《电子设备可靠性工程》课件第9章

第9章机械零部件的可靠性设计9.1机械可靠性设计的基本特点9.2静态应力－强度干涉模型9.3几种常用分布的可靠度计算9.4安全系数与可靠度9.5机械零件的可靠性设计9.1机械可靠性设计的基本特点

1.传统的机械设计与机械可靠性设计的相同点

传统的机械设计是采用确定的许用应力法和安全系数法研究、设计机械零件和简单的机械系统。这是广大工程技术人员很熟悉的设计方法。而机械可靠性设计，又称机械概率设计是以非确定性的随机方法研究、设计机械零件和机械系统。它们共同的核心内容都是针对所研究对象的失效与防失效问题，建立起一整套的设计计算理论和方法。在机械设计中，不论是传统设计或概率设计，判断一个零件是否安全都是将引起失效的一方，如零件中的载荷、应力或变形等，与抵抗失效能力的一方，如零件的许用载荷、许用应力或许用变形等，加以对比来判断。

如果引起零件失效的一方，简称为“应力”，用s表示，可用一多元函数来描述，即：(9-1)式中，影响失效的各项因素，如力的大小、力的作用位置、应力集中、环境因素等。

若抵抗失效能力一方，简称为“强度”，用r表示，也可用一多元函数来描述，即：(9-2)式中：

影响零件强度的各项因素，如材料性能、表面质量、零件尺寸等。

这里所指的“应力”s和“强度”r显然都是广义的，当r－s>0，表示零件处于安全状态，当r－s<0，零件处于失效状态，r－s=0，零件处于极限状态。因此，传统的机械设计和机械可靠性设计的共同设计原理可表示为：(9-3)上式表明了零件完成预期功能所处的状态，因此称为状态方程，或称为工作能力方程。不论是传统的机械设计或机械可靠性设计，都是以式（9-3）所表示的零件或系统各种功能要求的极限状态和安全状态作为设计依据，以保证零件在预期的寿命内正常运行。

2.传统的机械设计与机械可靠性设计的不同点

(1)设计变量处理方法的不同

传统的机械设计，把影响零件工作状态的设计变量，如应力、强度、安全系数、载荷、零件尺寸、环境因素等，都处理成确定性的单值变量，而描述状态的数学模型，即变量于变量之间的关系，可通过确定性的函数进行单值变换，这种把设计变量处理成单一确定值的方法，称为确定性设计法。图9-1表示了这种确定性设计法的模型。

机械可靠性设计，把设计中所涉及的变量，都处理成多值的随机变量，它们都服从一定的概率分布，这些变量间的关系，可通过概率函数进行多值变换，得到“应力”s和“强度”r的概率分布，这种运用随机方法对设计变量进行描述和运算的方法，称为非确定性概率设计方法。图9-2表示了这种非确定性概率设计法的模型。图9-1确定性设计法图9-2非确定性概率设计法

(2)设计变量运算方法的不同

在传统的机械设计中，有一受拉力作用的杆件，则横断面上的正应力为：上式表示了拉力F、横断面积A和应力s之间确定性的函数关系，变量之间通过实数代数运算，可得到确定性的单值变换。

在机械可靠性设计中，由于设计变量是非确定性的随机变量，因此，它们均服从一定的分布规律，用概率函数及分布参数（如随机变量的均值和标准差）来表征。于是式(9-4)可写成：(9-5)

式（9-5）表示非确定性随机变量的数字特征之间的函数关系，可运用随机变量的组合运算规则，得到变量与函数间的多值变换。

(3)设计准则含义的不同

在传统的机械设计中，判断一个零件是否失效，是以危险断面的计算应力

是否小于许用应力[

]，计算安全系数n是否大于许用安全系数[n]来决定，相应的设计准则为：(9-6)上式表示零件的强度储备和安全程度，是一个确定不变的量，未能定量反映影响零件强度的许多非确定因素，因而不能回答零件在运行中有多大可靠程度。

在可靠性设计中，由于应力s和强度r都是随机变量，因此，判断一个零件是否安全可靠，是以强度r大于应力s所发生的概率来表示，其设计准则为：(9-7)式中R(t)表示在运行中的安全概率，即可靠度。它是指零件在工作时间t内的一种能力，这种能力是以“强度”r超过“应力”s的概率来度量，显然它是零件工作时间t的函数。式中[R]称为零件的许用可靠度，它表示零件在规定的时间内，规定的条件下实现设计要求的一种能力，即许用安全概率。上式不仅能定量地回答零件在运行中的安全、可靠程度，而且可以预测零件的寿命。

从以上的分析可知，机械可靠性设计是以应力和强度为随机变量作为出发点，应用概率和统计方法进行分析、求解，它可以有多种可靠性指标供选择，其中包括失效率、可靠度、平均无故障工作时间、维修度、有效度等。机械可靠性设计还可以考虑环境的影响，强调设计对产品可靠性的主导作用，并同时考虑产品的可维修性和承认产品在设计期间以及其后都需要进行可靠性增长试验，所有这些特点都标志着机械可靠性设计已进入实用阶段。但由于传统的机械设计方法积累了大量的经验数据，其设计准则和表现形式简单、直观、明确，应用方便，因此为广大工程技术人员所熟练采用，而在我国机械可靠性设计的数据还比较缺乏，这方面的数据的收集又是一项长期、费钱的工作，因此，应该将传统的机械设计和机械可靠性设计有机地结合起来，以丰富发展机械设计理论，提高机械产品的设计水平。

9.2静态应力—强度干涉模型

这一章讨论的问题只限于静态，静态指机械零部件所受的应力不随时间而变化的静应力或近似静应力；强度也不随时间而改变。

前已述及，机械零件的强度和工作应力均为随机变量，呈分布状态。这是由于影响零件强度的参数如材料的性能、尺寸、表面质量等等均为随机变量，影响应力的参数如载荷工况、应力集中、工作温度、润滑状态也都是随机变量的缘故。图9-3应力与强度分布情况图9-4应力与强度的干涉图9-5图9—4阴影部分的放大

9-3(a)图所示情况可靠度为1，这种情况下，零件是绝对安全的，此时强度总大于应力。9-3(c)图的情况恰相反，可靠度为零，这时强度总小于应力的。当然，设计者一定要避免出现这种情况，但能否要求所有设计都处于9-3(a)的情况呢？显然不是，这样设计的零件必然尺寸过大，价格过高，不能算是一个成功的设计。

我们着力研究的是9-3(b)的情况，这就是应力—强度干涉模型，该模型可清楚地揭示机械零件产生故障而有一定故障率的原因和机械强度可靠性设计的本质，是进行零件可靠性设计最基本而且是最主要的工具，它精确描述了产品强度和工作应力这一对功能参数在实际工作中的随机性，并给出了安全与否的定量指标——可靠度R。

从9-3(b)图可以看出，当零件的强度和工作应力的离散程度大时，干涉部分就会加大，零件的不可靠度也就增大;当材料性能好，工作应力稳定而使应力与强度分布的离散度小时，干涉部分会相应地减小，零件的可靠度就会增大。另外，由该图也可以看出，即使在安全系数大于1的情况下，仍然会存在一定的不可靠度，所以，以往传统的机械设计方法只进行安全系数的计算是不够的，还需要进行可靠度计算。

应力与强度分布的干涉曲线如图9-4所示，其干涉面积为图中阴影部分。在干涉面积中将出现应力s的取值大于强度r取值的情况，其可靠度定义为：(9-8)

把图9-4中阴影部分放大，如图9-5所示，应力取值落在小区间ds的概率等于ds小微元的面积，即：式中：s

横坐标在干涉部分的任一取值。

零件强度r大于

的概率为：(9-9)若应力与强度的随机变量s、r相互独立，应力值处于小区间ds，且强度r大于应力的概率为：强度的所有取值比应力的所有取值都大的概率，即为可靠度：(9-10)同理可得，可靠度等于所有应力取值小于强度取值的概率，即：(9-11)（9-10）和（9-11）式就是应力、强度分布发生干涉时可靠度的一般表达式。

可靠度也可以用下面的实际运算式表示。设零件的失效概率或不可靠度为F，则：又因为：，所以上式改写为：(9-12)或：(9-13)

由上述应力—强度分布干涉模型及应力—强度分布发生干涉时的可靠度、失效概率计算公式可知，为了计算机械零件的可靠度，必须在已知应力和强度分布类型的前提下才能完成。9.3几种常用分布的可靠度计算9.3.1应力和强度均为正态分布时的可靠度计算

设零件强度随机变量r与工作应力随机变量s都是正态分布，其概率密度函数分别为：(9-14)(9-15)式中：

强度、应力的均值和标准偏差。

由概率论知识可知，应力s、强度r均为正态分布时，干涉随机变量

也服从正态分布，其概率密度函数为：（9-16)而：(9-17)(9-18)(9-19)将式（9-19）化为标准正态分布，令：则：当:因此，可靠度可写成：(9-20)由于正态分布的对称性，上式可靠度的积分值可写成：(9-21)上式的积分上限为：(9-22)

例9-1已知某机器零件的应力s和强度r均为正态分布，其分布参数分别为:试计算零件的可靠度。

解

由式（9-22）得：因为：由标准正态分布表（附表1）查得：R(t)=0.99849.3.2应力和强度均为对数正态分布的可靠度计算

当X是一个随机变量，且lnX服从正态分布，即

～

时，则称X是一个对数正态分布，服从对数正态分布，其概率密度函数f(x)如式（2-37）所式。

当应力s和强度r服从对数正态分布，即lnr和lns为正态分布，这意味着随机变量

也服从正态分布，其分布参数为：

(9-24)这里的

的均值；

的标准差，称为“对数均值”和“对数标准差”。由可靠度的定义得：令：则上式可表示为：(9-25)这里的变量Y服从对数正态分布，其概率密度函数为f(Y)，而lnY则服从正态分布，因此有关正态分布的一切性质和计算方法都可在此应用，可靠度为：(9-26)将上式化为标准正态分布：(9-27)这里的积分上限为：(9-28)由式（2-41）知对数正态随机变量r的均值E[r]为：两边取对数后上式可改写为：(9-29)由式（2-42）知对数正态随机变量r的方差D[r]为：整理后可得：(9-30)同样可得到：(9-31)

例9-2已知某机械零件的应力s和强度r均为对数正态分布，其均值和标准差分别为:试计算该零件的可靠度。

解

按式（9-29）～（9-31）求出：将它们代入式（9-26）得：而：由标准正态分布表[附表]查得：R(t)=0.99649.3.3应力和强度均为指数分布的可靠度计算

当应力s与强度r均为指数分布时，其概率密度函数为：由式（9-10）有：由于则可靠度为：(9-33)9.3.4应力为指数（或正态）而强度为正态（或指数）分布时的可靠度计算

应力s呈指数分布，其概率密度函数为：强度r呈正态分布，其概率密度函数为：由式（9-11）并考虑到指数分布只有正值且s<r，故有：而上式中：从而有：令：又令：则当r=0时，z的下限为：代入上式并考虑到z是标准正态分布变量，故上式可改写为：(9-35)再令：又令：则：当r=0时，t的下限为,代入B的表达式得：(9-36)将式（9-35）、（9-36）代入式（9-34），得可靠度的表达式为：(9-37)

同理，当强度r呈指数分布而应力呈正态分布时，由（9-10）式可得到可靠度的表达式为：(9-38)

例9-3已知某机械零件强度r为正态分布， ,作用在零件上的应力服从指数分布其均值为50MPa,试计算该零件的可靠度。

解

把上述数据代入式（9-37）得：9.3.5应力为正态分布，强度为韦布尔分布时的可靠度计算

强度r为韦布尔分布时的概率密度函数为：累积分布函数为：均值和方差为：威布尔分布是三参数分布，很灵活，可以是多种多样的形状，m=1即为指数分布。

应力s为正态分布时概率密度的函数为：把上述各式代入式（9-12）得：令：则上式第一项积分是标准正态密度曲线下从的面积，可以用

表示，而对于上式第二项积分。令：

则有：又因为：于是，式（9-39）可改写为：在上式中根据9.3.6强度和应力为任意分布时的可靠度图解计算法

对于应力和强度，不论它们各是哪一种分布，也不论它们是哪两种不同分布的组合，甚至只有应力s和强度r的实测统计数据而不知它们的理论分布时，都可用图解法来近似地计算零件的可靠度。令：由累积分布函数的性质可知，G与H的极限范围是0~1，由此得到：(9-41)图9-6图解法求可靠度

例9-4对某零件的工作状态进行模拟试验，在模拟运转条件下对应力作了10次观测，得到应力值及其相应的累积频率

，记录如表9-1所示，将

对于s的曲线画在图9-7(a)上，此曲线是近似的应力概率分布函数曲线。同样，由零件的强度分析给出了14个强度值，数据列在表9-2中，

间的关系曲线如图9-7(b)中所示。图9-7应力r和强度s的近似概率分布函数

查出应力值时的H和G值，列在表9-3中，图9-8画出了G—H函数的关系曲线，量得曲线下的面积为0.9898，该值即为零件的可靠度。图9-8G和H曲线9.3.7用蒙特卡罗模拟法求可靠度

蒙特卡罗(MonteCarlo)模拟法又称为统计模拟试验法、随机模拟法。它是以统计抽样理论为基础，以计算机为计算手段，通过对有关随机变量的统计抽样检验或随机模拟，从而估计和描述函数的统计量，求解工程技术问题近似解的一种数值计算方法。由于其方法简便，便于编制程序，能保证概率收敛，适用于各种分布且迅速、经济，因此在工程中得到广泛应用。

蒙特卡罗模拟法在应力—强度分布干涉理论中的应用，实际做法就是从应力分布中随机地抽取一个应力值（样本），再从强度分布中随机地抽出一个强度值（样本），然后将这两个样本相比较，如果应力大于强度，则零件失效,反之，零件安全可靠。每一次随机模拟相当于对一个随机抽取的零件进行一次试验，通过大量重复的随机抽样及比较，就可得到零件的失效概率或可靠度的近似值。抽样次数愈多，则模拟精度愈高。要获得可靠的模拟计算结果，往往要进行至少千次以上甚至上万次的模拟。因此，随机模拟需由计算机完成，模拟程序的流程图如图9-9所示。图9-9应力—强度模型模拟流程图

例9-5已知应力对数正态分布：s～ln(6.20463，0.099752),强度为正态分布：r～N(600，602

，用蒙特卡罗模拟法求可靠度。

解

按图9-9编制计算机程序，输入是s～ln(6.20463，0.099752)；r～N(600，602

，模拟次数N=1000，上机计算运行结果为R=0.894。 9.4安全系数与可靠度

9.4.1经典意义下的安全系数

在机械零件的常规设计中，以强度与应力之比称为零件的安全系数，它是常数。它来源于人们的直观认识和具体经验总结，具有直观、易懂、使用方便并有一定的实践依据，所以至今仍被机械设计的常规方法广泛采用。但随着科学技术的发展及人们对客观世界认识的不断深化，发现它有很大的盲目性和保守性，尤其对于那些对安全性要求很高的零部件，采用上述安全系数方法进行设计，显然有很多不合理之处，因为它不能反映事物的客观规律。其实，只有当材料的强度值和零件的工作应力值离散性非常小时，上述定义的安全系数才有意义。

考虑到应力与强度的离散性，进而又有了平均安全系数与极限应力状态下的安全系数等。

以强度均值

与应力均值

之比的安全系数：(9-42)称为平均安全系数。强度的最小值rmin和应力的最大值smax之比：(9-43)则为极限应力与强度状态下的最小安全系数。常用的安全系数也可定义为(9-44)上述各定义式也没有离开经典意义下的安全系数的范畴。9.4.2可靠性意义下的安全系数

如果将设计变量应力与强度的随机性概念引入上述经典意义下的安全系数中，便可得出可靠性意义下的安全系数，这样也就把安全系数与可靠度联系起来了。例如，假设产品的工作应力随机变量为s，产品材料强度的随机变量为r，则产品的安全系数

也是随机变量，当已知强度r和应力s的概率密度函数f(s)和g(r)，由二维随机变量的概率知识，可算出n的概率密度函数。因此，可通过下式算出零件的可靠度，即：(9-45)上式表明，当安全系数是某一分布状态，可靠度R(t)为安全系数n的概率密度函数f(n)在区间

内的积分，见图9-10，这种定义于可靠度之下的安全系数称为可靠性安全系数。图9-10安全系数n的概率密度函数

当应力s、强度r也服从正态分布的相互独立的随机变量，则随机变量

也服从正态分布。引入标准正态变量：(9-46)(9-47)式中：

由正态分布随机变量基本运算公式，可得安全系数的均值和标准差分别为：1.可靠性意义下的平均安全系数

可靠性意义下的平均安全系数定义为零件强度的均值

和零件危险断面上应力均值

之比，即：(9-49)

为把平均安全系数与零件的可靠度联系起来，将联结方程（9-22）与式（9-49）联立求解，可得平均安全系数为：(9-50)

工程中时常给出强度的变异系数

和应力的变异系数

，如果

以

、

来表示，上述经推导可得：(9-51)式（9-50）和式（9-51）适用于应力和强度均为正态分布的情况，工程中有些零件，如零件的静强度、轮齿的弯曲疲劳强度等都可用正态分布来描述。这两个公式直观、明确地表示了安全系数与可靠度、强度参数、应力参数之间的关系，能说明应力和强度在相互干涉的情况下，零件的安全程度和可靠程度，从而赋予了平均安全系数新的含义。2.概率安全系数

概率安全系数定义为某一概率值（a）下零件的最小强度

与在另一概率值（b）下出现的最大应力值

之比，即：(9-52)假设应力和强度均服从正态分布，由正态分布的特性得：所以:

怎样确定

和

呢？显然，不同的取值概率a与b，

和

不同，这应根据设计要求、零件的运行状况、材质的优劣和经济性等来决定。如果材料选得好一些，或零件的尺寸控制放宽一些，则强度取值概率可以取小一些，安全系数

就大些，通常工程设计中取累积概率a=95%时强度的下限值，而取累积概率b=99%时的应力上限值（见图9-11），由标准正态分布表可查得：

，因此式（9-53）可写成：(9-54)式（9-53）、（9-54）所表示的概率安全系数，使安全系数的含义深化了一步，赋予了安全系数评价的新概念。它不仅把安全系数与可靠度及应力、强度的分布参数联系起来，而且考虑到应力、强度在多大概率下取值，同材料的强度试验及实测载荷的要求结合起来。由式（9-54）中的

，所以

，这说明平均安全系数

偏于保守，而概率安全系数更接近实际情况。图9-11某一概率值下的最小强度与最大应力工程实际中还有另外一些安全系数的定义：(9-55)9.5机械零件的可靠性设计(9-56)若x，y相关，则：式中：

相关系数，若x，y完全线性相关，

=1，则

：若x，y线性无关，

=0，表示x，y相互独立。2）正态随机变量的乘积

已知x，y均为正态随机变量，其乘积

，由概率论知：(9-57)若x，y相关时：3）正态随机变量的商(9-58)若x，y相关时：

例9-7一力矩M作用在一臂长为L的杆件上，L与M均为独立的随机变量，并服从正态分布，已知参数为：

解

由于力矩

，因此根据（9-58）式可得作用力的均值和标准差为： 4）其它形式的正态变量函数式

其它形式的正态变量函数式由表9-5所示。

例9-8函数

，式中Ｍ，r1均为正态分布，又已知

，

值。解令：则：所以：又知：所以：2.随机变量函数的数学期望与方差的近似计算

首先考虑x是一维变量的情况。对于

点用泰勒级数展开

至前三项：式中：B

余项。上式数学期望为(9-59)该式是数学期望的近似值，若方差D[x]很小，我们可以进一步忽略第二项，得到：(9-60)为得到D[y]的近似值，再一次考虑泰勒级数展开到前两项：对上式取方差，我们有：(9-61)

例9-9杆的半径均值

，标准差

，求截面积A的均值和标准偏差。解因此：应用(9-59)式和(9-61)式得：面积的标准偏差：对于n维随机变量函数f的近似值，即：设

：分别表示

的期望值和标准偏差的向量，用泰勒级数展开式可得：取数学期望，得：于是可得：如果进一步忽略上式的第二项，则：(9-62)如果考虑泰勒级数展开式前两项并取其方差：(9-63)以标准差为：

例9-10有一断面为圆形的拉杆，已知材料的屈服极限,,拉杆直径 mm，求拉杆所能承受的拉力

解

拉杆允许承受的拉力为：由式(9-62)可得拉力的均值为：对变量d、s求偏导数：由式(9-63)可得拉力的标准差为：9.5.2机械零件的概率工程设计

下面只对几种典型的、数学模型较简单的零件进行讨论，以达到举一反三的目的。从数学模型及概率设计方面看，复杂零件只是设计变量的多少而已，无本质上的差别。

1.承受纯拉伸载荷的机械零件设计

设拉杆承受载荷随机变量Q，服从Q～

，其最小截面积A～

，拉杆承受的拉应力

S～

，且Q、A相互独立，故

，由(9-58)式可得：

当截面积是半径为r的圆截面时，

，且有r～

，则：当截面是以a为边的正方形，

，且有a～

，则：

例9-11有一圆断面拉杆，已知分布参数为：

所受载荷：拉杆材料的拉伸强度值：试计算：

(1)在可靠度R=0.999下，最小拉杆半径。

(2)在此半径基础上，以

为间距，计算不同半径下的可靠度，供结构优化时选取。

解：(1)计算工作应力

由于：而：一般零件的公差尺寸均为其名义尺寸（或均值）的0.015倍，即：若此公差尺寸取3

水平，则有：由联接方程求拉杆半径整理后得到：代入联接方程验算，取

而舍去

因此，为保证拉杆的可靠度为0.999，其半径应为

(２)计算不同半径下的可靠度

从开始，每隔0.2mm取一

值，即7.2mm、7.4mm、7.6mm…代入联接方程中，计算结果列于表9-6中。

例9-12设计一拉杆，已知作用于杆上的拉力载荷N，拉杆的强度极限MPa，Q与

服从正态分布，且相互独立。试设计杆的半径。并与常规设计加以比较。给定可靠度为0.999，确定直径公差。

解

(1)按可靠性设计轴的尺寸工作应力设拉杆半径将已知数据代入联接方程：解得：

(2)按常规方法设计轴的尺寸

用常规的设计方法：以强度极限为基准，通常取安全系数n=2～3.5，现选用n=3，应力：式中：[s]为许用应力，取

,所以：得r=5.16mm，此值远大于3.188mm。反过来，若取r=3.188mm计算安全系数n，则：显然常规设计是不敢采用此值的，而用可靠性设计，取

=3.188mm，可靠度高达0.999，其失效概率只有0.1%，从联接方程可以看出，要保持这一高的可靠度必须使

值保持稳定不变，即可靠性设计的先进性是要以材料制造工艺的稳定性及对载荷测定的准确性为前提条件。

(3)用可靠性安全系数设计轴的尺寸

可靠性设计的计算法比较麻烦，尤其当应力表达式变量较多或公式稍繁，如非圆断面、复合应力等情况，计算就很麻烦了。如果用可靠性意义下的平均安全系数来代替常规的安全系数，则将使设计大为简化。

利用式(9-51)，已知：代入(9-51)得而：解得：结果与可靠性设计的轴的尺寸基本一致，而计算结果则简单得多。

2.轴类零件的设计

轴是典型的机械零件之一，因其用途不同，所受载荷也不一样，传动轴只承受扭转力矩作用，心轴则承受弯矩，而转轴既要承受转矩又要承受弯矩。

1）承受扭矩的轴的设计

在此，研究一端固定而另一端承受扭矩的实心轴的可靠性设计，例如汽车的扭杆弹簧。假定其应力、强度均呈正态分布，则其静强度可靠性设计步骤与前述步骤完全相同，仅应力表达式有差别。

设轴的直径为d（mm），单位长度的扭转角

(rad)，轴的材料的剪切弹性模量为E(MPa)，轴横截面的极惯性矩为

，则在转矩为

的作用下，产生的剪应力为：对于实心轴，

，因此有：而应力的均值和标准偏差为（以下用字母上面一横代