②进行判定；根据无理数定义对③进行判断；根据经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行对④进行判断．【解答】解：A、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，原说法错误，不符合题意；B、两条平行的直线被第三条直线所截，同位角相等，原说法错误，不符合题意；C、无限不循环小数是无理数，原说法正确，符合题意；D、经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，该选项说法错误，故不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；熟练掌握正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理是关键．17．（2024•岳阳楼区校级开学）下列命题中，真命题是（）A．平行四边形的对角线相等 B．矩形的对角线互相垂直 C．多边形的外角和为360° D．三角形的外角等于两个内角之和【考点】命题与定理；多边形内角与外角；平行四边形的性质；矩形的性质．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】C【分析】根据平行四边形的性质、矩形的性质、多边形的外角和、三角形的外角性质判断即可．【解答】解：A、平行四边形的对角线不一定相等，故本选项命题是假命题，不符合题意；B、矩形的对角线不一定互相垂直，故本选项命题是假命题，不符合题意；C、多边形的外角和为360°，是真命题，符合题意；D、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，故本选项命题是假命题，不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．18．（2024•宝安区校级模拟）下列命题中，正确的是（）A．顺次连接平行四边形四边的中点所得到的四边形是矩形 B．若甲、乙两组数据的方差S甲2=0.39，C．线段AB的长度是2，点C是线段AB的黄金分割点且AC＜BC，则AC=5D．二次函数y=x2+3x+【考点】命题与定理；黄金分割；二次函数的性质；平行四边形的性质；矩形的判定；中点四边形．【专题】二次函数图象及其性质；统计的应用；多边形与平行四边形；推理能力．【答案】D【分析】根据中点四边形，方差，黄金分割，二次函数性质等逐项判断即可．【解答】解：顺次连接平行四边形四边的中点所得到的四边形是平行四边形；故A错误，不符合题意；若甲、乙两组数据的方差S甲2=0.39，S线段AB的长度是2，点C是线段AB的黄金分割点且AC＜BC，则BC=5-1，故二次函数y=x2+3x+94的顶点为（-32故选：D．【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握中点四边形，方差，黄金分割，二次函数性质等知识．19．（2023秋•大渡口区期末）下列命题中，是真命题的是（）A．同位角相等 B．同旁内角互补 C．内错角相等 D．对顶角相等【考点】命题与定理．【答案】D【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：A、错误，两直线平行，同位角相等；B、错误，两直线平行，同旁内角互补；C、错误，两直线平行，内错角相等；D、对顶角相等，正确，是真命题，故选：D．【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．20．（2023秋•郸城县期末）能说明命题“任何数a的平方都大于0．”是假命题的一个反例可以是（）A．a＝﹣2 B．a＝0 C．a=12 D．a【考点】命题与定理．【专题】实数；数感；推理能力．【答案】B【分析】写出一个a的值，不满足a2＞0即可．【解答】解：当a＝0时，a2＝0，所以命题“任何数a的平方都大于0．”是假命题．故选：B．【点评】本题考查了命题与定理有关知识，反例就是符合已知条件但不满足结论的例子．可据此判断出正确的选项．

考点卡片1．数轴（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．2．绝对值（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数．（2）如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）3．有理数的乘方（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．（3）方法指引：①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．4．平方根（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“a”，负的平方根表示为“-a正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a．零的算术平方根仍旧是零．平方根和立方根的性质1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．5．立方根（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：3a（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．注意：符号3a中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个【规律方法】平方根和立方根的性质1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．6．无理数（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．（2）、无理数与有理数的区别：①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，比如4＝4.0，13=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π无理数常见的三种类型（1）开不尽的方根，如2，（2）特定结构的无限不循环小数，如0.303003000300003…（两个3之间依次多一个0）．（3）含有π的绝大部分数，如2π．注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如16是有理数，而不是无理数．7．实数（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．（2）实数的分类：实数：有理数正有理数0负有理数无理数正无理数8．实数的性质（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．（3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a．实数的倒数乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数．9．实数与数轴（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．10．一元一次方程的解定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．11．二元一次方程的解（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解．（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．12．二元一次方程组的解（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．13．点的坐标（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．（2）平面直角坐标系的相关概念①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．（3）坐标平面的划分建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．14．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．15．一次函数的图象（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（-bk，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．16．二次函数的性质二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-b2a，4ac-b24a），对称轴直线x=-b2a，二次函数y＝ax2+bx+①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-b2a时，y随x的增大而减小；x＞-b2a时，y随x的增大而增大；x=-②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-b2a时，y随x的增大而增大；x＞-b2a时，y随x的增大而减小；x=-③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|-b2a|个单位，再向上或向下平移|4ac-b17．直线的性质：两点确定一条直线（1）直线公理：经过两点有且只有一条直线．简称：两点确定一条直线．（2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了．18．对顶角、邻补角（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．（3）对顶角的性质：对顶角相等．（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．19．垂线（1）垂线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．（2）垂线的性质在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”“过一点”的点在直线上或直线外都可以．20．垂线段最短（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．（2）垂线段的性质：垂线段最短．正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．21．点到直线的距离（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．22．同位角、内错角、同旁内角（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．（4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．23．平行公理及推论（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．（2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．（3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．（4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．24．平行线的判定（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单说成：同位角相等，两直线平行．（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．（3）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．25．平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．26．三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．27．三角形的外角性质（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．（2）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．28．等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．29．多边形内角与外角（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为整数）此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．（2）多边形的外角和等于360°．①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．30．平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平