2024-2025学年广东省深圳市深圳盟校高二上学期11月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省深圳市深圳盟校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：选择性必修第一册第一章和第二章.一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为.故选：C.2.直线的一个方向向量为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，所以直线的斜率为，又当直线斜率存在时，直线的一个方向向量为，所以直线的一个方向向量为，故选：C.3.若直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，则直线所成角的大小为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设直线所成角为，所以，所以.故选：B.4.已知圆关于直线对称，则实数（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】由，得，故圆心为，又因为圆关于直线对称，故圆心在直线上，则.故选：A.5.已知点，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（）A. B. C. D.[1,4]【答案】D【解析】记为点，则直线PA的斜率，直线PB的斜率，因为直线过点，且与线段AB相交，结合图象，可得直线的斜率的取值范围是[1,4].故选：D．6.已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面的关系是（）A. B. C. D.或【答案】D【解析】因，所以，则或.故选：D.7.如图，在正方体中，分别是棱的中点，则点到直线的距离为（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】如图，以为原点，的方向为轴建立空间直角坐标系，如下所示：易知，，;取，，则，所以点到直线的距离为．故选：B.8.已知，是圆上两点，且，若直线上存在点使得，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意可知:圆的圆心为，半径，设中点为，则，且，可得，又因为，可知为等腰直角三角形，则，可得，故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，因为直线上存在点使得，即直线与圆有交点，即圆心到直线的距离，解得或.故选：A.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线过点，且在轴上的截距是轴上的截距的3倍，则直线的方程为（）A B. C. D.【答案】BD【解析】当截距为0时，设直线的方程为，将点代入可得，所以，即;当截距不等于0时，设直线的方程为，将点代入可得，解得，所以直线的方程为，即，所以直线的方程为或.故选：BD.10.下列圆中与圆相切的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】由题知，圆的圆心为，半径为4.A选项，的圆心为，半径为2，故，由于，所以圆与内切，A正确；B选项，的圆心为，半径为1，故，由于，故圆与外切，B正确；C选项，的圆心为，半径为4，故，由于，故圆与不相切，C错误;D选项，的圆心为，半径为1，故，由于，故圆与不相切，D错误.故选：AB．11.如图，四棱锥中，底面，底面为正方形，且，分别为的中点，则（）A.B.与所成角的余弦值是C.点到平面的距离为D.过点的平面截四棱锥的截面面积为【答案】AC【解析】如图，以点为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，所以，故A正确；，则与所成角的余弦值为，故B错误；，设平面的法向量为n=x,y,z，则令，可得，则点到平面的距离为，故C正确；设过点的平面与线段的交点为，则，因为共面，则共面，故存在唯一实数对使得，即，所以解得，所以，则，因为，所以，所以过点的平面截四棱锥的截面面积为，故D错误．故选：AC.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则线段的中点坐标为___________.【答案】【解析】因为，所以线段的中点坐标为，故答案为：.13.若直线与直线平行，则与之间的距离为___________.【答案】【解析】因为直线与直线平行，所以直线斜率存在，且，得到，此时，即，满足，所以与之间的距离，故答案为：.14.空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为___________.【答案】【解析】法一:因为平面的方程为，所以平面的一个法向量，又直线:上有两个点，所以直线的方向向量为，所以直线与平面所成角的正弦值为.故答案为：．法二:由题知两平面与的法向量分别为，设直线的一个方向向量，则即取，则，又平面的法向量，所以直线与平面所成角的正弦值为.故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.求满足下列条件的圆的标准方程.（1）圆心为，经过点；（2）圆心在直线上，且与轴交于点.解：（1）由两点间的距离公式可得圆的半径故圆的标准方程为（2）因为圆与y轴交于点，所以圆心在直线y=3上.又圆心在直线上，所以圆心的坐标为，所以圆的半径，故圆的标准方程为.16.已知向量，，.（1）当时，若向量与垂直，求实数的值；（2）若向量与向量、共面，求实数的值.解：（1）因为，所以，解得，即.由，且，得，解得.（2）因向量与向量、共面，所以设，因此，即，解得，故的值为.17.已知的三个顶点是.（1）求BC边上的高所在直线的方程;（2）若直线过点，且点A，B到直线的距离相等，求直线的方程.解：（1）因为，所以BC边上的高所在直线的斜率为1，所以BC边上高所在直线为，即.（2）因为点A，B到直线的距离相等，所以直线与AB平行或过AB的中点，①当直线与AB平行，所以，所以，即.②当直线过AB的中点，所以，所以，即.综上，直线的方程为或.18.已知以点为圆心圆与轴交于点，与轴交于点N，O为坐标原点.（M，N与不重合）（1）求证：的面积为定值;（2）设直线与圆交于点A，B，若，求实数的值；（3）在（2）的条件下，设P，Q分别是直线和圆上的动点，求|PQ|的最小值及此时点的坐标.解：（1）由圆的方程，化简得，其与轴，轴的交点分别为:，所以为定值.（2）如图①所示，因为，所以.又OC的斜率，所以，解得（负数舍去），（3）如图②所示，由②知:圆的方程为:，圆心，半径.设点关于直线的对称点为，则中点为，且解得，即，则，又点到圆上点的最短距离为，则的最小值为，此时直线的方程为:，即.点为直线与直线的交点，则解得即点19.在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示.（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的大小；（3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.解：（1）因为在中，，，且，所以，，则折叠后，，又平面，所以平面，平面，所以，又已知，且都面内，所以平面；（2）由（1），以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.因为，故，由几何关系可知，，，，故，，，，，，，，，设平面的法向量为，则，即，不妨令，则，，.设与平面所成角的大小为，则有，设为与平面所成角，故，即与平面所成角的大小为；（3）假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为.在空间直角坐标系中，，，，设，则，，设平面的法向量为，则有，即，不妨令，则，，所以，设平面的法向量为，则有，即，不妨令，则，，所以，若平面与平面成角余弦值为.则满足，化简得，解得或，即或，故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为.此时的长度为或.广东省深圳市深圳盟校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：选择性必修第一册第一章和第二章.一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为.故选：C.2.直线的一个方向向量为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，所以直线的斜率为，又当直线斜率存在时，直线的一个方向向量为，所以直线的一个方向向量为，故选：C.3.若直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，则直线所成角的大小为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设直线所成角为，所以，所以.故选：B.4.已知圆关于直线对称，则实数（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】由，得，故圆心为，又因为圆关于直线对称，故圆心在直线上，则.故选：A.5.已知点，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（）A. B. C. D.[1,4]【答案】D【解析】记为点，则直线PA的斜率，直线PB的斜率，因为直线过点，且与线段AB相交，结合图象，可得直线的斜率的取值范围是[1,4].故选：D．6.已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面的关系是（）A. B. C. D.或【答案】D【解析】因，所以，则或.故选：D.7.如图，在正方体中，分别是棱的中点，则点到直线的距离为（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】如图，以为原点，的方向为轴建立空间直角坐标系，如下所示：易知，，;取，，则，所以点到直线的距离为．故选：B.8.已知，是圆上两点，且，若直线上存在点使得，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意可知:圆的圆心为，半径，设中点为，则，且，可得，又因为，可知为等腰直角三角形，则，可得，故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，因为直线上存在点使得，即直线与圆有交点，即圆心到直线的距离，解得或.故选：A.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线过点，且在轴上的截距是轴上的截距的3倍，则直线的方程为（）A B. C. D.【答案】BD【解析】当截距为0时，设直线的方程为，将点代入可得，所以，即;当截距不等于0时，设直线的方程为，将点代入可得，解得，所以直线的方程为，即，所以直线的方程为或.故选：BD.10.下列圆中与圆相切的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】由题知，圆的圆心为，半径为4.A选项，的圆心为，半径为2，故，由于，所以圆与内切，A正确；B选项，的圆心为，半径为1，故，由于，故圆与外切，B正确；C选项，的圆心为，半径为4，故，由于，故圆与不相切，C错误;D选项，的圆心为，半径为1，故，由于，故圆与不相切，D错误.故选：AB．11.如图，四棱锥中，底面，底面为正方形，且，分别为的中点，则（）A.B.与所成角的余弦值是C.点到平面的距离为D.过点的平面截四棱锥的截面面积为【答案】AC【解析】如图，以点为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，所以，故A正确；，则与所成角的余弦值为，故B错误；，设平面的法向量为n=x,y,z，则令，可得，则点到平面的距离为，故C正确；设过点的平面与线段的交点为，则，因为共面，则共面，故存在唯一实数对使得，即，所以解得，所以，则，因为，所以，所以过点的平面截四棱锥的截面面积为，故D错误．故选：AC.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则线段的中点坐标为___________.【答案】【解析】因为，所以线段的中点坐标为，故答案为：.13.若直线与直线平行，则与之间的距离为___________.【答案】【解析】因为直线与直线平行，所以直线斜率存在，且，得到，此时，即，满足，所以与之间的距离，故答案为：.14.空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为___________.【答案】【解析】法一:因为平面的方程为，所以平面的一个法向量，又直线:上有两个点，所以直线的方向向量为，所以直线与平面所成角的正弦值为.故答案为：．法二:由题知两平面与的法向量分别为，设直线的一个方向向量，则即取，则，又平面的法向量，所以直线与平面所成角的正弦值为.故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.求满足下列条件的圆的标准方程.（1）圆心为，经过点；（2）圆心在直线上，且与轴交于点.解：（1）由两点间的距离公式可得圆的半径故圆的标准方程为（2）因为圆与y轴交于点，所以圆心在直线y=3上.又圆心在直线上，所以圆心的坐标为，所以圆的半径，故圆的标准方程为.16.已知向量，，.（1）当时，若向量与垂直，求实数的值；（2）若向量与向量、共面，求实数的值.解：（1）因为，所以，解得，即.由，且，得，解得.（2）因向量与向量、共面，所以设，因此，即，解得，故的值为.17.已知的三个顶点是.（1）求BC边上的高所在直线的方程;（2）若直线过点，且点A，B到直线的距离相等，求直线的方程.解：（1）因为，所以BC边上的高所在直线的斜率为1，所以BC边上高所在直线为，即.（2）因为点A，B到直线的距离相等，所以直线与AB平行或过AB的中点，①当直线与AB平行，所以，所以，即.②当直线过AB的中点，所以，所以，即.综上，直线的方程为或.18.已知以点为圆心圆与轴交于点，与轴交于点N，O为坐标原点.（M，N与不重合）（1）求证