人教版数学八年级上册全册教案

12〔知识与技能〕1了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形；2理解三角形三边不等的关系，会判断三条线段能否构成一个三角形,并能运用它解决有关的问题.〔过程与方法〕在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推〔情感、态度与价值观〕体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心[重点难点]三角形的有关概念和符号表示，三角形三边间的不等关系是重点；用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形是难点。三角形是一种最常见的几何图形，[投影1-6]如古埃及金字塔，香港中银大厦，交通标志，等等，处处都有三角形的形象。二、三角形及有关概念A不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。B组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.三、三角形三边的不等关系探究：[投影7]任意画一个△ABC,假设有一只小虫要从B点出发,沿三角形的边爬到C,有两条路线1）从B→C2）从B→A→C；不一样，AB+AC＞BC①;因为两点之间3同样地有AC+BC＞AB②AB+BC＞AC③三角形的任意两边之和大于第三边.我们知道，三角形按角可分为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，我们把锐角三角形、钝角三角形统称为斜三角形。按角分类:三角形〔直角三角形l钝角三角形那么三角形按边如何进行分类呢？请你按“有几条边相等”将三角形分类。三边都相等的三角形叫做等边三角形；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；顶角三边都不相等的三角形叫做不等边三角形。腰显然，等边三角形是特殊的等腰三角形。腰腰底角按边分类:底角底角底边三角形〔不等边三角形底边{{ll等边三角形各边的长是多少？（2）能围成有一边长为4㎝的等腰三角形吗？为什分析1）等腰三角形三边的长是多少？若设底边长为x㎝，则腰解1）设底边长为x㎝，则腰长2x㎝。x+2x+2x=18解得x=3.6所以，三边长分别为3.6㎝，7.2㎝，7.2㎝.（2）如果长为4㎝的边为底边，设腰长为x4+2x=18解得x=7如果长为4㎝的边为腰，设底边长为x㎝，则2×4+x=18解得x=10因为4+4＜10，出现两边的和小于第三边的情况，所以不能围成腰长是4㎝的等腰由以上讨论可知，可以围成底边长是4㎝的等腰三角形。〔知识与技能〕41、经历画图的过程，认识三角形的高、中线与角平分线；2、会画三角形的高、中线与角平分线；3、了解三角形的三条高所在的直线,三条中线,三条角平分线分别交于一点.〔过程与方法〕在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯〔情感、态度与价值观〕体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心〔重点难点〕三角形的高、中线与角平分线是重点；三角形的角平分线与角的平分线的区别，画钝角三角形的高是难点.我们已经知道什么是三角形，也学过三角形的高。三角形的主要线段除高外，还有中线和角平分线值得我们研究。二、三角形的高请你在图中画出△ABC的一条高并说说你画线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的AA注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。三角形的三条高相交于一点。现在我们来画钝角三角形三边上的高，如图。CACAEDBO显然，上面的结论成立。请你画一个直角三角形，再画出它三边上的高。三、三角形的中线如图，我们把连结△ABC的顶点A和它的对边BC三角的三条中线相交于一点。如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？请画图回答。5平分线,表示为∠BAD=∠CAD或∠BAD=∠CAD＝1/2∠BAC或2∠BAD=2∠CAD=∠BAC。A三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，是不一样的。A三角形三个角的平分线相交于一点。BCDBCD想一想：三角形的三条高、三条中线、三条角平分线的交点有什么不同？三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部，而锐三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。〔知识与技能〕1、知道三角形具有稳定性，四边形没有稳定性；2、了解三角形的稳定性在生产、生活中的应用。〔过程与方法〕在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯〔情感、态度与价值观〕体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样二、三角形的稳定性)2、把四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？3、在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形6三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性。三、三角形稳定性和四边形不稳定的应用三角形具有稳定性固然好，四边形不具有稳定性也未必不好，它们在生产和生活中都钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用三角形的稳定性，活动挂架则是利用四边形的不1、下列图形中具有稳定性的是()A正方形B长方形C直角三角形D平行四边形〔知识与技能〕掌握三角形内角和定理。〔过程与方法〕在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯〔情感、态度与价值观〕体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心[重点难点]三角形内角和定理是重点；三角形内角和定理的证明是我们在小学就知道三角形内角和等于1800，这个结论是通过实验得二、三角形内角和的证明把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出7①剪下∠A，按图（2）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。②把上B和上C剪下按图（3）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。如果把上面移动的角在图上进行转移，由图1你能想到证明三角形内角和等于1800的已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=1证明一又∠ACB+∠ACM+∠DCM=1800即：三角形的内角和等于1800。由图2、图3你又能想到什么证明方法？请说说证明三、例题根据三角形内角和定理，只需求出∠CAB和∠CBA的度数即可。解：∠CBA=∠BAD-∠CAD=800-500=300∴∠ABE=1800-∠BAD=1800-800=1000∴∠ABC=∠ABE-∠EBC=1000-400=600∴∠ACB=1800-∠ABC-∠CAB=1800-600-300=9008六、教后记〔知识与技能〕理解三角形的外角；2、掌握三角形外角的性质，能利用三角形外角的性质解决问题。〔过程与方法〕在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯〔情感、态度与价值观〕体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心[重点难点]三角形的外角和三角形外角的性质是重点；理解三角形的外角是难点。是∠A、∠B、∠C，它们的和是1800。二、三角形外角的概念∠ACD叫做△ABC的外角。也就是，三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。9注意：每个顶点处有两个外角，它们是对顶角。研究与三角形外角有关的问题时，通常每个顶点处取一个外角.三、三角形外角的性质容易知道，三角形的外角∠ACD与相邻的内角∠ACB是邻补角，那与另外两个角有怎样〔投影2〕如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明∠ACD与∠A、∠B的关系又∠ACD=∠1+∠2三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。分析：∠1与∠BAC、∠2与∠ABC、∠3与∠ACB有什么关系？∠BAC、ABC、∠ACB有解：∵∠1+∠BAC=1800，∠2+∠ABC=1800，∠3+∠ACB=1800，∴∠1+∠BAC+∠2+∠ABC+∠3+∠ACB=5400又∠BAC+∠ABC+∠ACB=1800五、课堂练习六、课堂小结八、教后记〔知识与技能〕1、了解多边形及有关概念，理解正多边形的概念．2、区别凸多边形与凹多边形.〔过程与方法〕在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯〔情感、态度与价值观〕体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心[重点难点]多边形及有关概念、正多边形的概念是重点；区别凸多边形与凹多边形是二、多边形及有关概念由几条线段组成；它们不在同一条直线上；首尾顺次相接.这种在平面内，由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……、n边形。这就是说，一个多边形由几条线段组成，就叫做几边形，三角形是最简单的多边形。与三角形类似地，多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，如图中的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E。多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．如图中的∠1是五边形ABCDE的一个外角。[投影2]连接多边形的不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.四边形有几条对角线？五边形有几条对角线？画图看看。你能猜想n边形有多少条对角线吗？说说你的想法。个顶点共引n（n－3）条对角线，又由于连接任意两个顶点的两条对角线是相同的，所以，三、凸多边形和凹多边形在图（1）中，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；而图（2）就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画BD所在直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，我们称它为凹多边形。注意：今后我们讨论的多边形指的都是凸多边形.各条边都相等的多边形叫做正多边形。[投影4]下面是正多边形的一些例子。3、有五个人在告别的时候相互各握了一次手，他们共握了多少次手？你能找到一个几六、课堂小结〔知识与技能〕2、2、能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算.〔过程与方法〕在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯〔情感、态度与价值观〕体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心[重点难点]多边形的内角和与多边形的外角和公式是重点；多边形的内角和定理的推导我们已经证明了三角形的内角和为180°,在小学我们用量角器量过四边形的内角的度数，知道四边形内角的和为360°,现在你能利用三角形的内角和定理证明吗？二、多边形的内角和〔投影1〕如图，从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线？它们将四边形分成几个AD可以引一条对角线；它将四边形分成两个三角形；因此，四边形的内角和=△ABD的内类似地，你能知道五边形、六边形……n边形五边形六边形角和等于；角和等于；〔投影3〕从n边形一个顶点出发，可以引对角线，它们将n边形分成三角形，n边形的内角和等于。从上面的讨论我们知道，求n边形的内角和可以将n边形分成若干个三角形来求。现∴五边形的内角和为5×180°一2×180°=（5—2）×180°=540°。分法二〔投影4〕如图2，在边AB上取一点O，连OE、OD、OC，则可以（5－1）个三角形。C如果把五边形换成n边形，用同样的方法可以得三、例题〔投影6〕例1如果一个四边形的一组对角互补，那如图，已知四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°,求∠B与∠D的关系.又∠A+∠C＝180°∴∠B+∠D=360°-(∠A+∠C）=180°这就是说，如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补.〔投影7〕例2如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边如图，已知∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF的外角，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值.分析：多边形的一个外角同与它相邻的内角有什么关系？六边形的内角和是多少度？解：∵∠1+∠BAF=180°∠2+∠ABC=180°∠3+∠BAD=180°∠4+∠CDE=180°∠5+∠DEF=180°∠6+∠EFA=180°∴∠1+∠BAF+∠2+∠ABC+∠3+∠BAD+∠4+∠CDE+∠5+∠DEF+∠6+∠EFA=6×180°又∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=4×180°∴∠BAF+∠ABC+∠BAD+∠CDE+∠DEF+∠EFA=6×180°这就是说，六边形形的外角和为360°。如果把六边形换成n边形可以得到同样的结果：形各边走过各顶点，再回到A点，然后转向出发时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所得的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等本节课主要介绍全等三角形的概念和性质.1．知识与技能领会全等三角形对应边和对应角相等的有关概念.2．过程与方法经历探索全等三角形性质的过程，能在全等三角形中正确找出对应边、对应角.3．情感、态度与价值观培养观察、操作、分析能力，体会全等三角形的应用价值.重、难点与关键1．重点：会确定全等三角形的对应元素.2．难点：掌握找对应边、对应角的方法.3．关键：找对应边、对应角有下面两种方法1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边2）对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角.四张大小一样的纸片、直尺、剪刀.一、动手操作，导入课题【学生活动】动手操作、用脑思考、与同伴讨论，得出结论.【教师活动】指导学生用剪刀剪出重叠的两个多边形和三角形.学生在操作过程中，教师要让学生事先在纸上画出三角形，然后固定重叠的两张纸，注意整个过程要细心.【互动交流】剪出的多边形和三角形，可以看出：形状、大小相同，能够完全重合．这样的两个图形叫做全等形，用“≌”表示.概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.【教师活动】在纸版上任意剪下一个三角形，要求学生手拿一个三角形，做如下运动：【学生活动】动手操作，实践感知，得出结论：两个三角形全等.点、三个角、三条边、每条边的边角、每个角的对边.【学生活动】把两个三角形按上述要求标上字母，并任意放置，与同桌交流1）何时能完全重在一起2）此时它们的顶点、边、角【交流讨论】通过同桌交流，实验得出下面结论：1．任意放置时，并不一定完全重合，只有当把相同的角旋转到一起时才能完全重合.2．这时它们的三个顶点、三条边和三个内角分别重合了.3．完全重合说明三条边对应相等，三个内角对应相等，对应顶点在相对应的位置.【教师活动】根据学生交流的情况，给予补充和语言上的规范.1．概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角.2．证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如果本图11．1─2△ABC和△DBC全等，点A和点D，点B和点B，点C和点C是对应顶点，记作△ABC≌△DBC.【学生活动】经过观察得到下面性质：2．全等三角形对应角相等.二、随堂练习，巩固深化【探研时空】1．如图1所示，△ACF≌△DBE，∠E=∠F，若AD=20cm，BC=8cm，你能求出线段AB的长吗？与同伴交流AB=6）2．如图2所示，△ABC≌△AEC，∠B=30°,∠ACB=85°,求出△AEC各内角的度数.(∠AEC=30°,∠EAC=65°,∠ECA=85°)本节课主要内容是探索三角形全等的条件（SSS及利用全等三角形进行证明.1．知识与技能了解三角形的稳定性，会应用“边边边”判定两个三角形全等.2．过程与方法经历探索“边边边”判定全等三角形的过程，解决简单的问题.3．情感、态度与价值观培养有条理的思考和表达能力，形成良好的合作意识.重、难点与关键1．重点：掌握“边边边”判定两个三角形全等的方法.2．难点：理解证明的基本过程，学会综合分析法.3．关键：掌握图形特征，寻找适合条件的两个三角形.一块形状如图1所示的硬纸片，直尺，圆规.采用“操作──实验”的教学方法，让学生亲自动手，形成直观形象.问题提出：一块三角形的玻璃损坏后，只剩下如图2所示的残片，你对图中的残片作哪些测量，就可以割取符合规格的三角形玻璃，与同伴交流.【学生活动】观察，思考，回答教师的问题．方法如下：可以将图1的玻璃碎片放在一块纸板上，然后用直尺和铅笔或水笔画出一块完整的三角形．如图2，剪下模板就可去割玻璃了.【理论认知】如果△ABC≌△A′B′C′，那么它们的对应边相等，对应角相等．反之，如果△ABC与△A′B′C′满足三条边对应相等，三个角对应相等，即AB=A′B′，BC=B′C′，CA=C′A′，∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′.这六个条件，就能保证△ABC≌△A′B′C′，从刚才的实践我们可以发现：只要两个画出的△A′B′C′剪下来，放在△ABC上，它们能完全重合吗？（即全等吗）2．分别以B′、C′为圆心，线段AB、AC为半径画弧，两弧交于点A′；【教师活动】巡视、指导，引入课题：“上述的生活实例和尺规作图的结果规律？”【学生活动】在思考、实践的基础上可以归纳出下面判定两个三角形全等的定理．（1）判定方法：三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”（2）判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．【评析】通过学生全过程的画图、观察、比较、交流等，逐步探索出最后的结论──边边边，在这个过程中，学生不仅得到了两个三角形全等的条件，同时增强了数学体验．二、范例点击，应用所学【教师活动】分析例1，分析：要证明△ABD≌△ACD，可看这两个三角形的三条边是否对应相等．在△ABD和△ACD中设（已知）出发，经过一步步的推理，最后推出结论（求证）正确的过程．书写中注意对应顶点要写在同一个位置上，哪个三角形先写，哪个三角形的边就先写．三、实践应用，合作学习【问题思考】明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这【教师活动】提出问题，巡视、引导学生，并请学生说说自己的想法．可得到AB=FD．”【教学形式】先独立思考，再合作交流，师生互动．【探研时空】如图所示，AB=DF，AC=DE，BE=CF，BC与EF相等吗？你能找到一对全等三角形吗？说明你的理由BC=EF，△ABC≌△DFE）12.2.2三角形全等判定（SAS）本节课主要内容是探索三角形全等的条件（SAS及利用全等三角形证明．1．知识与技能领会“边角边”判定两个三角形的方法.2．过程与方法经历探究三角形全等的判定方法的过程，学会解决简单的推理问题.3．情感、态度与价值观培养合情推理能力，感悟三角形全等的应用价值.重、难点及关键1．重点：会用“边角边”证明两个三角形全等.2．难点：应用结合法的格式表达问题.3．关键：在实践、观察中正确选择判定三角形全等的方法.教具准备投影仪、直尺、圆规.教学方法采用“操作──实验”的教学方法，让学生有一个直观的感受.一、回顾交流，操作分析【动手画图】【投影】作一个角等于已知角.已知：∠AOB.求作：∠A1O1B1，使∠A1O1B1=∠AOB.交OB于点D3）以点O1为圆心，以OC长为半径画弧，交O1A1于点C14）以点C1为圆心，以CD长为半径画弧，交前面的弧于点D15）过点D1作射线O1B1，∠A1O1B1就是所求的角.【导入课题】教师叙述：请同学们连接CD、C1D1，回忆作图过程，分析△COD和△C1O1D1中相等的条件.【学生活动】与同伴交流，发现下面的相等量：【评析】通过让学生回忆基本作图，在作图过程中体会相等的条件，在直观的操作过程中发现问题，获得新知，使学生的知识承上启下，开拓思维，发展探究新知的能力.【媒体使用】投影显示作法.【教学形式】操作感知，互动交流，形成共识.二、范例点击，应用新知【例2】如课本图11．2-6所示有一池塘，要测池塘两侧A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点，连接AC并延长到D，使CD=CA，连接BC并延长到E，使【教师活动】操作投影仪，显示例2，分析：如果能够证明△ABC≌△DEC，就可以得出AB=DE．在△ABC和△DEC中，CA=CD，CB=CE，如果能得出∠1=∠2，△ABC和△DEC就全等了.证明：在△ABC和△DEC中想一想：∠1=∠2的依据是什么？（对顶角相等）AB=DE的依据是什么？（全等三角形对应边相等）【学生活动】参与教师的讲例之中，领悟“边角边”证明三角形全等的方法，学会分析推理和规范书写.【媒体使用】投影显示例2.【教学形式】教师讲例，学生接受式学习但要积极参与.角形全等来解决.三、辨析理解，正确掌握【教师活动】拿出教具进行示范，让学生直观地感受到问题的本质.操作教具：把一长一短两根细木棍的一端用螺钉铰合在一起，使长木棍的另一端与射线BC的端点B重合，适当调整好长木棍与射线BC所成的角后，固定住长木棍，把短木棍摆起来（课本图11．2-7出现一个现象：△ABC与△ABD满足两边及其中一边对角相等的条件，但△ABC与△ABD不全等．这说明，有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.【学生活动】观察教师操作教具、发现问题、辨析理解，动手用直尺和圆规实验一次，（1）画∠ABT2）以A为圆心，以适当长为半径，画弧，交BT于C、C′3）连线AC，AC′，△ABC与△ABC′不全等.【教学形式】观察、操作、感知，互动交流.【探研时空】在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望．为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离．在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来这样一个办法，他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部．然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上．接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离如图3所示）验证.【思路点拨】情境中使用的方法在实际应用中虽然是一种估测，但用到的原理都是三角形全等（SAS教学中，让学生在教室里或操场上亲自做一做，实际体验.12.2.3三角形全等判定（ASA）本节课主要内容是探索三角形全等的判定（ASA，AAS及利用全等三角形的证明.1．知识与技能2．过程与方法实际问题.3．情感、态度与价值观培养良好的几何推理意识，发展思维，感悟全等三角形的应用价值.重、难点与关键2．难点：学会综合法解决几何推理问题.3．关键：把握综合分析法的思想，寻找问题的切入点.投影仪、幻灯片、直尺、圆规.采用“问题教学法”在情境问题中，激发学生的求知欲.小明不用测量就能知道EH=FH吗？与同伴交流.2．如图2，AB=AD，AC=AE，能添上一个条件证明出△ABC≌△ADE吗？[答案：BC=DE（SSS）或∠BAC=∠DAE（SAS）].3．如果两边及其中一边的对角对应相等，两个三角形一定会全等吗？试举例说明.【教师活动】操作投影仪，提出问题，组织学生思考和提问.【学生活动】通过情境思考，复习前面学过的知识，学会正确选择三角形全等的判定方法，小组交流，踊跃发言.二、实践操作，导入课题问题探究：先任意画一个△ABC，再画出一【学生活动】动手操作，感知问题的规律，画图如下：∠A′=∠A，∠B′=∠B：由于∠A=∠A′，∠B=∠B′，∴∠C=∠C′.【教师提问】在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF（课本图11．2─9△【学生活动】运用三角形内角和定理，以及“ASA”很快证出△ABC≌△EFD，并且归纳归纳规律：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简与成AAS）.三、范例点击，应用所学【教师活动】引导学生，分析例3．关键是寻找到和已知条件有关的△ACD和△ABE，再证它们全等，从而得出AD=AE.公共角)【学生活动】参与教师分析，领会推理方法.【教学形式】师生互动.AEDEB【学生活动】与同伴交流，得到有三角对应相等的两个三角形不一定会全等，拿出三角课本P13练习第1，2题.【探研时空】1．如图4，小红不慎将一块三角形模具打碎为两块，她是否可以只带其中一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢？如果可以，带哪块去合适？为什么？【思路点拨】这是一个实际问题，应带含有两个角的那一块，由“角边角”可知，利用这块能配出一个与原来全等的三角形模具.2.小颖在练习本上画一个三角形，小兰和她开个玩笑，将墨迹污染到这块三角形的图形上（如图5急得小颖直叫，要小兰画出一个与原来完全一样的三角形来，小兰该怎么一个与原来完全一样的三角形.12.2.5直角三角形全等判定（HL）本节课主要内容是探究直角三角形的判定方法.1．知识与技能在操作、比较中理解直角三角形全等的过程，并能用于解决实际问题．2．过程与方法经历探索直角三角形全等判定的过程，掌握数学方法，提高合情推理的能力．3．情感、态度与价值观培养几何推理意识，激发学生求知欲，感悟几何思维的内涵．重、难点与关键1．重点：理解利用“斜边、直角边”来判定直角三角形全等的方法．2．难点：培养有条理的思考能力，正确使用“综合法”表达．只需找到另外两个条件即可．投影仪、幻灯片、直尺、圆规．采用“问题探究”的教学方法，让学生在互动交流中领会知识．一、回顾交流，迁移拓展【问题探究】【学生活动】小组讨论，发表意见：“由三角形全等条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了．”【情境导入】如图2所示．舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是【思路点拨】（1）学生可以回答去量斜边和一个锐角，或直角边和一个锐角，但对问题（2）学生难以回答．此时，教师可以引导学生对工作人员提出的办法及结论进行思考，并验证它们的方法，从而展开对直角三角形特殊条件的探索.【教师活动】操作投影仪，提出问题，引导学生思考、验证.【学生活动】思考问题，探究原理.做一做如课本图11．2─11：任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°,再画一个Rt△A′【学生活动】画图分析，寻找规律．如下：规律：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或3．以B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于点A′。二、范例点击，应用所学【思路点拨】欲证BC=AD，首先应寻找和这两条线段有关的三角形，这里有△ABD和△BAC，△ADO和△BCO，O为DB、AC的交点，经过条件的分析，△ABD和△BAC具备全等的条件.【教师活动】引导学生共同参与分析例4.∴∠C与∠D都是直角.∴BC=AD.【学生活动】参与教师分析，提出自己的见解.【评析】在证明两个直角三角形全等时，要防止学生使用“SSA”来证明.【媒体使用】投影显示例4.本节课首先介绍作一个角的平分线的方法，然后用三角形全等证明角平分线的性质定理.1．知识与技能通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理.2．过程与方法经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法.3．情感、态度与价值观激发学生的几何思维，启迪他们的灵感，使学生体会到几何的真正魅力.重、难点与关键1．重点：领会角的平分线的两个互逆定理.2．难点：两个互逆定理的实际应用.3．关键：可通过学生折纸活动得到角平分线上的点到角的两边的距离相等的结论．利用全等来证明它的逆定理.投影仪、制作如课本图11．3─1的教具.采用“问题解决”的教学方法，让学生在实践探究中领会定理.一、创设情境，导入新课如课本图11．3─1，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，讲述，提出探究的问题.【学生活动】小组讨论后得出：根据三角形全等条件“边边边”课本图11．3─1判定法，可以说明这个仪器的制作原理.【教师活动】请同学们和老师一起完成下面的作图问题.已知：∠AOB.求法：∠AOB的平分线.作法1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N2）分别以M、N1为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C3）作射线OC，射线2【学生活动】动手制图（尺规），边画图边领会，认识角平分线的定义；同时在实践操作中感知.【教学形式】小组合作交流.二、随堂练习，巩固深化课本P19练习．如课本图12．3─3，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？【教师活动】操作投影仪，提出问题，提问学生．【学生活动】实践感知，互动交流，得出结论，“从实践中可以看出，第一条折痕是∠AOB的平分线OC，第二次折叠形成的两条折痕PD、PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距离，这两个距离相等．”已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥求证：PD=PE．【归纳如下】角的平分线上的点到角的两边的距离相等．【教学形式】师生互动，生生互动，合作交流．三、情境合一，优化思维路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20【学生活动】四人小组合作学习，动手操作探究，获得问题结论．从实践中可知：角平分线上的点到角的两边距离相等，将条件和结论互换：到角的两边的距离相等的点也在角的平分线.已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.证明：经过点P作射线OC.∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）【教师活动】启发、引导学生；组织小组之间的交流、讨论；帮助“学困生”【归纳】到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.【教学形式】自主、合作、交流，在教师的引导下，比较上述两个结论，弄清其条件和结论，加深认识.【例】如课本图12．3─6，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.【思路点拨】因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离，而证明它们相等必须标出它们．所以这一段话要在证明中写出，同辅助线一样处理．如果已知中写明点P到三边的距离是哪些线段，那么图中画实线，在证明中就可以不写.【教师活动】操作投影仪，显示例子，分析例子，引导学生参与.证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F.即点P到边AB、BC、CA的距离相等.【评析】在几何里，如果证明的过程完全一样，只是字母不同，可以用“同理”二字概括，省略详细证明过程.【学生活动】参与教师分析，主动探究学习.12.3角的平分线的性质（巩固练习）本节课主要是对角的平分线的性质定理的应用展开讨论，让学生熟练地应用它们解决实际问题.1．知识与技能能应用角的平分线的性质定理解决一些实际的问题.2．过程与方法经历探索角的平分线性质的应用过程，领会几何分析的内涵，掌握综合法的表达思想.3．情感、态度与价值观激发学生的逻辑思维，在比较中获取知识，使学生感悟几何的简练思维.重、难点与关键1．重点：应用角的平分线性质定理.2．难点：应用“综合法”进行表达.3．关键：通过观察、操作、分析来感悟定理的内涵，抓住问题的因果关系进行推理.教具准备投影仪、幻灯片、直尺、圆规.一、回顾交流，练中反思【概念复习】【教学提问】同学们能否从集合的观点来说明角的平分线的性质.【学生活动】在教师对“集合”的思想做初步讲解后，学生可以通过交流得出：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合.F是垂足，求证：EB=FC.【思路点拨】只要证明EB和FC分别所在的两个三角形全等(△EBD≌△FCD）.【教师活动】操作投影仪，巡视，启发引导，适时提问.【学生活动】小组合作学习，寻求解题思路，踊跃上台演示自己的证明.证明：∵AD是角的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，【媒体使用】投影显示“分层练习1”和学生的练习.【教学形式】小组合作（4人小组）交流，然后全班汇报，以练促思.2．已知：如图2，河的南区有一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与河上公路桥的距离为300米，在图上标出工厂的位置，并说明理由.【思路点拨】画图略，根据角的平分线性质，工厂应在河流与公路交角的平分线上.【教师活动】操作投影仪，提出问题，参与学生的思考和讨论.【学生活动】分四人小组积极地讨论，得出结论，踊跃发表自己的看法.【媒体使用】投影显示“分层练习2”.【教学形式】合作学习，生生互动交流.二、操作观察，辨析理解【操作思考】（投影显示）（1）在一张纸上任意画一个角（角的边不要画得太短）∠AOB.（3）折叠所画的角，使角的两边OA与OB重合，设折痕为Ox，如图3.（4）在折叠形成的两层纸之间放入复写纸.（6）拿出复写纸，并且把折叠的纸展开观察展开后的图形，并进行思考，上面的操作【教师活动】操作投影仪，巡视，参与学生的讨论，引导启发.角的平分线上的点到角的两边距离相等.【教学形式】分四人小组合作学习，动手动脑，互动交流.三、课堂演练，系统跃进1．已知：如图4，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E、F是垂足，DE=BF．求证1）AE=CF；（AB∥CD.[提示]应用HL证Rt△ABC≌Rt△CED2．已知：如图5，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N，求证PM=PN.AMDPN[提示]∵∠ABD=∠CBD，AB=CB，BD=BD，∴△ABD≌△CBD，∴∠ADB=∠CPN⊥CD，∴PM=PN.第十二章全等三角形复习与交流本节课主要进行系统的复习，让学生建构出完整的知识体系.1．知识与技能理解全等三角形的性质与判定定理，以及角的平分线性质，会应用在实际的问题中.2．过程与方法经历探究全等三角形有关性质和判定等概念，掌握几何的分析思想，能应用“综合法”表达问题.3．情感、态度与价值观发展学生的逻辑思维，提高合情推理能力，体会几何学的实际应用价值.重、难点与关键1．重点：应用全等三角形性质与判定定理解决实际问题.2．难点：分析思路的形成.3．关键：明确全等三角形的应用思想，养成说理有据的意识.教具准备投影仪、幻灯片.教学方法采用“精讲─精练”的教学方法，让学生自主构筑知识体系.一、回顾交流，系统跃进【交流讨论】教学形式：分四人小组，回顾小结．然后，教师请三位同学谈谈他是怎么总结的.【知识结构图】见课本，用投影显示.1．举一些全等形的实例，全等三角形的对应边有什么关系？对应角呢？【学生活动】踊跃举手，发言：全等三角形对应角相等，对应边相等.【媒体使用】投影显示一些生活中的全等图形，配合学生的认知.【教师提问】一个三角形有三条边，三个角，从中任选三个来判定两个三角形全等，哪【学生活动】小组讨论，互动交流.形成共识1）边边边2）边角边3）角边角4）角角边5）斜边、直角边（证Rt△)等能够判定两个三角形全等1）SSA2）AAA，是不能够判定两个三角形全等的.【教师提问】2．你能结合本章的有关问题，说一说证明一个结论的过程吗？【学生活动】小组讨论，形成共识.二、课堂演练，巩固学习【演练题1】如图1，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于F，∠ACB=∠AED=105°,∠CAD=10°,∠B=∠D=25°,求∠DFB和∠DGB的度数85°,60°)【演练题2】如图2，点A，B，C，D在一条直线上，△ACE≌△BDF.求证1）AE∥BF2）AB=CD.[（1）∵△ACE≌△BDF，∴∠A=∠DBF，∴AE∥BF；（2）∵△ACE≌△BDF，∴AC=BD，∴AB=CD]【教师活动】操作投影仪，巡视、关注学生的思维，请三位学生上台演示.【学生活动】书面练习，与同伴交流，踊跃上台演示.【教学形式】自主、合作、交流.【教师活动】和学生一起总结，认识，提高.【评析】上述演练题主要是复习全等三角形性质.E、F，求证：∠AEO=∠DFO.【思路点拨】观察图形，分析已知条件和结论，欲证∠AEO=∠BFO，只需证AB∥DC，由已知条件易知△AOB≌△DOC，必有∠A=∠D，这样就可解得AB∥CD，从而证明∠AEO=∠DFO.第十三章轴对称〔知识与技能〕1．在生活实例中认识轴对称图.2．分析轴对称图形，理解轴对称的概念．轴对称图形的概念〔过程与方法〕1、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯；2、在灵活运用知识解决有关问题的过程中，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培说理和进行简单推理的能力。〔情感、态度与价值观〕1、体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心；2、会应用数学知识解决一些简单的实际问题，增强应用意识；3、使学生进一步形成数学来源于实践，反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点。理解轴对称的概念教学难点能够识别轴对称图形并找出它的对称轴.教具准备：三角尺教学过程一．创设情境，引入新课1.举实例说明对称的重要性和生活充满着对称。2.对称给我们带来多少美的感受！初步掌握对称的奥秒，不仅可以帮助我们发现一些图形的特征，还可以使我们感受到自然界的美与和谐.3.轴对称是对称中重要的一种，让我们一起走进轴对称世界，探索它的秘密吧！二．导入新课1.观察：几幅图片（出示图片观察它们都有些什么共同特征.强调：对称现象无处不在，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，甚至日常生活用品，人们都可以找到对称的例子.练习：从学生生活周围的事物中来找一些具有对称特征的例子.打开这张对折的纸，就剪出了美丽的窗花．你能发现它们有什么共同的特点吗？3.如果一个图形沿一直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称.4.动手操作：取一张质地较硬的纸，将纸对折，并用小刀在纸的中央随意刻出一个图案，将纸打开后铺平，你得到两个成轴对称的图案了吗？归纳小结：由此我们进一步了解了轴对称图形的特征：一个图形沿一条直线折叠后，折痕两侧的图形完全重合.5.练习：你能找出它们的对称轴吗？分小组讨论.小结得出：.像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.教学目标〔知识与技能〕1．了解两个图形成轴对称性的性质，了解轴对称图形的性质.2．探究线段垂直平分线的性质.〔过程与方法〕1、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯；2、在灵活运用知识解决有关问题的过程中，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培说理和进行简单推理的能力。〔情感、态度与价值观〕1、体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心；2、会应用数学知识解决一些简单的实际问题，增强应用意识。轴对称的性质，线段垂直平分线的性质教学难点：1．轴对称的性质．2．线段垂直平分线的性质．3.体验轴对称的特征.教具准备：圆规、三角尺、教学过程一．创设情境，引入新课二．导入新课1.如下图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，为什么？（学生思考并做小范围讨论）对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．我们把经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.2.画一个轴对称图形，并找出两对称点，看一下对称轴和两对称点连线的关系.3.对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．类似地，轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线.下面我们来探究线段垂直平分线的性质.证法一：利用判定两个三角形全等.→△APC≌△BPC→PA=PB.证法二：利用轴对称性质.线段PA与PB是重合的，因此它们也是相等的.央的孔射出去，怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上．所以线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合.三．随堂练习课本P34练习这节课通过探索轴对称图形对称性的过程，了解了线段的垂直平分线的有关性质，同学们应灵活运用这些性质来解决问题.六．教后记〔知识与技能〕1．探索作出轴对称图形的对称轴的方法．掌握轴对称图形对称轴的作法.2．在探索的过程中，培养学生分析、归纳的能力.〔过程与方法〕1、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯；2、在灵活运用知识解决有关问题的过程中，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培说理和进行简单推理的能力。〔情感、态度与价值观〕1、体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心；2、会应用数学知识解决一些简单的实际问题，增强应用意识。探索轴对称图形对称轴的作法.教具准备：圆规、三角尺教学过程一．提出问题，引入新课1.有时我们感觉两个图形是轴对称的，如何2.轴对称图形性质．如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．轴对称图形的对称轴，是任何一对对称点所连线段的垂直平分线.3.找到一对对应点，作出连结它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴了.二．导入新课1.要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定定理，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，又由两点确定一条直线这个公理，那么必须找到两个到线段两端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线.已知：线段AB[如图（1）].作法：如图（2）12直线CD就是线段AB的垂直平分线.2.[例]图中的五角星有几条对称轴？作出这些对称轴.2．作出线段AA′的垂直平分线L.则L就是这个五角星的一条对称轴.用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五条对称轴.三．随堂练习如图，与图形A成轴对称的是哪个图形？画出它们的对称轴.本节课我们探讨了尺规作图，作出线段的垂直平分线．并据此得到作出一个轴对称图形一条对称轴的方法：找出轴对称图形的任意一对对应点，连结这对对应点，作出连线的垂直平分线，该垂直平分线就是这个轴对称图形的一条对称轴.五．课后作业对称变换在实际生活中的应用.感受数学的应用意识.[师]上节课我们学习了轴对称变换的概念，知道了一个图形经过轴对称变换可以得到它的轴对称图形，那么具体过程如何操作呢？这就是我们这节课要学习的．下面同学们来仔细观察一个图案．(小黑板展示)以虚线为对称轴画出图的另一半：[生甲]这个图案（1）左右两边应该完全相同，画出的整个图案的形状应该是个脸.[生乙]图案（2）画出另一半后应该是一座小房子.[师]我们利用方格纸来试着画一画.[师]画好了吧？我们今天就来学习作出简单平面图形经过轴对称后的图形.[师]如何作一个图形经过轴对称后的图形呢？我们知道：任何一个图形都是由点组成的．因为我们来作一个点关于一条直线的对称点．由已经学过的知识知道：对应点的连线被对称轴垂直平分．所以，已知对称轴L和一个点A，要画出点A关于L的对应点A′，可点A′就是点A关于直线L的对应点.好，大家来动手画一点A关于直线L对称的对应点，教师口述，大家来画图，要注意作图的准确性.[生]画好了.[师]好，现在我们会画一点关于已知直线的对称点，那么一个图形呢？[例1]如图（1已知△ABC和直线L，作出与△ABC关于直线L对称的图形.[生甲]可以在已知图形上找一些点，然后作出这些点关于这条直线的对应点，再按图形上点的顺序连结这些点．这样就可以作出这个图形关于直线L的对称图形了.[生乙]△ABC可以由三个顶点的位置确定，只要找A、B、C三点就可以了.[师]好，下面大家一起动手做.[师]大家做完后，我们共同来归纳一下如何作出简单平面图形经过轴对称后的图形.几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对称点，再连结这些对应点，就可得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对应点，连结这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形.[师]看来在作一个平面图形关于直线轴对称的图形，找一些特殊点是关键．下图中，要作出图形的另一半，哪些点可以作为特殊点？并画出图形的另一半.[师]大家作个简单讨论，共同来完成这个题.[生]在图形（1）上找三个点，在图形（2）中找一个点就可以，如下图：[师]现在我们来做练习.1．在平面直角坐标系中，探索关于x轴、y轴对称的点的坐标规律.2．利用关于x轴、y轴对称的点的坐标的规律，能作出关于x轴、y轴对称的图形.1．在探索关于x轴，y轴对称的点的坐标的规律时，发展学生数形结合的思维意识.2．在同一坐标系中，感受图形上点的坐标的变化与图形的轴对称变换之间的关系.在探索规律的过程中，提高学生的求知欲和强烈的好奇心.1．理解图形上的点的坐标的变化与图形的轴对称变换之间的关系.2．在用坐标表示轴对称时发展形象思维能力和数形结合的意识.用坐标表示轴对称.探索发现法.坐标纸.坐标纸.（2）已知右边图脸右眼的坐标为（4，3左眼的坐标为（2，3嘴角两个端点，右你能根据轴对称的性质写出左边圆脸上左眼，右眼及嘴角两端点的坐标吗？2．在平面直角坐标系中，将坐标为（2，24，24，42，42，2）的点用线段依次连结起来形成一个图案.（1）纵坐标不变，横坐标分别乘以-1，再将所得的各个点用线段依次连结起来，所得（2）横坐标不变，纵坐标分别乘以-1，再将所得的各个点用线段依次连结起来，所得接着又从对坐标实施变化，引起图案的变化，使学生在坐标的变化中产生对每对关于x轴、y轴对称的点的坐标规律的探究.[生]11）观察可发现图中的两个圆脸关于y轴对称.的距离和A到y轴的距离相等，A1、A到x轴的距离也相等，∵A1在第二象限，∴A1的坐（-2，4顺次连结所得到的图案和原图案比较，不难发现它们是关于y轴对称的.（2）横坐标不变，纵坐标乘以-1，得到相应的四个点为A2（2，-2B2（4，-2C22（2，-4顺次连结所得到的图案和原图案比较，可得它们是关于x轴对称的.那么关于y轴对称的点具有什么规律呢？这节课我们就来研究关于x轴，y轴对称的每对对称点坐标的规律.在如图所示的平面坐标系中，画出下列已知点及其对称点，并把坐标填入表格中．看看每对对称点的坐标有怎样的规律．再和同学讨论一下.12通过学生动手操作，分别作A，B，C，D，E关于x轴、y轴的对称点A′，B′，C′，D′，E′；A″，B″，C″，D″，E″，并且求出它们的坐标，观察，归纳它们坐标之间的关系.教师引导，学生自主探索发现关于x轴、y轴对称的每组对称点坐标的规律.12我们先在坐标系中作出A点关于x轴的对称点，即过A作x轴的垂线交x轴于M点，M点的坐标为（2，0在AM的延长线上截A′M=AM，则A′就是A点关于x轴的对称点，所以A′在第一象限，因为A′M=AM，所以A′的纵坐标为3，因为AA′⊥x轴，即1-2C′（-6，5D′(关于-2C′（-6，5D′(关于x轴的对称点21212关于x轴的对称点12[生]每对对称点的横坐标相同，纵坐标互为相反数.[师]我们不仿再找几对关于x轴对称的点，写出它们的坐标，还有上面的规律吗？学生亲自动手进一步尝试，在学生认可的情况下明确关于x轴对称的每对对称点的坐标的规律.关于x轴对称的每对对称点的坐标：横坐标相同，纵坐标互为相反数.接着我们再来作出A，B，C，D，E关于y轴的对称点，并求出它们的坐标.[生]同样，我们先作出A关于y轴的对称点A″，并求出A″的坐标.122关于y关于y轴对称点2[师]观察上表，比较每对关于y轴的对称点的坐标，你能发现什么规律？[生]关于y轴对称的每一对对称点的坐标纵坐标相同，横坐标互为相反数.例2(书P44)的特点.三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯.等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用.探究归纳法.生：硬纸、剪刀.一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形[生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是.[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形.[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形.[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形.BAIABICAB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形.[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点.[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本P49探究中的方法，剪出一个等腰三角形.[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角.[师]有了上述概念，同学们来想一想.1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴.[生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线.[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系.[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等.[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的部分就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线.[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的部分互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴.[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴.[师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察.[生齐声]它们是同一条直线.[师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质.[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高.[师]很好，我们来总结等腰三角形的性质：2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这A所以∠B=∠C.[生乙]如右图，在△ABC中，AB=AC，作顶角∠BAC的角平分线AD，因为所以△BAD≌△CAD.1所以BD=CD，∠BDA=∠CDA=2A[师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很规范．下面我们来看例题.求：△ABC各角的度数.[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题.[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A.ADD[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A设为x的话，那么∠ABC、∠C都可以用x来表示，这样过程就更简捷.所以∠ABC=∠C=∠BDC.∠BDC=∠A+∠ABD=2x，在△ABC中，∠A=35°,∠ABC=∠C=72°.[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识.探索等腰三角形的判定定理.探索等腰三角形的判定定理，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念.知识解决实际问题的能力.等腰三角形的判定定理及其应用.探索等腰三角形的判定定理.讲练结合法.[师]上节课我们学习了等腰三角形的性质，现在大家来回忆一下，等腰三角形有些什么[生甲]等腰三角形的两底角相等.[生乙]等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.[师]同学们回答得很好，我们已经知道了等腰三角形的性质，那么满足了什么样的条件就能说一个三角形是等腰三角形呢？这就是我们这节课要研究的问题.思考：如图，位于在海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不0在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？[生甲]应该能同时赶到出事地点．因为两艘救生船的速度相同，同时出发，在相同的时间内走过的路程应该相同，也就是OA=OB，所以两船能同时赶到出事地点.[生乙]我认为能同时赶到O点的位置很重要，也就是∠A如果不等于∠B，那么同时以同样的速度就不一定能同时赶到出事地点.[师]现在我们把这个问题一般化，在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们[生丙]我想它们所对的边应该相等.[师]为什么它们所对的边相等呢？同学们思考一下，给出一个简单的证明.[生丁]我是运用三角形全等来证明的.求证：AB=AC.在△BAD和△CAD中A[师]太好了．从丁同学的证明结论来看，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也是相等，也就说这个三角形就是等腰三角形．这个结论也回答了我们一开始提出的问题．也就是如何来判定一个三角形是等腰三角形.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等[师]下面我们通过几个例题来初步学习等腰三角形判定定理的简单运用.E[例2]求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.E[师]这个题是文字叙述的证明题，DD求证：AB=AC.[师]同学们先思考，再分析.[生]要证明AB=AC，可先证明∠B=∠C.BC[师]这位同学首先想到我们这节课的重点内容，很好![生]接下来，可以找∠B、∠C与∠1、∠2的关系.BC[师]我们共同证明，注意每一步证明的理论根据.证明：∵AD∥BC，AD[师]看小黑板，同学们试着完成这个题.求证：ABAD证明：∵AD∥BC，又∵BD平分∠ABC，[例3]如图（1标杆AB的高为5米，为了将它固定，需要由它的中点C向地面上与ACCDBNE[师]这是一个与实际生活相关的问题，解决这类型问题，需要将实际问题抽象为数学模型．本题是在等腰三角形中已知等腰三角形的底边和底边上的高，求腰长的问题.（4）连接CD、CE，△CDE就是所求的等腰三角形，量出CD的长，就可以算出要求的绳长.[师]同学们按以上步骤来做一做，看结果是多少.经历探索等腰三角形成为等边三角形的条件及其推理证明过程.号感，发展抽象思维.步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点.等边三角形判定定理的发现与证明.探索发现法.[师]我们在前两节课研究证明了等腰三角形的性质和判定定理，我们知道，在等腰三角形中有一种特殊的等腰三角形──三条边都相等的三角形，叫等边三角形．回答下面的三个问题.把你的证明思路与同伴交流.（教师应给学生自主探索、思考的时间）[生甲]由等边对等角的性质可知，等边三角形的三个角相等，又由三角形三内角和定理可知，等边三角形的三个角相等，并且都等于60°.[生乙]等腰三角形已有两边分别相等，所以我认为只要腰和底边相等，等腰三角形就是等边三角形了.[生丙]等边三角形的三个内角都相等，且分别都等于60°,我认为等腰三角形的三个内角都等于60°,也就是说这个等腰三角形就是等边三角形了.（此时，部分同学同意此生看法，部分同学不同意此生看法，引起激烈的争论，教师可让同学代表发表自己的看法）[生丁]我不同意这个同学的看法，因为任何一个三角形满足这个条件都是等边三角知是等腰三角形，满足什么条件时便是等边三角形”，我觉得他给的条件太多，浪费![师]给三个角都是60°,这个条件确实有点浪费，那么给什么条件不浪费呢？下面同学们可以在小组内交流自己的看法.探索等腰三角形成等边三角形的条件.[生]如果等腰三角形的顶角是60°,那么这个三角形是等边三角形.[生]根据三角形的内角和定理，顶角是60°,等腰三角形的两个底角的和就是180°则三个内角分别相等，根据等角对等边，则此时等腰三角形的三条边是相等的，即顶角为60°的等腰三角形为等边三角形.[生]等腰三角形的底角是60°,那么这个三角形也是等边三角形，同样根据三角形内角和定理和等角对等边、等边对等角的性质.还是顶角是60°,那么这个等腰三角形都是等边三角形．你能用更简洁的语言描述这个结[生]有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.（这个结论的证明对学生来说可能有一定的难点，难点是意识到分别讨论60°的角是底角和顶角两种情况．这是一种分类讨论的思想，教师要关注学生得出证明思路的过程，引导学生全面、周到地思考问题，并有意识地向学生渗透分类的思想方法）（1）这个角是底角2）这个角是顶角．也就是说我们思考问题要全面、周到.[师]我们来看有多少同学意识到分别讨论60°的角是底角和顶角的情况，我们鼓掌表示对他们的鼓励.今天，我们探索、发现并证明了等边三角形的判定定理；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，我们在证明这个定理的过程中，还得出了三角形为等边三角形的条件，A[生]三个角都相等的三角形是等边三角形.[师]下面就请同学们来证明这个结论.A求证：△ABC是等边三角形.证明：∵∠A=∠B，BCB又∵∠A=∠C，∴AB=BC=AC，即△ABC是等边三角形.[师]这样，我们由等腰三角形的性质和判定方法就可以得到.等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°;三个角都相等的三角形是等边三角形.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.[师]有了上述结论，我们来学习下面的例题，体会上述定理.BAAP=BP=200m，他们便得出一个结论：A、B之间距离不少于200m，BAPAP=BP，由本节课探究结论知△APBP于是∠PAB=∠PBA=∠APB.从而△APB为等边三角形，AB的长是200m，由此可以得出兴趣小组的结论是正确的.质.理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系.含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明.探索发现法.[师]我们学习过直角三角形，今天我们先来看一个特殊的直角三角形，看它具有什么性质．大家可能已猜到，我让大家准备好的含30°角的直角三角形，它有什么不同于一般的问题：用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由.由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能（让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论，同时引导学生意识到，通过实际操作探索出来的结论，还需要给予证明）[生]用含30°角的直角三角尺摆出了如下两个三角形.AA其中，图（1）是等边三角形，因为△ABD≌△ACD，所以AB=AC，又因为Rt△ABD中，∠BAD=60°,所以∠ABD=60°,有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.[生]图（1）中，∠B=∠C=60°,∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°,所以∠B=∠C=∠BAC=60°,即△ABC是等边三角形.[师]同学们从不同的角度说明了自己拼成的图（1）是等边三角形．由此你能得出在直[生]在直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半.即在Rt△ABD中，∠BAD=30°,它所对的边BD是斜边AB的一半.[师生共析]这位同学能结合前后知识，把问题思路解释得如此清晰，很了不起．下面我们一同来完成这个定理的证明过程.定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC=30°.1求证：BC=AB.2证明：在△ABC中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,则∠B=60°.[师]这个定理在我们实际生活中有广泛的应用，因为它由角的特殊性，揭示了直角三角形中的直角边与斜边的关系，下面我们就来看一个例题.立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°,立柱BD、A=30°,所以DE=AD，BC=AB，又由D是AB的中点，所以14解：因为DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°,由定理知12BDD[师]再看下面的例题.[例]等腰三角形的底角为15°,腰长为2a，求腰上的高.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠分析：观察图形可以发现，在Rt△ADC中，AC=2a，根据在直角三角形中，30°角所