2024-2025学年北京市高二上册期中考试数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年北京市高二上学期期中考试数学检测试卷一、单选题1．已知直线与平行，则系数（

）A． B． C． D．2．经过圆的圆心，且与直线垂直的直线的方程是（

）A． B．C． D．3．在三棱锥中，等于（

）A． B． C． D．4．若过点，的直线的斜率等于1，则的值为（

）A．1 B．4 C．1或3 D．1或45．已知椭圆的一个焦点的坐标是，则实数的值为（

）A． B． C． D．6．我国古代数学名著《九章算术》商功中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱.如图，在堑堵中，，，则直线与平面所成角的大小为（

）A． B． C．6 D．7．已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（

）．A．4 B．5 C．6 D．78．“”是“直线与圆相切”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件9．在平面直角坐标系中，若点在直线上，则当，变化时，直线的斜率的取值范围是（

）A． B．C． D．10．某地居民的居住区域大致呈如图所示的五边形，近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成.若，，现准备建一个电视转播台，理想方案是转播台距五边形各顶点距离的平方和最小，图中是的五等分点，则转播台应建在（

）A．处 B．处 C．处 D．处二、填空题11．直线与圆的位置关系是．12．已知圆与圆内切，则.13．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝.14．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为.15．定义：若对平面点集中的任意一点，总存在正实数，使得集合，则称为一个“开集”．给出下列集合：①；②；③；④．其中为“开集”的是．三、解答题16．已知直线：．(1)当时，一条光线从点射出，经直线反射后过原点，求反射光线所在直线的方程；(2)求证：直线恒过定点；(3)当原点到直线的距离最大时，写出此时直线的方程（直接写出结果）．17．已知椭圆及直线．(1)当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)当时，求直线与椭圆相交所得的弦长；(3)求直线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程．18．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，AC交BD于点O，，．点E是棱PA的中点，连接OE，OP．(1)求证：平面PCD；(2)若平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求线段OP的长．条件①：平面平面；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．19．已知圆和圆，直线与圆相切于点，圆的圆心在射线上，圆过原点，且被直线截得的弦长为．（1）求直线的方程；（2）求圆的方程．20．椭圆的左顶点为，离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)已知经过点的直线交椭圆于两点，是直线上一点.若四边形为平行四边形，求直线的方程.21．已知有限集X，Y，定义集合，表示集合X中的元素个数.（1）若，求集合和，以及的值；（2）给定正整数n，集合，对于实数集的非空有限子集A，B，定义集合①求证：；②求的最小值.答案：题号12345678910答案BACACAAABA1．B【分析】由直线的平行关系可得，解之可得．【详解】解：直线与直线平行，，解得．故选：．2．A【分析】根据垂直关系确定斜率，结合圆心坐标并应用点斜式写出直线方程.【详解】由直线与直线垂直，故所求直线斜率为1，又经过圆的圆心，故所求直线为，所以所求直线方程为.故选：A3．C【分析】应用向量加减法法则化简.【详解】由.故选：C4．A【分析】根据斜率公式即可得到方程，解出即可.【详解】由题意得，解得.故选：A.5．C【分析】根据椭圆的标准方程，结合，即可求解.【详解】由条件可知，，，，所以，得，故选：C6．A【分析】根据线面角定义找到直线与平面所成角的平面角，结合已知求其大小.【详解】由题设知，直三棱柱底面为等腰直角三角形，且，，若是中点，连接，则，且，由面面，面，面面，所以面，则直线与平面所成角为锐角，且面，则，由题意，在中，则，故.故选：A7．A【分析】求出圆心的轨迹方程后，根据圆心到原点的距离减去半径1可得答案.【详解】设圆心，则，化简得，所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，所以，所以，当且仅当在线段上时取得等号，故选：A.本题考查了圆的标准方程，属于基础题.8．A【分析】根据直线与圆的位置关系求出a的取值范围，再根据充分条件，必要条件的定义解出.【详解】由题知，圆的圆心为，半径为1，设圆心到直线的距离为则，解得：或.由此可知，“”是“或”的充分不必要条件，故选：A.9．B【分析】将点代入直线方程中得出点为圆上的动点，结合图像分析即可求出直线的斜率的取值范围.【详解】因为点在直线上，所以，即，则表示圆心为，半径为1的圆上的点，如图：

由图可知当直线与圆相切时，直线的斜率得到最值，设，由圆与直线相切，故有圆心到直线的距离为半径1，即，解得：，由图分析得：直线的斜率的取值范围是.故选：B.10．A【分析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，设转播台建在处，可将表示为的形式，即，由此可确定当且时距离平方和最小，由此可确定转播台位置.【详解】以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，.设转播台建在处，则，当且时，最小，转播台应建在处.故选：A.11．相离【分析】确定圆心和半径，应用点线距离公式求圆心与直线距离，并与半径比大小，即可得答案.【详解】由的圆心为，半径为1，圆心到的距离，所以直线与圆相离.故相离12．【分析】利用两圆内切的定义表达式即可求得.【详解】由圆知圆心为半径为由圆知圆心为,半径为因两圆内切，故，即，解得：故13．-2【详解】经分析知，直线经过圆C的圆心，而圆C的圆心坐标为，所以有．14．【详解】点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离，设点P在平面ABCD上的射影为P′，显然点P到直线CC1的距离的最小值为P′C的长度的最小值，当P′C⊥DE时，P′C的长度最小，此时P′C＝＝.15．②④【分析】根据开集的定义逐个验证选项，即可得到答案.【详解】①表示以原点为圆心，1为半径的圆，则在该圆上任意取点，以任意正实数为半径的圆面，均不满足故①不是开集；②，在平面点集中的任取一点，设该点到直线的距离为，取，则满足，故该集合是开集；③，在曲线任意取点，以任意正实数为半径的圆面，均不满足，故该集合不是开集；④，表示以点为圆心，为半径除去圆心和圆周的圆面，在该平面点集中的任一点，则该点到圆周上的点的最短距离为，取，则满足，故该集合是开集．故②④.本题属于集合的新定义型问题，考查学生即时掌握信息、解决问题的能力，正确理解开集的定义是解决本题的关键．16．(1)；(2)证明见解析；(3).【分析】（1）令是关于的对称点，利用垂直和中点在直线上求点坐标，进而写出直线方程；（2）将直线写成，可求定点，即可证；（3）由题设易知，利用垂直及点斜式写出直线方程.【详解】（1）由题设，令是关于的对称点，则，可得，故，由题意，反射光线过和原点，所以反射光线所在直线方程为.（2）由直线可改写为，联立，可得，将点代入原直线方程，显然成立，故直线恒过定点，得证.（3）当原点到直线的距离最大，即点到点的距离，此时，由，则，故，整理得.17．(1)；(2)；(3)且.【分析】（1）联立椭圆与直线得一元二次方程，利用求参数范围；（2）根据题设条件求交点坐标，利用两点式求弦长；（3）应用韦达定理求中点坐标，即可得轨迹方程.【详解】（1）联立直线与椭圆，可得，整理得，由直线与椭圆有公共点，故，可得.（2）由题设及（1），联立直线与椭圆得，则或，而直线为，当有，当有，所以弦长为.（3）由（1）有，令直线与椭圆交点为，所以，则，故中点坐标为，由，则，所以弦的中点的轨迹方程为，即且.18．(1)证明见解析(2)【分析】(1)根据线面平行的判定定理证明；(2)利用空间向量的坐标运算表示出平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值，即可求解.【详解】（1）因为底面是菱形，所以是中点，因为E是棱PA的中点，所以，又因为平面PCD,平面PCD,所以平面PCD.（2）选择条件①:因为，是的中点，所以,因为平面平面,平面平面,平面，所以平面，因为平面，所以，又，所以两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系,因为菱形的边长为2，所以,所以设所以，设为平面的一个法向量，由得所以取，所以，因为平面，所以平面的一个法向量为,平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为,所以，所以所以，所以，因为，所以，所以.所以线段OP的长为.选择条件②:因为.在菱形中，，因为平面平面,所以平面,因为平面，所以，因为,所以两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系,因为菱形的边长为2，所以,所以设所以，设为平面的一个法向量，由得所以取，所以，因为平面，所以平面的一个法向量为,平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为,所以，所以所以，所以，因为，所以，所以.所以线段OP的长为.19．（1）；（2）【分析】（1）由题可求得切线的斜率，利用点斜式求直线方程即可；(2)设出圆心坐标，求出圆心到直线的距离，结合勾股定理求得圆心坐标，进而求得半径，得出圆的方程.【详解】（1）由题意知：直线过点，且斜率为-1，故直线的方程为（2）根据题意设：的圆心坐标为圆的半径，圆心到直线的距离为，

解得：（舍）或．圆的半径圆心圆的方程为20．(1)；(2)或【分析】（1）直接由顶点和离心率求出椭圆方程即可；（2）设，由表示出直线的斜率，进而写出直线的方程，联立椭圆求出弦长，由求出，即可求得直线的方程.【详解】（1）由题意知：，则，故椭圆的方程为；（2）设，又，故，又直线经过点，故的方程为，联立椭圆方程可得，显然，，则，又，由，可得，解得或，故直线的方程为或.21．（1）X－Y＝{1,2}，Y－X＝{5}，|(X－Y)∪(Y∪X)|＝3；（2）①见解析；②【分析】（1）直接根据定义求解即可；（2）①分若A∪B中含有一个不在S中的元素和，且，两种情况讨论即可，当，且时，可通过得证；②结合①知，讨论若，或，得，若，且，设，，可证得的最小