2024-2025学年四川省成都市高二上册期中考试数学检测试题（含解析）

2024-2025学年四川省成都市高二上学期期中考试数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．已知空间向量，，若，则（

）A．2 B．-2 C．0 D．43．过点，，且圆心在直线上的圆的方程是（

）A． B．C． D．4．已知两点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（

）A． B．C． D．5．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，在第五卷《商功》中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．已知在堑堵中，，，则（

）A． B．1 C． D．6．“直线与平行”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（

）A．8 B．12 C．16 D．208．如图，已知，，，，，一束光线从点出发射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则直线的斜率的取值范围为（

）A． B．4,+∞ C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．下列说法正确的是（

）A．对于任意两个事件A和B，都有B．扔两枚相同的硬币，恰好一正一反的概率为C．甲、乙、丙三种个体按1：2：3的比例分层抽样，如果抽取的乙个体数为6，则样本容量为18D．若一组数据的方差为16，则另一组数据的方差为410．已知圆，直线，则（

）A．直线恒过定点B．直线l与圆C有两个交点C．当时，圆C上恰有四个点到直线的距离等于1D．圆C与圆恰有三条公切线11．已知四面体的所有棱长都为1，分别是的中点，是该四面体内切球球面上的两点，是该四面体表面上的动点，则下列选项中正确的是（

）A．的长为B．到平面的距离为C．直线与直线所成角的余弦值为D．当线段最长时，的最大值为三、填空题（本大题共3小题）12．已知空间向量，则在方向上投影向量的坐标为.13．已知盒子中有大小、形状都相同的4个红球和2个白球，每次从中取一个球，取到红球记1分，取到白球记2分.如果有放回的抽取2次，则“2次所得分数之和为3分”的概率是.14．已知方程：，，当时，该方程表示的曲线关于直线的对称曲线为C，则曲线C上的点到直线l的最大距离为；若，过点作该方程表示的面积最小的曲线的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在的直线方程为．四、解答题（本大题共5小题）15．已知顶点、、．(1)求边的垂直平分线的方程；(2)若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程．16．如图，在四棱锥中，平面，，，且，，M是AD的中点，N是AB的中点．(1)求证：平面ADE；(2)求直线CM与平面DEN所成角的正弦值．17．从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．(1)求第七组的频率；(2)根据频率分布直方图估计这50名男生身高的第85百分位数（精确到0.1）；(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求．18．已知圆，点，为坐标原点.(1)若，求圆过点的切线方程；(2)若直线与圆交于，两点，且，求的值；(3)若圆上存在点，满足，求的取值范围.19．在空间直角坐标系Oxyz中，这点且以为方向向量的直线方程可表示为，过点且以为法向量的平面方程可表示为．(1)已知直线的方程为，直线的方程为．请分别写出直线和直线的一个方向向量．(2)若直线与都在平面内，求平面的方程；(3)若集合中所有的点构成了多面体Ω的各个面，求Ω的体积和相邻两个面所在平面的夹角的余弦值．

答案1．【正确答案】D【详解】直线的斜率为，故倾斜角为.故选：D.2．【正确答案】C【详解】因为，，则，由可得：，解得：，则.故选：C.3．【正确答案】A【详解】因为过点与，所以线段AB的中点坐标为，，所以线段AB的中垂线的斜率为，所以线段AB的中垂线的方程为，又因为圆心在直线上，所以，解得，所以圆心为，所以圆的方程为.故选：A4．【正确答案】C【详解】由图象结合题意可知：，观察到直线过点与线段有公共点时倾斜角为钝角时逐渐增大，斜率大于或等于直线的斜率；为锐角时倾斜角逐渐减小，斜率小于或等于直线的斜率；所以直线的斜率的取值范围是．5．【正确答案】B【分析】建立空间直角坐标系后计算即可得.【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，，∴，，.故选：B．6．【正确答案】B【分析】根据两条直线平行，对应方程系数的关系求解，分两个方面判断即可．【详解】若直线与平行，易得:，故：，则得不到，故不是充分条件；反之，当时成立，故直线与平行，是必要条件；故“直线与平行”是“”的必要不充分条件，故选：B．7．【正确答案】C【详解】整理圆的方程得，可知圆心坐标为由题意可知：直线过圆心，即，可得，则当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为16.故选：C.8．【正确答案】B【分析】设关于直线对称的点为，关于直线对称的点为，连接与直线分别交于，连接，分别与直线交于，由题意，在线段之间即可，算出两点的坐标结合斜率公式即可得到答案.【详解】设关于直线对称的点为，关于直线对称的点为，连接与直线分别交于，连接，分别与直线交于，由题意，在线段之间即可，又，直线的方程为，设，则，解得，所以，同理可得关于直线对称的点，所以直线：，又直线方程为：，所以，所以直线方程为：，即，由，得，所以，又易得方程为：，所以，所以.故选：B本题考查求点关于直线对称的点、两直线的交点的问题，涉及到入射光线、反射光线，考查学生的数学计算能力，是一道有一定难度的题.9．【正确答案】CD【详解】A选项：只有事件A和B是互斥事件时，才有，故A选项错误；B选项：扔两枚相同的硬币，由古典概型得一正一反的概率为，故B选项错误；C选项：设样本容量为，则有，得，C选项正确；D选项：因为，所以当时，，D选项正确.故选：CD.10．【正确答案】ABD【详解】对于A，直线的方程为，由，得，直线过定点，A正确；对于B，，即定点在圆内，则直线与圆相交且有两个交点，B正确；对于C，当时，直线，圆心到直线的距离为，而圆半径为2，因此只有2个点到直线的距离等于1，C错误；对于D，圆的方程化为，其圆心为，半径为3，两圆圆心距为，两圆外切，因此它们有三条公切线，D正确.故选ABD.11．【正确答案】BCD【详解】依题意，将四面体补形为正方体，并建立空间直角坐标系，如图，因为四面体的所有棱长都为1，则正方体的棱长为，则，又分别是的中点，则，对于A，，故A错误；对于B，，设平面的法向量为，则，令，则，故平面的法向量为，所以到平面的距离为，故B正确；对于C，，所以，故C正确.对于D，设是四面体内切球的球心，其半径为，则，当线段最长时，为内切球的直径，是的中点，则，所以，因为该四面体的体积为，表面积为，所以，解得，则，因为是该四面体表面上的动点，当为正四体的顶点时，最大，其最大值为，所以的最大值为，故D正确；故选：BCD.12．【正确答案】【详解】由题意，得，,所以在方向上的投影向量为.故答案.13．【正确答案】【分析】根据相互独立事件概率乘法公式计算即可.【详解】由题意，2次所得分数之和为3分，则第1次取出红球第2次取出白球或第1次取出白球第2次取出红球,由于有放回抽取，两次抽取为相互独立事件，其概率为.故14．【正确答案】【详解】方程：，可化为：，当时，方程表示圆：，可知圆心为，半径，圆心到直线的距离，可知圆上的点到直线的最大距离为，所以曲线上的点到直线的最大距离即为圆上的点到直线的最大距离；当时，，所以当时，圆面积最小，此时圆方程为：，即，圆心为，因为，可知均在以为直径的圆上，设，则的中点为，，所以为直径的圆方程为，即，两圆方程相减即得所在的直线方程为.故；.15．【正确答案】(1)(2)或【详解】（1）由、，可知中点为，且，所以其垂直平分线斜率满足，即，所以边的垂直平分线的方程为，即；（2）当直线过坐标原点时，，此时直线，符合题意；当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为，由过点，则，解得，所以直线方程为，即，综上所述，直线的方程为或.16．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以，由，知，，又，平面，所以平面，因为平面，所以，因为，是的中点，所以，又，平面，所以平面．（2）平面，，以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，故，，，设平面的法向量，则，令，则，设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值．17．【正确答案】(1)(2)(3)【详解】（1）第六组的频率为，故第七组的频率为（2）由直方图得，各组频率依次为，，，，，，，，因为，设第85百分位数为，则，解得，所以这所学校的800名男生的身高的第85百分位数为.（3）第六组的人数为，设为，第八组的人数为，设为，则从中随机抽取两名男生有共有15种情况，因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件包含的基本事件为共7种情况.所以.18．【正确答案】(1)或；(2)；(3).【详解】（1）当时，圆的圆心，半径，而点到直线的距离为2，因此圆过点的切线斜率存在，设方程为，则，解得或，所以所求切线方程为或.（2）由消去得，，设，则，由，得，则，整理得，则，即，解得，满足，所以.（3）设点，由，得，整理得，即，因此点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，依题意，圆与圆有公共点，即，则，整理得，解得，所以的取值范围是.19．【正确答案】(1)的一个方向向量；的一个方向向量（答案不唯一，符合题意即可）(2)(3)的体积为，相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为【详解】（1）因为直线的方程为，即，可知直线的一个方向向量；直线的方程为，即，可知直线的一个方向向量.（2）由题意可知：直线过点，且其一个方向向量为，直线过点，且其一个方向向量为，则为平面内一点.设平面的法向量为，则，令，则，可得，所以平面的方程为，即.（3）由集合可知，多面体