《电路与信号分析》课件第8章

8.1拉普拉斯变换8.2常用信号的拉普拉斯变换8.3拉普拉斯变换的性质8.4拉普拉斯反变换8.5线性电路的复频域分析8.6网络函数与网络特性习题8第8章电路与信号的复频域分析

8.1拉普拉斯变换

8.1.1从傅里叶变换到双边拉普拉斯变换

信号f(t)之所以不能满足绝对可积的条件，是由于当t→∞或t→－∞时，f(t)不趋于零。如果用一个实指数函数e－σt去乘f(t)，只要σ的数值选择适当，就能保证当t→∞和t→－∞时，f(t)e－σt均趋于零而满足绝对可积条件，可以进行傅里叶变换。通常把e－σt称为收敛因子。

f(t)乘以收敛因子e－σt后的信号f(t)e－σt的傅里叶变换为

(8-1)

它是σ+jω的函数，可写成

(8-2)Fb(σ+jω)的傅氏反变换为

(8-3)

将式(8-3)两边乘以eσt，便得到

(8-4)为使式(8-2)、式(8-4)更加简洁，令s=σ+jω，从而

ds=jdω，当ω=±∞时，s=σ±j∞，于是式(8-2)和式(8-4)可改写为

(8-5)

(8-6)

式(8-5)称为f(t)的双边拉普拉斯变换，称Fb(s)是f(t)的象函数，而式(8-6)是Fb(s)的双边拉普拉斯反变换，称f(t)是Fb(s)的原函数。式(8-5)和式(8-6)称为双边拉普拉斯变换对，可以用双箭头表示f(t)与Fb(s)之间这种变换与反变换的关系：

f(t)Fb(s)(8-7)

从上述由傅氏变换导出双边拉普拉斯变换的过程中可以看出，f(t)的双边拉普拉斯变换Fb(s)=Fb(σ+jω)是把f(t)乘以e－σt之后再进行的傅里叶变换，或者说Fb(s)是f(t)的广义傅里叶变换。而f(t)e－σt较容易满足绝对可积的条件，这就意味着许多原来不存在傅里叶变换的信号都存在广义傅里叶变换，即双边拉普拉斯变换，于是，拉普拉斯变换扩大了信号的变换范围。傅里叶变换把信号f(t)分解为无限多个频率为ω、复振幅为的虚指数分量ejωt之和，而拉普拉斯变换则是把信号f(t)分解为无限多个复频率为s=σ+jω、复振幅为的复指数分量est之和。拉普拉斯变换与傅里叶变换的基本区别在于：傅里叶变换将时间域函数f(t)变换为频率域函数F(ω)，或作相反的变换，此处时域变量t和频域变量ω都是实数；而拉普拉斯变换则将时间域函数f(t)变换为复频域函数Fb(s)，或作相反的变换，这里时域变量t是实数，复频变量s是复数。概括地说，傅里叶变换建立了时域和频域(ω域)间的联系，而拉普拉斯变换则建立了时域和复频域(S域)间的联系。8.1.2单边拉普拉斯变换

考虑到实际中遇到的信号都是有始(因果)信号，即t<0时，f(t)=0，以及信号虽然不起始于0，因而问题的讨论只需考虑信号t≥0的部分。在这两种情况下，式(8-5)可改写为

(8-8)

式(8-8)称为f(t)的单边拉普拉斯变换，记为L［f(t)］。相应的反变换为

(8-9)

记为L－1［F(s)］，即F(s)=L［f(t)］和f(t)=L－1［F(s)］。式(8-8)中积分下限用0－而不用0+，目的是可把t=0时出现的冲激考虑到变换中去。当利用单边拉普拉斯变换解微分方程时，可以直接引用已知的起始状态f(0－)而求得全部结果，无需专门计算0－到0+的跳变。

由于在分析因果系统，特别是具有非零初始条件的线性电路或线性常系数微分方程时，单边拉普拉斯变换具有重要价值，所以，我们在下文中讨论的拉普拉斯变换(简称拉氏变换)都是指单边拉普拉斯变换。8.1.3拉普拉斯变换的收敛域

从以上讨论可知，信号f(t)的拉普拉斯变换实际是f(t)e－σt的傅里叶变换。信号f(t)的拉普拉斯变换是否存在，取决于式(8-8)积分是否收敛，即f(t)e－σt是否收敛，这要依据f(t)的性质与σ值的相对关系而定。也就是说，对于某一函数f(t)，通常并不是在所有的σ值上都能使式(8-8)的积分收敛，即并不是对所有的σ值而言，函数f(t)都存在拉普拉斯变换，而只是在σ值的一定范围内才存在拉普拉斯变换。通常把使f(t)e－σt满足绝对可积条件的σ值的范围称为拉普拉斯变换的收敛域。在收敛域内，函数的拉普拉斯变换存在，在收敛域外，函数的拉普拉斯变换不存在。如果因果信号f(t)满足：①在有限区间a<t<b内(0≤a<b<∞)可积；②对于某个σ0，有

(σ>σ0)(8-10)

则对于Re［s］=σ>σ0，拉普拉斯变换积分式(8-8)绝对且一致收敛，即f(t)存在拉普拉斯变换。

σ0为最低限度的σ值，称为收敛坐标，它的取值与函数f(t)的性质有关。经过σ0的垂直线是收敛边界，或称为收敛轴。由于单边拉普拉斯变换的收敛域是Re［s］=σ>σ0的半平面组成，因此其收敛域都位于收敛轴的右边，如图8-1(a)所示。例如指数信号f1(t)=e4t，由于只有当σ>4时，才有，所以其拉普拉斯变换F1(s)的收敛横坐标σ0=4，F1(s)的收敛域如图8-1(b)阴影所示。又如，单边斜坡信号f2(t)=tε(t)的拉普拉斯变换F2(s)的收敛横坐标σ0=0，所以，F2(s)的收敛域如图8-1(c)阴影所示。图8-1单边拉普拉斯变换的收敛域这里需要指出的是，对于一些比指数函数增长更快的函数，例如或tt，这些信号找不到它们的收敛坐标，因而，它们不能进行拉氏变换。对于工程实际中常用到的一般信号，其拉普拉斯变换总是存在的，即总能找到一个足够大的σ0值，使信号f(t)满足式(8-10)。

由于单边拉氏变换的收敛域由Re(s)>σ0的半平面组成，收敛域比较容易确定，故在一般情况下，不再加注其收敛域。8.2常用信号的拉普拉斯变换

下面给出一些常用信号的拉氏变换。因为f(t)与f(t)ε(t)的单边拉氏变换相同，因此假定这些信号都是有始信号。

1.指数信号e-αtε(t)

即

(8-11)

2.单位阶跃信号ε(t)

令式(8-11)中α=0，即得

(8-12)

3.单边正弦信号sinω0tε(t)

即

(8-13)

4.单边余弦信号cosω0tε(t)

即

(8-14)

5.单边衰减正弦信号e-αtsinω0tε(t)

即

(8-15)

6.单边衰减余弦信号e-αtcosω0tε(t)

由于

可得

(8-16)

7.单位冲激信号δ(t)

即

(8-17)

8.t的正幂信号tnε(t)(n为正整数)

使用分部积分法，则有即

依此类推，可得即

(8-18)

当n=1，即f(t)=tε(t)为单位斜坡信号时，有

(8-19)

将常用信号的拉氏变换列于表8-1中，以备查用。表8-1常用信号的拉氏变换对8.3拉普拉斯变换的性质

在实际应用中，人们常常不是利用定义式来计算拉氏变换的，而是巧妙地利用拉氏变换的一些基本性质。这些性质与傅里叶变换性质极为相似，在某些性质中，只要把傅氏变换中的jω用s替代即可。但是，傅氏变换是双边的，而这里讨论的拉氏变换是单边的，所以某些性质又有差别。与傅氏变换相类同的性质这里不再证明。

1.线性

若f1(t)F1(s)，f2(t)F2(s)，则

a1f1(t)+a2f2(t)a1F1(s)+a2F2(s)

(8-20)

式中，a1和a2为任意常数。

2.时移性

若f(t)F(s)，则

(8-21)

式(8-21)表明，信号在时域内延时t0，对应于复频域内乘以

。该式中t0>0的规定对于单边拉氏变换是十分必要的，因为若t0<0，信号的波形有可能左移越过原点，这将导致原点以左部分不能包含在从0－到∞的积分中去，因而造成错误。

例8-1设f(t)=t，因而F(s)=L［f(t)］=。试求下列信号的拉氏变换：

(1)f(t－t0)=t－t0;

(2)f(t－t0)ε(t)=(t－t0)ε(t);

(3)f(t)ε(t－t0)=tε(t－t0);

(4)f(t－t0)ε(t－t0)=(t－t0)ε(t－t0)，t0>0。

解四种信号如图8-2所示。对于(1)和(2)两种信号，t>0的波形相同，所以它们的拉氏变换也相同，即

对于信号(3)，它的拉氏变换是图8-2例8-1图对于信号(4)，它的拉氏变换是

可见，在以上四种信号中，只有信号(4)f(t－t0)ε(t－t0)=

(t－t0)ε(t－t0)是f(t)ε(t)=tε(t)右移t0而成的，因而只有信号(4)与f(t)ε(t)或f(t)之间才可以应用时移性，即

例8-2求图8-3(a)所示锯齿波f(t)的拉氏变换。

解先将锯齿波分解为如图4.3-2(b)所示三个波形之和，即图8-3锯齿波f(t)的分解应用拉氏变换的时移性，有由线性得时移性的一种重要应用是求取周期信号的拉氏变换。若以T为周期的周期信号f(t)的第一周、第二周、第三周……的波形分别用f1(t)，f2(t)，f3(t)，…表示，则有

f(t)=f1(t)+f2(t)+f3(t)+…

=f1(t)+f1(t－T)ε(t－T)+f1(t－2T)ε(t－2T)+…

若F1(s)=L［f1(t)］，则根据时移性可得

(8-22)

这就是说，周期信号的拉氏变换等于其第一周波形的拉氏变换乘以。

例8-3试求图8-4(a)所示的正弦半波周期信号的拉氏变换。

解单个正弦半波脉冲图8-4正弦半波周期信号及其单个脉冲的分解其波形如图8-4(b)所示。

其拉氏变换利用式(8-22)可得

3.比例性(尺度变换)

若f(t)F(s)，则

(8-23)

式中规定常数a>0是必要的，因为f(t)为有始信号，若a<0，则f(at)的单边拉氏变换为零。

例8-4已知L［f(t)］=F(s)。试求

L［f(at－t0)ε(at－t0)］(a>0，t0>0)

解此题可应用比例性和时移性来求解。

先应用时移性，可得

再应用比例性即可求出所需结果

(8-24)另一种做法是先应用比例性，然后再应用时移性。这时首先得出

进一步应用时移性，可得

以上证明充分说明两种方法结果一致。

4.频移性

若f(t)F(s)，则

(8-25)

此性质表明，时间函数乘以，相当于变换式在S域内平移±s0。

例8-5求e－tε(t－1)的拉氏变换。

解因为

由时移性得

再由频移性式(8-25)可得

5.时域微分性

若f(t)F(s)，则

(8-26)

(8-27)

式中，f(0－)及f(k)(0－)分别表示在t=0－时f(t)及f(k)(t)的值。

证明根据拉氏变换的定义

应用分部积分法，则有同理可得

(8-28)

依次类推，可得式(8-27)。若f(t)=f(t)ε(t)，则式(8-26)中由于f(0－)=0而简化为

(8-29)

应当注意，虽然L［f(t)］=L［f(t)ε(t)］，但

不一定和相等，因为这与f(0－)是否为零有关。

例8-6设f1(t)=e－αtε(t)，。试求

它们的拉氏变换及其导数f

1′

(t)和f2′

(t)的拉氏变换。

解

f1(t)和f2(t)的波形如图8-5所示。图8-5例8-6图虽然这两个信号在t<0部分不同，但在t>0部分完全相同，故它们的单边拉氏变换相同，即

根据时域微分性，且f1(0－)=0，f2(0－)=－1，得如果将f1(t)和f2(t)分别求导，再求拉氏变换，则有两种解法结果一致，从而证实了时域微分性的正确性。尽管f1(t)和f2(t)的单边拉氏变换相同，即F1(s)=F2(s)，但f

1′

(t)和

f2′

(t)的拉氏变换不同，原因在于f2(t)比f1(t)在t=0处多了一个跳变值f2(0－)。这说明，f(t)在t<0时的函数值不影响其本身的拉氏变换，但会影响其导数的拉氏变换。

时域微分性质及下面的积分性质可将描述电路的微分方程化为较简单的代数方程，而且自动地引入初始状态，这一特点在电路分析中十分有用。

6.时域积分性

若f(t)F(s)，则

(8-30)

(8-31)

式中

证明根据拉氏变换的定义

应用分部积分法，可得当t→∞和t→0－时，上式右边第一项为零，所以

若积分下限由－∞开始，则有所以

例8-7试利用阶跃信号ε(t)的积分求tε(t)和tnε(t)的拉氏变换。

解因为

而

所以重复应用这个性质，可得

7.初值定理

若f(t)F(s)，且存在，则f(t)的初值为

(8-32)

证明利用时域微分性质上式中第一项积分限为0－到0+，在整个积分区间内t=0，因此，e－st|t=0=1，于是可写为

故

对上式两边取极限，令s→∞，则右边积分项将消失，故有初值定理表明，信号在时域t=0+时的值可通过F(s)乘以

s，取s→∞的极限，而不必求取F(s)的反变换，但其条件是

必须存在。当F(s)为有理分式时必须为真分式，也就是说，在时域中对应于f(t)在t=0处不包含冲激及其导数；当F(s)不是真分式时，不能直接利用式(8-32)求初值，而必须先用长除法将F(s)分成一个多项式与一个真分式F0(s)之和，即F(s)=kmsm+km-1sm-1+…+k0+F0(s)，然后再从F0(s)求初值因为根据时域微分性，sm的反变换为δ(m)(t)，多项式分量对应的反变换为kmδ(m)(t)+km-1δ(m-1)(t)+…+k0δ(t)，在t=0+时为零，不影响f(0+)的值，因而可移去F(s)的多项式，而只利用F(s)的真分式F0(s)求f(t)的初值。

例8-8已知F(s)=L［f(t)］=。试求初值f(0+)。

解由于F(s)是有理分式但不是真分式，分子的阶次等于分母的阶次，故将其分解为

则

8.终值定理

若f(t)F(s)，且存在，则f(t)的终值

(8-33)

证明仍利用时域微分性质上式两边取s趋于零的极限，此时e-st|s=0=1，则有

因为故

即终值定理表明，可通过F(s)乘以s取s→0的极限直接求得f(t)的终值，而不必求F(s)的反变换。但条件是必须保证

存在。这个条件相当于在复频域中，F(s)的极点都位于S平面的左半部和F(s)在原点仅有单极点。

例8-9已知。试计算原函数f(t)的终值。

解因为F(s)的极点为s1=0和s2=－1，第一个极点是位于原点的单极点，第二个位于S左半面，故满足应用终值定理的条件，于是

例8-10已知。问原函数f(t)有无终值?

解由于F(s)的极点s=1在S平面的右半面，故不能应用终值定理，f(t)无终值。

事实上，F(s)的原函数f(t)=et，当t→∞时，f(t)发散。若盲目地套用式(8-33)，即得，显然，这个结果也是错误的。

拉氏变换还有一些其它性质，如时域卷积和复频域卷积等，它们与傅氏变换的性质类似，这里不再重复。表8-2列出了常用拉氏变换的性质。表8-2常用拉氏变换的性质

8.4拉普拉斯反变换

从象函数F(s)求原函数f(t)的过程称为拉普拉斯反变换。

简单的拉普拉斯反变换只要应用表8-1以及上节讨论的拉氏变换的性质便可得到相应的时间函数。

求取复杂拉氏变换式的反变换通常有两种方法：部分分式展开法和围线积分法(或留数法)。应用拉氏反变换定义式(8-9)进行复变函数积分就是通常所说的围线积分法。部分分式展开法将复杂变换式分解为许多简单变换式之和，然后分别查表即可求得原信号，它适合于F(s)为有理函数的情况。部分分式展开法因无需进行复变函数的积分而计算简便，且足以解决绝大部分常见信号的反变换问题，因此下面仅讨论部分分式展开法。

常见的拉氏变换式是s的多项式之比(有理函数)，一般形式是(8-34)式中，N(s)和D(s)分别为F(s)的分子多项式和分母多项式；ai(i=0，1，…，n)，bj(j=0，1，…，m)均为实数。当m<n，即F(s)为真分式时，可直接分解为部分分式；当m≥n，即F(s)为假分式时，则先用长除法将F(s)化成多项式与真分式之和，例如

然后又归结为将真分式分解为部分分式。因此，下面分三种情况着重讨论是真分式时的拉氏反变换。

1.D(s)=0的根都是相异实根

分母D(s)是s的n次多项式，可以进行因式分解

D(s)=an(s－s1)(s－s2)…(s－sn)

这里s1，s2，…，sn为D(s)=0的根。当s等于任一根值时，F(s)等于无穷大，故这些根也称为F(s)的极点。当s1，s2，…，sn互不相等时，F(s)可表示为

(8-35)式中，k1，k2，…，kn为待定系数。在式(8-35)两边乘以因子

(s－si)，再令s=si(i=1，2，…，n)，于是式(8-35)右边仅留下ki项，即

(i=1，2，…，n)(8-36)

求得待定系数后，式(8-35)的反变换可由表8-1查得

(8-37)

由此可见，当D(s)=0具有相异实根时，F(s)的拉氏反变换是许多实指数函数项之和。应强调的是，根据单边拉氏变换的定义，拉氏反变换在t<0区域中恒等于零，故按式(8-37)所求得的反变换只适合于t≥0的情况。

例8-11求的拉氏反变换。

解由于F(s)中m=n=2，首先分解出真分式，为此采用长除法运算)得

其中，真分式项又可展成以下部分分式：系数可由式(8-36)求得代入原式可得

查表8-1即得

2.D(s)=0有复根且无重复根

若

D(s)=an(s－s1)(s－s2)…(s－sn－2)(s2+bs+c)

=D1(s)(s2+bs+c)

式中，D1(s)=an(s－s1)(s－s2)…(s－sn－2)，s1，s2，…，sn－2为D(s)=0的互不相等的实根。二次多项式s2+bs+c中，若b2<4c，则构成一对共轭复根。因为F(s)可写成

(8-38)

上式右边第二项展开为部分分式的方法已如前述；对于右边第一项，一旦求得，就可应用对应系数相等的方法求得系数A和B，而的反变换则可用部分分式展开法或配方法。

例8-12求的拉氏反变换。

解(1)配方法。查表8-1得

(2)部分分式展开法。这里D(s)=s2+2s+5=(s+1-j2)(s+1+j2)

=0有一对共轭复根，s1=-1+j2和s2=-1-j2。F(s)可写成

式中事实上，k1和k2必然也是共轭的，即k1=，所以求得k1后，k2可以直接写出。

可见，D(s)=0有共轭复根时，用配方法结合查表求拉氏反变换是比较方便的。

例8-13求的拉氏反变换。

解

D(s)=s3+5s2+12s+8=(s+1)(s2+4s+8)

所以式中

于是为求系数B和C，可用对应项系数相等的方法，先令s=0并代入上式两边，得,则C=2；再将上式两边乘以s，并令s→∞，得0=1+B，则B=－1，即应用配方法，得

查表8-1即得

L－1［F(s)］=e－t－e－2tcos2t+2e－2tsin2t，t≥0

3.D(s)=0的根为重根

若D(s)=0只有一个p重根s1，则D(s)可写成

D(s)=an(s－s1)p(s－sp+1)…(s－sn)

F(s)展成的部分分式为

(8-39)

式中，D(s)的非重根因子组成的部分分式的系数kp+1，…，kn的求法已如前述；重根因子组成的部分分式的系数k1p，k1(p-1)，

…，k11可通过下列步骤求得。将式(8-39)两边乘以(s－s1)p，得

(8-40)

令s=s1，可得

(8-41)将式(8-40)两边对s求导后，令s=s1，可得

(8-42)

依次类推，可得求重根项的部分分式系数的一般公式为

(8-43)当全部系数确定后，由于

则得

例8-14试求的拉氏反变换。

解

式中，系数k1、k23可分别根据式(8-36)、式(8-41)求得，即

k1=(s+1)F(s)|s=－1=1

k23=(s+2)3F(s)|s=－2=2系数k22、k21可根据式(8-43)求得，即所以

查表8-1，即得

D(s)具有重根的F(s)展开成部分分式，求各项系数的方法很多。式(8-36)和式(8-41)比较好记，式(8-43)不好记忆，如果重根阶次不高，也可用代数恒等式求解，可以避免用求导公式。如例8-14中，当k1和k23求出后代入原式可得

(8-45)令s=0代入式(8-45)，得

再令s=1代入式(8-45)，得

联立求解可得k22=－2，k21=－1。如果将式(8-45)右边通分后令右边和左边的分子多项式各s幂次相应的系数相等，也可计算出未知数。

8.5线性电路的复频域分析

拉普拉斯变换是分析线性时不变电路的有效工具，它将描述电路的时域微分方程变换为复频域(s)域的代数方程，便于运算和求解。同时它将初始状态自然地包括到象函数中，既可分别求零输入响应、零状态响应，又可求得全响应。以拉氏变换作为数学工具，分析任意信号作用下的线性电路响应，称为拉氏变换分析或复频域分析。8.5.1微分方程的复频域分析

当描述电路响应与激励关系的时域微分方程已知，需要求取电路响应时，可对微分方程进行拉氏变换，得到复频域的代数方程，在复频域中通过代数运算得到响应的复频域解，最后将此解进行拉氏反变换得到时域解。

例8-15已知描述二阶电路的微分方程为y″(t)+5y′(t)

+6y(t)=2x′(t)+8x(t)，激励x(t)=e－tε(t)，初始状态y(0－)=3，y′(0－)=2。求响应y(t)。

解对上述微分方程取拉氏变换，根据拉氏变换的微分性得

s2Y(s)－sy(0－)－y′(0－)+5［sY(s)－y(0－)］+6Y(s)

=2sX(s)+8X(s)

x(t)为有始信号，故有x(0－)=0。整理上述方程，得将X(s)=L［e－tε(t)］=，y(0－)=3，y′(0－)=2代入，于是响应的复频域解为

故

y(t)=L－1［Y(s)］=3e－t+7e－2t－7e－3t,

t>0

例8-16图8-6所示电路在t=0时开关闭合，已知uC(0－)=

1V。试求t>0时的输出电压uC(t)。

解首先列写电路响应与激励关系的时域微分方程。当t>0时，据KVL有

Ri(t)+uC(t)=5ε(t)

即

代入元件参数，得其次，对电路方程两边取拉氏变换，并求出复频域解。设uC(t)UC(s)，则由时域微分性，得

解此代数方程，得响应的复频域解为

最后，求反变换，得时域全响应

uC(t)=L－1［UC(s)］=5－4e－50t,

t>0图8-6例8-16图8.5.2电路的复频域模型

当电路含有较多的动态元件时，描述电路的微分方程阶数较高，列写微分方程本身就非常麻烦。因此，在复频域内分析具体电路时，通常不采用先列写微分方程再用拉氏变换进行分析的方法，而是先根据复频域电路模型，从电路中直接列写求解复频域响应的代数方程，然后求解复频域响应并进行拉氏反变换。下面先介绍电路元件的复频域模型。电阻元件的电压与电流的时域关系为

uR(t)=RiR(t)

将上式两边取拉氏变换，得

UR(s)=RIR(s)(8-46)

由式(8-46)可得到电阻元件的复频域模型如图8-7所示。显然，电阻元件的复频域模型与时域模型具有相同的形式。图8-7电阻元件的模型(a)时域(b)复频域电容元件的电压与电流的时域关系为

将上式两边取拉氏变换，得

(8-47)

或IC(s)=sCUC(s)－CuC(0－)(8-48)式(8-47)和式(8-48)表明，一个具有初始电压uC(0－)的电容元件，其复频域模型为一个复频容抗与一个大小为

的电压源相串联，或者是与一个大小为CuC(0－)的电流源并联，如图8-8所示。

图8-8电容元件的模型(a)时域；(b)复频域(电压源型)；(c)复频域(电流源型)电感元件的电压与电流的时域关系为

将上式两边取拉氏变换，得

UL(s)=sLIL(s)－LiL(0－)

(8-49)或

(8-50)式(8-49)和式(8-50)表明，一个具有初始电流iL(0－)的电感元件，其复频域模型为一个复频感抗sL与一个大小为LiL(0－)的

电压源相串联，或者是sL与一个大小为的电流源相并

联，如图8-9所示。

把电路中每个元件都用它的复频域模型来代替，将信号源及各分析变量用其拉氏变换式代替，就可由时域电路模型得到复频域电路模型。在复频域电路中，电压U(s)与电流I(s)是代数关系，可以应用与电阻电路一样的分析方法与定理列写求解响应的变换式。图8-9电感元件的模型(a)时域；(b)复频域(电压源型)；(c)复频域(电流源型)

例8-17如图8-10(a)所示电路，已知元件参数L=0.5H，C=1F，R=1Ω，初始状态uC(0－)=1V，iL(0－)=1A。试求零输入响应uR(t)。

解画出复频域模型如图8-10(b)所示。设回路电流为I(s)，列写网孔方程图8-10例8-17图得

所以，反变换得时域响应

例8-18如图8-11(a)所示电路，已知元件参数L=0.5H，C=1F，R1=0.2Ω，R2=1Ω，输入uS(t)=ε(t)。试求电路的零状态响应i(t)。

解画出t>0时零状态下的复频域电路模型如图8-11(b)所示，其中复频阻抗sL=0.5s，。利用复频阻抗串并联法求得响应的象函数

所以零状态时域响应为

i(t)=(－3e－3t+8e－4t)ε(t)

图8-11例8-18图

例8-19如图8-12(a)所示电路，已知C=1F，R=1Ω，初始状态uC(0－)=1V，激励uS(t)=(1+e－3t)ε(t)V。试求响应电压uC(t)。

解画出复频域模型如图8-12(b)所示，其中

回路电流为图8-12例8-19图电容电压为反变换得全响应为

uC(t)=1+0.5e－t－0.5e－3t,

t>0

8.6网络函数与网络特性

8.6.1网络函数

网络函数H(s)又称系统函数或传输函数，它是在零状态条件下零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比：

(8-51)

网络函数仅取决于系统本身的特性，与激励无关，它在网络分析与综合中占有重要地位。由于

Yzs(s)=H(s)X(s)

当系统的激励为δ(t)时，零状态响应为h(t)，故

L［h(t)］=H(s)L［δ(t)］=H(s)(8-52)

即网络函数H(s)与冲激响应h(t)是一对拉氏变换。h(t)与H(s)分别从时域和复频域两个方面表征了同一系统的特性。

网络函数可以在零状态条件下将电路的微分方程经过拉氏变换求得，或由电路的冲激响应求拉氏变换而得到。对于具体的电路，还可以用零状态下的复频域等效电路(模型)求得网络函数，这可以从以下例子中看出。

例8-20已知描述电路的微分方程为

试求：

(1)该电路的系统函数H(s)；

(2)该电路的冲激响应h(t)。

解

(1)在零状态条件下，将给定的微分方程两边取拉氏变换，得

s2Yzs(s)+3sYzs(s)+2Yzs(s)=2sX(s)+3X(s)

所以

(2)将系统函数H(s)部分分式展开并反变换，即可得到冲激响应

h(t)=L－1［H(s)］=(e－t+e－2t)ε(t)

例8-21试求图8-13(a)所示电路的网络函数。

解电路的零状态复频域模型如图8-13(b)所示。所以图8-13例8-21图8.6.2网络函数的零点和极点

一般来说，线性网络的网络函数是以多项式之比的形式出现的。将式(8-51)给出的网络函数的分子、分母进行因式分解，进一步可得

(8-53)

式中，H0为一常数；z1，z2，…，zm是网络函数分子多项式N(s)=0的根，称为网络函数的零点；分母多项式D(s)也称为网络的特征多项式；特征方程D(s)=0的根p1，p2，…，pn称为特征根或网络的固有频率(或自然频率)，也称为网络函数的极点；(s－zj)称为零点因子(j=1，2，…，m)；(s－pk)称为极点因子(k=1，2，…，n)。当一个网络函数的全部零点、极点及H0确定后，这个网络函数也就可以完全确定了。由于H0只是一个比例常数，对H(s)的函数形式没有影响，所以一个网络随变量s变化的特性可以完全由它的零点和极点表示。把网络函数的零点和极点绘在S平面上的图形叫做网络函数的零、极点图。其中零点用“”表示，极点用“×”表示，若为n重零点或极点，则注以(n)。

借助对网络函数H(s)在S平面的零、极点分布的研究，可以简明、直观地给出网络响应的许多规律，以统一的观点阐明网络诸方面的性能。网络的时域、频域特性集中地以其网络的零、极点分布表现出来。H(s)的零、极点的分布不仅可以揭示网络的时域特性的规律，而且还可用来阐明网络的频率响应特性和网络的稳定性等方面的性能。8.6.3网络函数的时域特性

1.由网络函数的零、极点分布确定网络的冲激响应的模式

网络函数H(s)与冲激响应h(t)是一对拉氏变换，因此根据H(s)的零、极点分布就可以确定网络的冲激响应的模式。

(1)若H(s)的极点位于S平面的原点，如，则h(t)=ε(t)，冲激响应的模式为阶跃函数。

(2)若H(s)的极点位于S平面的正实轴上，如

(α>0)，则h(t)=eαtε(t)，冲激响应的模式为增长指数函数；若H(s)的极点位于S平面的负实轴上，如H(s)=

(α>0)，则h(t)=e－αtε(t)，冲激响应的模式为衰减指数函数。

(3)若H(s)的极点位于S平面的虚轴(极点必以共轭形式出现)上，如，则h(t)=sinω0tε(t)，冲激响应的模式为等幅振荡函数。

(4)若H(s)的共轭极点位于S右半平面，如H(s)=

(α>0)，则h(t)=eαtsinω0tε(t)，冲激响应的模式为增幅振荡函数；若H(s)的共轭极点位于S左半平面，如H(s)=

(α>0)，则h(t)=e－αtsinω0tε(t)，冲激响应的模式为减幅振荡函数。以上分析结果如图8-14所示，这里都是单极点的情况。若H(s)具有n重极点，则冲激响应的模式中将含有tn－1因子。例如

在原点有二重极点，则h(t)=tε(t)为斜坡函数；

在虚轴上有两重共轭极点，则h(t)=

tsinω0tε(t)为幅度线性增长的振荡函数。图8-14H(s)的单极点分布与冲激响应模式的关系

2.由网络函数的零极点分布确定网络稳定性

一个网络如果对于有界的输入，其零状态响应也是有界的，则称该网络是稳定的。稳定性是网络的固有特性，与激励的情况无关。

设输入信号x(t)为有界，即|x(t)|≤Mx，Mx为有界正值，由于零状态响应

则有

(8-54)欲使y(t)为有界输出，则必须是

(8-55)

也就是网络的冲激响应h(t)必须满足绝对可积条件。

对于因果网络的冲激响应，当t<0时，h(t)=0，式(8-55)可写为

(8-56)

式(8-56)是线性时不变因果网络稳定的充分必要条件。网络的冲激响应h(t)和网络函数H(s)从不同侧面表征网络的特性。判别网络是否稳定，既可从时域方面进行分析，也可从S域方面进行分析，即通过研究H(s)在S平面中极点分布的位置，可很方便地给出有关网络稳定性的结论。

从上述有关网络函数H(s)的极点分布与冲激响应模式关系的分析中，可得出网络函数的极点分布与稳定性的关系：

(1)若H(s)的全部极点均位于S左半平面(不包括虚轴)，则在t→∞时，h(t)消失，网络是稳定系统。

(2)在H(s)的极点中，只要有一个位于S右半平面或在虚轴(包括原点)上具有二重以上极点，则在t→∞时，h(t)→∞，网络是不稳定系统。

(3)若在H(s)的极点中，除了位于S左半平面外，还有一阶极点位于虚轴(包括原点)上，则h(t)为有限值或为等幅振荡，网络是临界稳定系统。

因此，网络稳定的充分必要条件是网络函数H(s)的极点均位于S左半平面，或者说系统的特征方程D(s)=0的根都具有负的实部。

例8-22试判别下列网络是否稳定。

(1)

(2)

解

(1)特征方为

D1(s)=s3+4s2－7s+2=0

即

(s－1)(s2+5s－2)=0

得特征根(极点)为

s1和s3是具有正实部(虚部为0)的根，所以网络不稳定。

(2)特征方程为

D2(s)=s3+3s2+6s+8=0

即

(s+2)(s2+s+4)=0

特征根

它们都具有负的实部，所以网络稳定。8.6.4网络函数的频率响应特性

网络函数H(s)在S平面的零、极点分布与其频率特性也有直接关系。利用网络函数的零、极点分布就可以借助几何作图法确定网络的频率响应特性(简称频响特性)。

若网络函数H(s)的极点均位于S左半平面，那么它在虚轴上(s=jω)也收敛，则式(8-53)所描述的网络的频响函数H(jω)或写作H(ω)为

(8-57)可以看出，频响特性取决于网络的零、极点分布，即取决于zj、pk的位置。H0是系数，对频响特性无关紧要。式(8-57)分母中任一极点因子jω－pk相当于由极点pk引向虚轴上某点jω的一个矢量，称为极点矢量；分子中任一零点因子jω－zj相当于由零点zj引向虚轴上某点jω的一个矢量，称为零点矢量。图

8-15中画出了由零点zj和极点pk与虚轴上某点jω连接构成的零点矢量jω－zj和极点矢量jω－pk。图中，Nj、Mk分别表示零点矢量和极点矢量的模；jj、fk分别表示零点矢量和极点矢量的辐角，即

(8-58)图8-15零点矢量和极点矢量于是，式(8-57)可以改写为

(8-59)

式中，幅频特性为

(8-60)相频特性为

(8-61)

当ω自原点沿虚轴运动并趋于无穷大时，各零点矢量和极点矢量的模和辐角都随之改变，于是得出幅频特性和相频特性曲线。

例8-23已知二阶网络函数。试粗略画出其幅频特性和相频特性曲线。

解

H(s)的零点z=0，其极点为

由于极点在S左半平面，故H(s)在虚轴上收敛，该网络的频率响应为令零点矢量jω=Nejj，极点矢量jω－p1=，

jω－p2=，于是，上式可以改写为

从而，幅频特性为

(8-62)

相频特性为

θ(ω)=j－y1－y2(8-63)由图8-16(a)可看出，当ω=0时，N=0，M1=M2=1，

ψ1=－ψ2，。根据式(8-62)和式(8-63)得|H(ω)|=0，

。

随着ω的增大，N和M2增大，而M1减小，故|H(ω)|增大；|ψ1|减小，ψ2增大，故θ(ω)减小。当ω=1时，网络发生谐振，这时|H(ω)|=1为极大值，而θ(ω)=0。当ω继续增大时，N、M1、M2和ψ1、ψ2均增大，从而|H(ω)|减小，θ(ω)继续减小。

当ω→∞时，N、M1、M2均趋于无穷大，从而|H(ω)|→0；ψ1、ψ2均趋于，使。图8-16(b)和(c)所示是粗略画出的幅频特性和相频特性曲线。可见，该网络是带通网络。

图8-16例8-23图从以上讨论可知，如果网络函数的某一极点十分靠近虚轴，则当角频率ω在该极点虚部附近时，幅频特性有一峰值，相频特性急剧减小。类似地，如果网络函数有一零点十分靠近虚轴，则当角频率ω在该零点虚部附近处时，幅频特性有一谷值，相频特性急剧增大。习题8

8-1试用拉氏变换的定义式，求下列函数的拉氏变换。

(1)ε(t)－ε(t－1)；

(2)te－tε(t);

(3)tcosω0tε(t)；

(4)(e2t－2e－t)ε(t);

(5)(cos3t+2sin3t)ε(t)；

(6)(1－e－2t)ε(t);

(7)2δ(t－1)；